Brøk

En brøk er et uttrykk på formen ${\large \frac{a}{b}}$, for eksempel ${\large \frac{2}{3}}$, og ${\large \frac{5}{2}}$. Vanligvis er $a$ og $b$ hele tall.

En brøk består av 3 deler, teller, brøkstrek og nevner. Vi refererer ofte til telleren som "oppe", og nevneren som "nede".

Delene av en brøk

I bildet over vises brøkstreken som en horisontal strek. I noen lærebøker og på noen nettsider vil det imidlertid forekomme at brøkstreken er representert ved en skråstrek, "/", fordi dette passer bedre inn i teksten.

En brøk kan vi tenke på som deler av et hele, for eksempel kan vi tenke på ${\large \frac{3}{5}}$ som 3 deler av en helhet på 5:

Brøken 3/5 illustrert som deler av en sirkel

Nevneren i brøken angir hvor mange biter helheten er delt opp i, og telleren hvor mange av disse bitene vi har.

En brøk er egentlig et divisjonsstykke der brøkstreken erstatter divisjonssymbolet. Utfører vi divisjonen, får vi enten et helt tall eller et desimaltall. For eksempel ${\large \frac{6}{3}}=2$, $-{\large \frac{2}{5}} = -0,4$ og ${\large \frac{2}{3}} \approx 0,67$.

Siden en brøk alltid kan regnes om til et heltall eller desimaltall, kan hele begrepet virke overflødig. Men brøker er svært nyttige. Her er tre grunner til at vi trenger dem:

1. Med brøker kan vi angi størrelser som er mindre enn en enhet uten å bruke desimaltall. Når et desimaltall blir presentert som en brøk av heltall, er det mye lettere å danne seg et bilde av størrelsen enn ved desimaltall. For eksempel er det mye lettere å se for seg hvor mye ${\large \frac{1}{16}}$ pizza er enn hva $0,0625$ pizza er.

2. Med brøker kan vi angi en divisjon eksakt uten å bruke rest. I noen tilfeller kan en brøk skrives som et eksakt desimaltall, slik som $-2,5$, men i andre tilfeller er det overhodet ikke mulig. Sier vi at ${\large \frac{2}{3}} \approx 0,67$, er desimaltallet rundet av, i virkeligheten inneholder det en uendelig rekke $6$-tall bak komma.

3. Med brøker kan vi angi forhold mellom størrelser. For eksempel kan vi si at forholdet mellom gutter og jenter i en klasse er ${\large \frac{9}{13}}$, eller at forholdet mellom dager med og uten regn en periode var ${\large \frac{12}{19}}$.

Dersom tellerener mindre enn nevneren, har vi en ekte brøk, for eksempel ${\large \frac{2}{3}}$.

Dersom telleren er større eller lik nevneren, har vi en uekte brøk, for eksempel ${\large \frac{11}{3}}$. En uekte brøk vil være større eller lik $1$. Da kan vi trekke et heltall ut av brøken og stå igjen med et blanda tall, som består av et heltall og en ekte brøk. For eksempel kan ${\large \frac{11}{3}}$ skrives som ${3 \, \large \frac{2}{3}}$ som blanda tall.

Fordelen med blanda tall er at det er lett å se hvor mange hele som inngår. Men blanda tall har også ulemper. En av dem er at skrivemåten ${3 \, \large \frac{2}{3}}$, eller generelt ${c \, \large \frac{a}{b}}$, bryter med prinsippet fra algebraen om at elementer som stilles ved siden av hverandre skal multipliseres, slik for eksempel $2 {\large \frac{3}{x}}$ betyr $2 \cdot {\large \frac{3}{x}}$. En annen ulempe er at blanda tall gjør brøkregning mer komplisert. Bortsett fra på grunnleggende skolenivå er det da heller ikke vanlig å bruke blanda tall. Vi forkorter en brøk så langt det går, men så lar vi den stå, selv om den er uekte.

En brøk der telleren er lik $1$, kalles en stambrøk. For eksempel er ${\large \frac{1}{4}}$ og ${\large \frac{1}{75}}$ stambrøker.

Brøker der teller og/eller nevner selv er en brøk, kalles brudden brøk.

Eksempel 1:

$\frac{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$ er en brudden brøk.

Det finnes uendelig mange brøker som har samme tallverdi. Disse kalles likeverdige brøker. For eksempel er ${\large \frac{3}{4}} = {\large \frac{6}{8}} = {\large \frac{-3}{-4}}$ likeverdige brøker.

Alle likeverdige brøker kan reduseres til en brøk der teller og nevner ikke har felles faktorer. Det kalles å forkorte brøken og gjøres ved å faktorisere teller og nevner og stryke felles faktorer i teller og nevner mot hverandre.

Eksempel 2:

Forkorting av brøk

Her er to $2$-tall i telleren strøket mot to $2$-tall i nevneren.

Oppgave 1:

Forkort brøken så langt det er mulig:

$\frac{\displaystyle 735}{\displaystyle 882}$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

Vi kan bare forkorte faktorer, altså tall som multipliseres, ikke tall som adderes eller subtraheres.

Eksempel 3:

$\frac{\displaystyle 2 + 4}{\displaystyle 2 + 6} \ne \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}$

Her kan vi ikke stryke $2$-tallet i teller og nevner.

Forkorting er noe mange gjør feil, til og med studenter på universitetsnivå.

Vi kan også forkorte felles faktorer i en brøk som inneholder algebraiske uttrykk ved å stryke faktorer som opptrer både i teller og nevner.

Eksempel 4:

Forkorte brøk med algebraisk innhold

Det er selvfølgelig tungvint og unødvendig å skrive ut potensene på denne måten. I en brøk dividerer vi egentlig telleren på nevneren, og fra artikkelen om elementær algebra husker vi at når vi dividerer to potenser med samme grunntall, subtraherer vi eksponentene. Så vi kan ta eksponentene i telleren og trekke fra de motsvarende eksponentene i nevneren.

Eksempel 5:

$\frac{\displaystyle x^4y}{\displaystyle x^2y^5} = \frac{\displaystyle x^{4 – 2}y^{1 – 5}}{\displaystyle 1} = \frac{\displaystyle x^2y^{-4}}{\displaystyle 1} = \frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle y^4}$

En faktor med negativ eksponent i teller kan vi skifte fortegn på og flytte til nevneren, slik vi har gjort med $y^{-4}$ i eksempel 5. Det betyr at vi i praksis kan forkorte ved å trekke den minste eksponenten fra den største, uansett om vi er i teller eller nevner.

Oppgave 2:

Forkort disse to brøkene så langt det går:

$\frac{\displaystyle x^5y^4z^2}{\displaystyle xy^2z^3}$

$\frac{\displaystyle 3x + 5y}{\displaystyle xy^2}$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

Det motsatte av å forkorte en brøk er å utvide en brøk. Da multipliserer vi med samme tall i teller og nevner.

Eksempel 6:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 4}{\displaystyle 3 \cdot 4} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 12}$

Å utvide en brøk er nødvendig når vi skal addere eller subtrahere brøker med forskjellig nevner.

Oppgave 3:

Utvid brøken under slik at nevneren blir $6x^3$

$\frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle 3}$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

Alle tall forskjellig fra $0$ har en multiplikativ invers, som multiplisert med tallet blir $1$. For eksempel er inversen til $2$ lik ${\large \frac{1}{2}}$ fordi ${2 \cdot \large \frac{1}{2}} = 1$. Inverse tall kalles også resiproke tall.

Den multiplikative inversen til en brøk finner vi ved å bytte om teller og nevner. For eksempel er inversen til ${\large \frac{3}{2}}$ lik ${\large \frac{2}{3}}$ og generelt er inversen til ${\Large \frac{a}{b}}$ lik ${\Large \frac{b}{a}}$.

Den inverse til en brøk kalles ofte den den omvendte brøk, fordi teller og nevner er byttet om.

Kilder:

  • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget
  • Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia