Algebraisk bevis

I artikkelen om ugyldige bevis så vi på en sammenheng der det lot til at summen av tre etterfølgende heltall alltid ble lik tre ganger det midterste tallet. Men vi sa at uansett hvor mange eksempler vi finner på at sammenhengen er riktig, er ikke eksempler et gyldig bevis så lenge vi ikke kan teste alle mulighetene. I dette tilfellet kan vi umulig teste alle fordi det finnes uendelig mange etterfølgende tall.

For å bevis sammenhengen kan vi i stedet bruke et algebraisk bevis. I et algebraisk bevis erstatter vi tall med algebraiske symboler. Når vi så bruker algebraiske regler til å manipulere symbolene, vil resultatet vi kommer fram til, være gyldig for alle tall symbolene kan tenkes å stå for.

Eksempel 1:

Vi skal bevise at summen av tre etterfølgende heltall alltid er lik tre ganger det midterste tallet.

Vi representerer det midterste tallet med et algebraisk symbol, for eksempel aa kan her stå for hvilket som helst heltall. Heltallet før a vil da være − 1, og heltallet etter a vil være + 1. Summen av disse tre etterfølgende tallene blir
(a − 1) + a + (a + 1). Organiserer vi leddene i dette uttrykket, får vi a + a + a − 1 + 1 = 3a.

Vi ser at uansett hvilket tall det midterste tallet, a, representerer, blir summen tre ganger dette tallet. Sammenhengen er derved bevist.

Eksempel 2:

Vi skal bevise at summen av to partall alltid er et partall.

Dette kan vi gjøre med et algebraisk bevis. Alle partall er multipler av 2, for eksempel 6 = 2 · 3, −10 = 2(−5), og så videre. Et generelt uttrykk for et partall vil derfor være et 2-tall multiplisert med et algebraisk symbol som representerer et vilkårlig heltall, for eksempel 2t.

Velger vi n og m som symboler for vilkårlige heltall, vil 2n og 2m være to vilkårlige partall. Summen av disse blir 2n + 2m = 2(n + m). Siden uttrykket i parentesen er et heltall, ser vi at summen er på formen 2t, og derved et partall.

I eksempel 2 brukte vi 2n som symbol for det ene tallet og 2m som symbol for det andre. Hadde vi brukt samme symbol for begge, for eksempel 2t, ville det betydd at de to tallene var like. Vi har følgende prinsipp:

Tall som kan være ulike må representeres med forskjellige symboler.

Vi sier ikke at tall representert med forskjellige symboler nødvendigvis må være ulike. Det er mulig at de er ulike, men det er også mulig at de er like. Beviset i eksempel 2 er like gyldig for to forskjellige tall, for eksempel 2 + 4, som for to like tall, for eksempel 2 + 2.

Eksempel 3:

Uriktig påstand: Produktet av to partall er et kvadrattall.

Uriktig bevis: Et partall er et tall på formen 2t, der t er et helt tall. Produktet av to partall kan skrives som 2t · 2t = 2 · 2 · t · t = 22 · t2 = (2t)2. Og vi ser at produktet kan skrives som kvadratet av 2t.

Problemet er at t er brukt som symbol for to tall som kan være ulike. Vi har egentlig bare bevist det opplagte, at et tall multiplisert med seg selv er et kvadrattall. Med forskjellige symboler får vi 2m · 2n = 2 · 2 · m · n = 22 · m · n, som ikke er et kvadrattall hvis m og n er ulike.

Oppgave 1:

Vi påstår at summen av to partall alltid er delelig med 4.

Som algebraisk «bevis» lar vi 2t være et vilkårlig partall. Summen av to partall blir da 2t + 2t = 4t, som er delelig med 4.

Forklar hva problemet med dette «beviset» er, og forklar hva det egentlig er vi har bevist.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Bevis at summen av to oddetall er et partall.

Hint: Et oddetall kan skrives på formen 2t + 1, der t er et heltall.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Det kan se ut som vi alltid får 37 når vi dividerer et tresifret tall der sifrene er like, med summen av sifrene.

For eksempel er

${\large \frac{111}{1+1+1}} = {\large \frac{111}{3}} = 37$

og

${\large \frac{111}{2+2+2}} = {\large \frac{222}{6}} = 37$

Bruk et algebraisk bevis til å begrunne at denne sammenhengen gjelder for alle siffer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Hint: En generell representasjon av et tresifret tall med like sifre er a · 100 + a · 10 + a.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.