Brøkregning

Addere og subtrahere brøk

Å addere brøker med samme nevner er enkelt. Vi adderer tellerne og beholder nevneren.

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle a + c}{\displaystyle b}$}$

Eksempel 1:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 1 + 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$

Dette er illustrert under, med $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$ som gul og $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}$ som rød:

En femdel pluss to femdeler som pizzadiagram

 

Når vi skal addere tall med forskjellige nevnere, er det fort å tro at vi skal legge sammen tellerne og nevnerne hver for seg. Men generelt er

$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} \ne \frac{\displaystyle a + c}{\displaystyle b + d}$.

Eksempel 2:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \ne \frac{\displaystyle 1 + 1}{\displaystyle 2 + 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$

Vi kan ikke legge sammen brøker som har forskjellige nevnere direkte, i stedet må vi utvide en eller begge brøkene slik at de får samme nevner, en fellesnevner.

Eksempel 3:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$

Her utvidet vi først brøken ${\large \frac{1}{2}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{2}{4}}$ ved å multiplisere med $2$ i teller og nevner.

Eksempel 3 er enkelt, for nevneren i den ene brøken går opp i den andre, $2$ går opp i $4$, og $4$ blir fellesnevner. Men har vi to nevnere som ikke går opp i hverandre, for eksempel ${\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{6}}$, må vi finne en fellesnevner begge de to nevnerne går opp i. $4 = 2 \cdot 2$ og $6 = 2 \cdot 3$. Så minste felles multiplum av $4$ og $6$ er $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$. Vi utvider ${\large \frac{1}{4}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{3}{12}}$ og ${\large \frac{1}{6}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{2}{12}}$. Og regnestykket blir:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 12}$

Dette kan illustreres slik:

Addisjon med fellesnevner illustrert som pizzastykker

Dette kan virke tungvint, og det er strengt tatt ikke nødvendig å finne minste felles multiplum. En fellesnevner får vi enkelt ved å multiplisere de to nevnerne:

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ad}{\displaystyle bd} + \frac{\displaystyle bc}{\displaystyle bd} = \frac{\displaystyle ad + bc}{\displaystyle bd}$}$

Eksempel 4:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 6 + 4 \cdot 1}{\displaystyle 4 \cdot 6} = \frac{\displaystyle 6 + 4}{\displaystyle 24} = \frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 24} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 12}$

Ulempen er at vi kan få unødvendig høye tall underveis.

Oppgave 1:

Utfør addisjonen under både ved å finne minste felles multiplum og ved å multiplisere nevnerne direkte. Forkort svaret mest mulig:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 16} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 24}$

ScreencastSe film der utregningene vises
 

Samme prinsipp brukes hvis brøkene inneholder algebraiske uttrykk. Imidlertid kan vi ofte ende opp med noe som er mer komplisert og sammensatt enn det vi startet med. Av og til er vi derfor like godt tjent med å la brøkene stå hver for seg.

Eksempel 5:

$\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} + \frac{\displaystyle z}{\displaystyle y^2} = \frac{\displaystyle y^2z^2 + xz}{\displaystyle xy^2}$

Ved addisjon av blanda tall kan vi regne ut heltallene for seg og brøkene for seg.

Eksempel 6:

$2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} +  3 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 2 + 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 5 \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$

Vi kan også gjøre heltallene om til brøk ved hjelp av fellesnevner, men utregningene blir gjerne unødvendig innviklede.

Subtraksjon av brøk gjøres på samme måte som addisjon, bare at vi subtraherer tellerne i stedet for å addere dem.

Eksempel 7:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} – \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12} – \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$

Multiplisere brøk

Mens addisjon av brøk kan være litt innviklet ved at vi må finne en fellesnevner, er multiplikasjon av brøk liketil. Vi multipliserer bare teller med teller og nevner med nevner:

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle bd}$}$

Eksempel 8:

$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 3 \cdot 4}{\displaystyle 2 \cdot 7} = \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 14} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}$

Eksempel 9:

$\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} \cdot \frac{\displaystyle z}{\displaystyle y^2} = \frac{\displaystyle z^3}{\displaystyle xy^2}$

Å multiplisere et helt tall med en brøk er også enkelt. Vi multipliserer tallet med telleren og lar nevneren stå.

$\fbox{$a \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle d}$}$

Eksempel 10:

$3 \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 3 \cdot 2}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}$

Dette er egentlig samme regel som multiplikasjonsregelen over, for vi kan alltid skrive et tall som en brøk med 1 i nevneren.

Altså: $a \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle 1} \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle 1d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle d}$

Oppgave 2:

Regn ut og forkort mest mulig:

$-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

Multiplikasjon av blanda tall er mer komplisert fordi vi har en eller flere addisjoner inne i regnestykket.

Eksempel 11:

$3 \cdot 2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

betyr egentlig

$3 \cdot (2 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})$

Ved å multiplisere $3$-tallet inn i parentesen, får vi

$3 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 6 + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} = 7\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

En annen metode er å inkludere heltallet i brøken.

Eksempel 12:

$3 \cdot 2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 3 \cdot \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 2} = 7\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

Ved matematikk på høyere nivå er det ikke vanlig å bruke blanda tall. Vi forkorter ned en brøk så langt det går, men så lar vi den stå, selv om den er uekte.

Dividere brøk

Divisjon av brøk betyr at det som står under brøkstreken selv er en brøk, vi har altså en brudden brøk.

Eksempel 13:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\;}{\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}$

Generelt:

$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}}$

Uttrykket ser forferdelig komplisert ut, men i virkeligheten er regnestykket veldig enkelt. Vi utvider brøken ved å multiplisere med nevnerens invers, ${\large \frac{d}{c}}$, i teller og nevner. Da blir nevneren i hovedbrøken $1$, og vi står igjen med telleren multiplisert med nevnerens invers.

$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}} = \frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}\frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}} = \frac{\;\frac{\displaystyle ad}{\displaystyle bc}\;}{\displaystyle 1^\phantom 1} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}$ 

Å dividere med en brøk er altså det samme som å multiplisere med den inverse (omvendte) brøken:

$\fbox{$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}$}$

Eksempel 14:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\;}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

Eksempel 15:

$\frac{\;\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1}\;}{\frac{\displaystyle z^\phantom 1}{\displaystyle y^2}} = \frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} \cdot \frac{\displaystyle y^2}{\displaystyle z^\phantom 1} = \frac{\displaystyle y^2z}{\displaystyle x^\phantom 1}$

Oppgave 3:

Regn ut og forkort mest mulig:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\;}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

Oppgave 4:

Regn ut og forkort mest mulig:

$\frac{\;\frac{\displaystyle x^3y}{\displaystyle z^2}\;}{\frac{\displaystyle x^2y^4}{\displaystyle z}}$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

Siden et tall alltid kan betraktes som en brøk med nevner 1, fungerer samme metode også hvis vi har et helt tall over eller under brøkstreken.

Eksempel 16:

$\frac{\;\displaystyle 2\;}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}} = 2 \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$

Eksempel 17:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\;}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8}$

Kilder

  • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget
  • Wikipedia