Andregradslikninger

En førstegradslikning, eller lineær likning, er et uttrykk på formen $ax + b = 0$, og vi løser likningen ved å omorganisere elementene slik at $x$ står igjen alene på venstre side: $x = -\frac{\displaystyle b}{\displaystyle a}$. Å løse likningen kan vi grafisk tenke oss som å finne punktet der den tilhørende førstegradsfunksjonen $y = ax + b$ skjærer x-aksen, det vil si at $y = 0$.

Eksempel 1:

$2x – 4 = 0 ⇒ x = -{\large \frac{-4}{\phantom 0 2}} = 2$.

Den tilhørende funksjonen er $y = 2x – 4$, og den skjærer x-aksen i $2$.
 
Grafen  til likningen y = 2x - 4 skjærer x-aksen i 2

Grafen til en førstegradsfunksjon er alltid en rett linje.

I en andregradslikning, eller kvadratisk likning, opptrer den ukjente $x$ i andre potens, $x^2$. Da må vi først omorganisere elementene slik et andregradsuttrykk av $x$ står alene på venstre side, og deretter trekke ut kvadratrota på begge sider. Når vi trekker ut rota, må vi huske at  $\sqrt{a^2}$ kan være både $a$ og $-a$, noe vi viser med et pluss/minus-tegn: $\pm a$.

Eksempel 2:

$\begin{align} x^2 – 4 &= 0 \\
\Downarrow \\
x^2 &= 4 \\
\Downarrow \\
\sqrt{x^2} &= \pm \sqrt 4 \\
\Downarrow \\
x_1 = 2, \, x_2 &= -2 \end{align}$

Oppgave 1:

Løs likningen $x^2 – 7 = 1$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

På samme måte som ved førstegradslikninger, kan vi grafisk tenke oss løsningene til andregradslikninger som de punktene der grafen til den tilhørende andregradsfunksjonen skjærer x-aksen. Figuren under viser grafen til $y = x^2 – 4$, vi ser at den skjærer x-aksen i $x = -2$ og $x = 2$, som er løsningene til likningen $x^2 – 4 = 0$.

Grafen  til likningen y = x^2 - 4 skjærer x-aksen i -2 og 2

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel. Den er symmetrisk, og vender sin hule side opp hvis tegnet foran $x^2$ er positivt, og sin hule side ned hvis tegnet foran $x^2$ er negativt.

Likningen i eksempel 2 inneholder bare et andregradsledd, $x^2$, og en konstant, $-4$. Men en andregradslikning kan også inneholde et førstegradsledd. Generelt har en andregradslikning formen $ax^2 + bx + c = 0$. Og å organisere elementene her slik at vi bare får et andregradsuttrykk på venstre side, og at $x$ samtidig bare forekommer på venstre side er litt mer innviklet.

Eksempel 3:

Vi skal finne løsningene til andregradslikningen $x^2 + 4x + 4 = 0$.

Vi kan omorganisere til $x^2 = -4x – 4$, men nå er $x$ på høyre side også.

Vi kan omorganisere til $x^2 + 4x = 4$, men nå er har vi ikke bare et andregradsuttrykk på venstre side.

Løsningen her er å bruke første kvadratsetning baklengs. $x^2 + 4x + 4$ kan nemlig skrives som $(x + 2)^2$. Og vi får

$\begin{align}  (x + 2)^2 &= 0 \\
\Downarrow \\
\sqrt{(x + 2)^2} &= \pm 0 \\
\Downarrow \\
x + 2 &= 0 \\
\Downarrow \\
x_1 = x_2 &= -2 \end{align}$

Vi kan sette prøve på svaret: $(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 – 8 + 4 = 0$.

Kvadratkomplettering

De fleste andregradsuttrykk kan imidlertid ikke uten videre skrives som fullstendige kvadrater på denne måten. Det finnes for eksempel ikke noe uttrykk som ved hjelp av en kvadratsetning gir $x^2 + 6x + 5$. Generelt blir et fullstendig kvadrat, $(x + k)^2$ til $x^2 + 2kx + k^2$ når det regnes ut. Vi ser at i dette uttrykket er konstantleddet, $k^2$, lik kvadratet av halve koeffisienten i førstegradsleddet, $2k$. Hvis dette ikke er tilfelle i et andregradsuttrykk, kan det ikke skrives som et fullstendig kvadrat.

Eksempel 4:

$x^2 + 4x + 4$ kan skrives som et fullstendig kvadrat fordi kvadratet av halve koeffisienten i førstegradsleddet er lik konstantleddet, ${\large (\frac{4}{2})^2} = 4$. Men $x^2 + 6x + 5$ kan ikke skrives som et fullstendig kvadrat fordi ${\large (\frac{6}{2})^2} = 9 \ne 5$.

Imidlertid kan vi alltid omforme en andregradslikning slik at vi får et fullstendig kvadrat på venstre side av likhetstegnet. Vi flytter da først konstantleddet over på høyre side, så lager vi et nytt konstantledd ved å halvere og kvadrere koeffisienten i førstegradsleddet og adderer leddet på begge sider av likhetstegnet. Denne metoden heter kvadratkomplettering, eller fullstendige kvadraters metode.

Huskeregel: Halvere, kvadrere, addere

Illustrasjon av regelen "halvere, kvadrere, addere"

Eksempel 5:

$\begin{align}  x^2 + 6x + 5 &= 0 \\
\; \\
x^2 + 6x &= -5 &&\text{Flyttet konstantleddet over til høyre side.} \\
\; \\
x^2 + 6x + 9 &= -5 + 9 &&\text{Halverte, kvadrerte, adderte } \Big(\frac{6}{2}\Big)^2 = 9 \text{.}\\
\; \\
(x + 3)^2 &= 4 &&\text{Brukte 1. kvadratsetning baklengs på venstre side.} \\
\; \\
x + 3 &= \pm \sqrt 4 = \pm 2 &&\text{Trakk ut kvadratrota på begge sider.} \\
\; \\
x &= -3 \pm 2 &&\text{Flyttet 3 over på høyre side.} \\
\; \\
x_1 &= -1, \, x_2 = -5 &&\text{Regnet ut.} \end{align}$

​Hvis andregradsleddet har en annen koeffisient enn 1, dividerer vi den bort først.

Eksempel 6:

$\begin{align} 3x^2 + 6x – 9 &= 0 \\
\: \\
x^2 + 2x – 3 &= 0 &&\text{Dividerte alle ledd med koeffisienten i andregradsleddet, 3.} \\
\; \\
x^2 + 2x &= 3 && \text{Flyttet konstantleddet over til høyre side.}
\; \\
x^2 + 2x + 1 &= 3 + 1 &&\text{Halverte, kvadrerte, adderte } \Big(\frac{2}{2}\Big)^2 = 1 \\
\; \\
(x + 1)^2 &= 4 &&\text{Brukte 1. kvadratsetning baklengs på venstre side.} \\
\; \\
x + 1 &= \pm \sqrt 4 = \pm 2 &&\text{Trakk ut kvadratrota på begge sider.} \\
\; \\
x &= -1 \pm 2 &&\text{Flyttet 1 over på høyre side.} \\
\; \\
x_1 &= 1, \, x_2 = -3 &&\text{Regnet ut.} \end{align}$

Oppgave 2:

Bruk metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen $2x^2 = -10x – 12$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Formel for å løse andregradslikninger

Hvis vi bruker kvadratkomplettering på det generelle uttrykket $ax^2 + bx + c$, får vi løsninger som er gyldige for alle koeffisienter $a$, $b$ og $c$. Vi finner med andre ord en formel for å løse andregradslikninger, og behøver ikke bruke kvadratkomplettering hver gang. Selve utregningen vises i løsningsforslaget til oppgave 3, formelen er:

$\fbox{$x = \frac{\displaystyle -b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{\displaystyle 2a}$}$

Den kalles populært "abc-formelen".

Oppgave 3:

Bruk metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen $ax^2 + bx + c = 0$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Eksempel 7:

Vi løser likningen fra eksempel 6, $3x^2 + 6x – 9 = 0$, om igjen ved hjelp av abc-formelen. Her er $a = 3$, $b = 6$ og $c = -9$. Setter vi inn i formelen, får vi:

$x = \frac{\displaystyle -6 \pm \sqrt{6^2 – 4 \cdot 3(-9) }}{\displaystyle 2 \cdot 3} = \frac{\displaystyle -6 \pm \sqrt{144}}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle -6 \pm 12}{\displaystyle 6} = -1 \pm 2$

Altså $x_1 = 1, \, x_2 = -3$, slik vi tidligere fant ved kvadratkomplettering i eksempel 6.

Å bruke abc-formelen er enklere enn kvadratkomplettering, men gir ingen innsikt i problemets natur. Å lære kvadratkomplettering er derfor et viktig steg på veien.

Oppgave 4:

Bruk abc-formelen til å løse likningen $2x^2 = -10x – 12$. Sjekk at du får samme svar som ved kvadratkomplettering i oppgave 2.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Diskriminant

Vi kan altså grafisk tenke oss løsningene til en andregradslikning som de punktene der grafen til den tilhørende andregradsfunksjonen skjærer x-aksen. Men ikke alle slike grafer skjærer x-aksen, så en andregradslikning vil ikke alltid ha løsninger.

Bildet under viser grafene til

$y = 3x^2 + 6x – 9$. Blå kurve, skjærer x-aksen i -3 og 1.

$y = 2x^2 + 8x + 8$. Grønn kurve, tangerer x-aksen i -2.

$y = 2x^2 + 2x + 1$. Rød kurve, skjærer ikke x-aksen.

 

Andrekradskurver som skjærer, tangerer og ikke skjærer x-aksen

Dette er de tre mulighetene vi har:

Hvis kurven til den tilhørende funksjonen skjærer x-aksen, har likningen to forskjellige løsninger.

Hvis kurven tangerer x-aksen, har likningen to sammenfallende løsninger.

Hvis kurven ikke skjærer x-aksen, har likningen ikke løsninger.

Eksempel 8:

Likningen $2x^2 + 2x + 1 = 0$ har ingen løsninger, som vist over. Forsøker vi å bruke abc-formelen på den, får vi:

$x = \frac{\displaystyle -2 \pm \sqrt{2^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 }}{\displaystyle 2 \cdot 2} = \frac{\displaystyle -2 \pm \sqrt{-4}}{\displaystyle 4}$

Det står et negativt tall under rottegnet, og vi kan ikke trekke ut rota av negative tall. Likningen har derfor ingen løsning.

​Uttrykket under rottegnet i abc-formelen kalles likningens diskriminant, og avgjør om likningen har løsninger. Vi har:

Diskriminant > 0: To forskjellige løsninger.

Diskriminant = 0: To like løsninger.

Diskriminant < 0: Ikke løsninger.

Komplekse løsninger

Når vi sier at likningen ikke har løsninger, mener vi at den ikke har løsninger blant de reelle tallene. Utvider vi tallsystemet til også å omfatte komplekse tall, vil alle andregradslikninger ha løsninger. Vi erstatter da $\sqrt{-1}$ med den imaginære enheten $i$. Med likningen i eksempel 8 får vi:

$\frac{\displaystyle -2 \pm \sqrt{-4}}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle -2 \pm \sqrt{4} \sqrt{-1}}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle -2 \pm 2i}{\displaystyle 4} = -\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \pm \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}i$

Altså $x_1 = {\large -\frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{2}}i, \, x_2 = {\large -\frac{1}{2}} – {\large \frac{1}{2}}i$.

Den imaginære delen dannes av det negative uttrykket under rottegnet. Som vi ser av formelen, vil den imaginære delen i den ene løsningen ha positivt fortegn, i den andre negativt fortegn, men tallverdien er den samme. Den reelle delen er lik i begge løsningene. Det betyr at de to komplekse løsningene alltid er konjugerte.

Når tallsystemet utvides til å omfatte komplekse tall, har vi altså at:

Diskriminant < 0: To komplekse, konjugerte løsninger.

Oppgave 5:

Bruk abc-formelen til å løse likningen $x^2 – 2x +2 = 0$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Kilder

  • Gulliksen T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia