Bestemte integraler

I artikkelen om ubestemte integraler lærte vi at når vi beregner det ubestemte integralet til en funksjon, får vi en ny funksjon. Men det finnes også noe som heter bestemte integraler. Når vi beregner det bestemte integralet til en funksjon, får vi en verdi.

Til bestemte integraler bruker vi det samme symbolet som til ubestemte integraler, men vi angir samtidig to integrasjonsgrenser: Øvre grense, plassert over, og nedre grense, plassert under, integrasjonssymbolet.

Eksempel 1:

Bestemt integral med integrasjonsgrenser 4 og 8: $\int\limits_4^8 f(x)\; dx$

For å beregne det bestemte integralet, beregner vi først det ubestemte integralet slik vi har lært i artikkelen om ubestemte integraler. I funksjonen vi da får tar vi funksjonsverdien til øvre grense og trekker fra funksjonsverdien til nedre grense. Generelt uttrykker vi det slik, for grensene a og b:

$\fbox {$ \int\limits_a^b f(x) dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) – F(a)$}$

Eksempel 2:

$\int\limits_1^2 (2x + 3) dx = \big[x^2 + 3x + C\big]_1^2 =\\
4 + 6 + C – (1 + 3 + C) = 10 + C – (4 + C) = 6$

Her beregner vi først det ubestemte integralet og får den nye funksjonen $x^2 + 3x + C$. Så setter vi inn øvre integrasjonsgrense, $x = 2$, og får $2^2 + 3 \cdot 2 + C = 10 + C$. Deretter setter vi inn nedre integrasjonsgrense, $x = 1$, og får $1^2 + 3 \cdot 1 + C = 4 + C$. Til slutt trekker vi den siste fra den første: $10 + C – (4 + C) = 6$.

I eksempel 2 ser vi at integrasjonskonstanten, $C$, faller bort, det vil den alltid gjøre i et bestemt integral. Vi dropper derfor $C$ når vi viser utregninger av bestemte integraler.

ScreencastSe film om beregning av bestemt integral
 

Oppgave 1:

Beregn følgende bestemte integraler:

  1. $\int\limits_1^3 6x^2 \; dx$
     
  2. $\int\limits_{-1}^1 2 \; dx$
     
  3. $\int\limits_a^b( \sin x + 5^x )\; dx$

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia