Løsningsforslag, mer om algebra

Logaritmer

Oppgave 1:

Vi skal beregne $\log 2$, $\log 20$ og $\log 0{,}2$

  1. med Excel.
    Vi går til ei celle i Excel og skriver =log10(2). Tilsvarende for $\log 20$ og $\log 0{,}2$.
     
  2. med GeoGebra.
    Vi går i inntastingsfeltet og skriver lg(2). Tilsvarende for $\log 20$ og $\log 0{,}2$.

Resultatet skal uavhengig av beregningsverktøy bli det samme: $\log 2 \approx 0{,}3$, $\log 20 \approx 1{,}3$ og $\log 0{,}2 \approx -0{,}7$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne $\log_{\large 3} 81$ ved å bruke funksjonen $\ln$.

Her benytter vi oss av at $\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$, og får

$\log_{\large 3} 81 = \frac{\displaystyle \ln 81}{\displaystyle \ln 3} = 4$.

Vi ser at dette svaret er riktig fordi $3^4 = 81$. 4 er det tallet vi må opphøye grunntallet 3 i for å få 81.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen $12^{\large 2x} + 3= 125$.

Vi flytter $3$ over til høyre side: $12^{\large 2x} = 125 – 3 = 122$.

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet: $\ln 12^{\large 2x} = \ln 122$.

Vi flytter ned eksponenten: $2x \cdot \ln 12 = \ln 122$.

Vi dividerer med $2$ og $\ln 12$ på begge sider: $x = \frac{\displaystyle \ln 122}{\displaystyle 2 \cdot \ln 12} \approx 0{,}97$.

Vær obs på at små avrundingsfeil gir store utslag hvis vi setter prøve på svaret.

NB! Dette er feil metode:

$\color{red}{ \ln 12^{\large 2x} + 3 = \ln 125 \\
\Downarrow \\
2x \cdot \ln 12 + \ln 3 = \ln 125}$

Logaritmen til en sum er ikke lik summen av logaritmene.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal anslå verdien til punktene B, C, D, F, G og H som er vist på en logaritmisk skala der verdiene 10 og 100 er markert. Svaret er

B: 2,5, C: 5,0, D: 7,5, F: 25, G: 50, H: 75.

Her er det fort å gå fem på og tenke som om det var en lineær skala mellom 1 og 10 og 10 og 100, og tro at det er lengre mellom A og B enn mellom D og E, og lengre mellom E og F enn mellom H og I.

I bildet under er samme skala vist, men nå med mellomenhetene $2, 3, \dots, 9$ og $20, 30, \dots, 90$ markert. Vi ser at avstanden mellom enhetene avtar jo større enhetene blir.

Punkter langs logaritmisk akse med mellomverdier markert

Tilbake til oppgaven

Bevis og bevisteknikk

Oppgave 1:

Vi skal bevise at det finnes nøyaktig ett heltall, $n \in[20, 25]$, som består av nøyaktig fire primfaktorer.

Vi faktoriserer heltallene mellom $20$ og $25$:

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \\
21 = 3 \cdot 7 \\
22 = 2 \cdot 11 \\
23 = 23 \\
 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \\
 25 = 5 \cdot 5$

Vi ser at $24$ og ingen andre av tallene oppfyller kravet, og påstanden er derved bevist.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bevise at påstanden "alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primfaktorer" er uriktig.
Det gjør vi ved et moteksempel: $106$ er et sammensatt tall, men inneholder bare to primfaktorer, $106 = 2 \cdot 53$.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi spør hvor mange, $m$, sokker vi må ha blant $n$ typer for at minst to skal være like. Dueslagprinsippet sier at dette vil vi ha når $m > n$. Siden $n = 5$, og minste $m > 5$ er $6$, må vi ha minst seks sokker.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal bevise at summen av to oddetall er et partall. Et oddetall er et tall på formen $2t + 1$ der $t$ er et helt tall. Summen av to oddetall kan skrives som $(2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1)$. Siden $n + m + 1$ er et heltall, ser vi at produktet er på formen $2t$, og derved et partall.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi påsto at likningen $a^2 – b^2 = 12$ ikke hadde positive heltallsløsninger fordi vi, både når vi faktoriserte $12$ som $3 \cdot 4$ og $1 \cdot 12$, endte opp med en $a$ som ikke var et heltall.

Vi har imidlertid ikke tatt for oss alle måtene 12 kan faktoriseres på. Vi kan også ha $12 = 2 \cdot 6$ og da får vi $(a + b) = 6$ og $(a – b) = 2$. Summerer vi de to likningene, får vi $2a = 8 \Rightarrow a = 4$. Setter vi dette inn i $a + b = 6$, får vi  $4 + b = 6 \Rightarrow b = 2$. Beviset faller derved sammen. Vi har $4^2 – 2^2 = 12$.

​Tilbake til oppgaven

Skjermfilmer, algebra

Tabellen under gir en oversikt over alle skjermfilmer det refereres til på nettstedet, under temaet «algebra».

Artikkel Beskrivelse Skjermfilm
Elementær algebra Vi trekker uttrykket $4xy + 8z – 3xy + 5x – 3z$ sammen så langt det er mulig. elementaer algebra 01
Vi bruker potensreglene til å forenkle $\frac{\displaystyle {(a^2)}^3a^4}{\displaystyle {(a^3)}^2}$ så langt det er mulig. elementaer algebra 02
Vi forenkler potensene og trekker uttrykket $x^2y^2x + x^3y^3x^{-1} – x^3y^2 + xyyyyy^{-1}x$ sammen så langt det er mulig. elementaer algebra 03
Vi multipliserer ut parentesene og trekker uttrykket $5m^2 – 3n – 3(m^2 + n) – (-m^2- n)$ sammen så langt det er mulig. elementaer algebra 04
Brøk Vi forkorter brøken $\frac{\displaystyle 735}{\displaystyle 882}$ så langt det er mulig. broek 01
Vi forkorter brøkene $\frac{\displaystyle x^5y^4z^2}{\displaystyle xy^2z^3}$ og $\frac{\displaystyle 3x + 5y}{\displaystyle xy^2}$ så langt det går. broek 02
Vi utvider brøken $\frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle 3}$ slik at nevneren blir $6x$. broek 03
Brøkregning Vi utfører addisjonen $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 16} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 24}$ både ved å finne minste felles multiplum og ved å gange nevnerne direkte. broekregning 01
Vi regner ut $-\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ og forkorter mest mulig. broekregning 02
Vi regner ut $\frac{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$ og forkorter mest mulig. broekregning 03
Vi regner ut $\frac{\frac{\displaystyle x^3y}{\displaystyle z^2}}{\frac{\displaystyle x^2y^4}{\displaystyle z}}$ og forkorter mest mulig. broekregning 04
Likninger og ulikheter Vi løser likningen $5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6$ og setter prøve på svaret. likninger og ulikheter 01
Vi løser likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x} + 10 = 12$ og setter prøve på svaret. likninger og ulikheter 02
Vi løser likningen $5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6$ grafisk. likninger og ulikheter 03
Vi løser tekstoppgaven «Astrid er halvparten så gammel som Thorild. Knut er tre år eldre enn Thorild. Til sammen er de 53 år gamle. Hvor gammel er Astrid, Thorild og Knut?» ved å stille opp og løse likningen med Astrids alder som den ukjente x». likninger og ulikheter 04
Vi løser ulikheten: $2x + 2 \le 3x – 1$. likninger og ulikheter 05
Regneregler i algebra Vi gjennomgår trinnene i likningsløsningen under, og angir hvilke regneregler som brukes.
1: $3(2x + 3) = 12 + 3x$
2: $6x + 9 = 12 + 3x$
3: $6x = 3 + 3x$
4: $3x = 3$
5: $x = 1$
regneregler i algebra 01
Vi avgjør om relasjonen «mindre enn» er henholdsvis refleksiv, symmetrisk og transitiv. regneregler i algebra 02
Kvadratsetningene Vi regner ut $(x + 2)(x + 3)$ og forenkler så langt som mulig. kvadratsetningene 01
Vi bruker andre kvadratsetning til å regne ut: $(2x – 3y)^2$ og forenkle svaret så langt som mulig. kvadratsetningene 02
Vi bruker tredje kvadratsetning til å regne ut $(2x + 3y)(2x – 3y)$ og forenkle svaret så langt som mulig. kvadratsetningene 03
Forskjellige typer tall Vi avgjør om $-3, \, \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}, \, 8, \, 3,\overline 3, \, i, \, 1,412 \dots, \, -\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}, \, 2+4i$ er naturlige tall, hele tall, rasjonale tall, reelle tall eller komplekse tall. forskjellige typer tall 01
Vi lager en skisse der vi plasserer $1, \, i, \, -2, \, 1 + 3i, \, 2 – i$ i det komplekse planet og deretter også plasserer tallenes konjugerte. forskjellige typer tall 02
Komplekse tall Vi beregner $|1 + i|$. komplekse tall 01
Vi beregner $z_1 + z_2$ og $z_1 – z_2$ når $z_1 = 1 + i$ og $z_2 = 3 – 2i$. komplekse tall 02
Vi beregner $z_1 \cdot z_2$ og $z_1 – z_2$ når $z_1 = 1 + i$ og $z_2 = 3 – 2i$. komplekse tall 03
Vi beregner $z \cdot \overline z$ når $z = 1 + i$. komplekse tall 04
Vi beregner $z_1 / z_2$ og $z_1 – z_2$ når $z_1 = 1 + i$ og $z_2 = 3 – 2i$. komplekse tall 05
Andregradslikninger Vi løser likningen $x^2 – 7 = 1$. andregradslikninger 01
Vi bruker metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen $2x^2 = -10x – 12$. andregradslikninger 02
Vi bruker metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen $ax^2 + bx + c = 0$. andregradslikninger 03
Vi bruker abc-formelen til å løse likningen $2x^2 = -10x – 12$. andregradslikninger 04
Vi bruker abc-formelen til å løse likningen $x^2 – 2x +2 = 0$. andregradslikninger 05
Polynomdivisjon Vi utfører polynomdivisjonen $(x^3 – 1) : (x – 1)$. polynomdivisjon 01
Vi utfører polynomdivisjonen $(x^4 + 3x^2 – 4) : (x^2 + 2x)$. polynomdivisjon 02
Faktorisere polynomer Vi faktoriser polynomet $(4x^2 – 8x + 4)(x^2 – 4)$. faktorisere polynomer 01
Vi faktoriser polynomet $2x^2 + 12x + 10$ basert på at $x_1 = -1$ og $x^2 = -5$ er nullpunkter i polynomet . faktorisere polynomer 02
Vi faktoriser polynomet $-x^4 + x^3 + 11x^2 – 9x – 18$ basert på at $x_1 = -3$ og $x_2 = 2$ er nullpunkter i polynomet. faktorisere polynomer 03
Vi faktoriser polynomet $-x^5 + 6x^4 -9x^3 -4x^2 + 12x$ basert på at $x = 2$ er to nullpunkter i polynomet. faktorisere polynomer 04
Likninger og ulikheter av høyere grad Vi løser likningen $-x^4 + x^3 + 11x^2 – 9x – 18 = 0$ når vi vet at to av fjerdegradslikningens løsninger er $x_1 = -3$ og $x_2 = 2$. likninger og ulikheter av hoyere grad 01
Vi løser likningen $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$. likninger og ulikheter av hoyere grad 02
Vi løser ulikheten $-3x^3 + 6x^2 – 9x \le 0$. likninger og ulikheter av hoyere grad 03
Følger Vi skriver ut fem ledd i en tallfølge gitt eksplisitt, og i en tallfølge gitt rekursivt. ledd i tallfolge
Vi undersøker om tre følger er aritmetiske eller geometriske. klassifisering av folger
Vi finner en eksplisitt formel for to følger. finne eksplisitt formel
Vi bruker regneark til å finne de 30 første tallene i Fibonaccis følge, og å finne kvotienten mellom to etterfølgende tall i følgen. fibonaccitall
Summasjonstegn Vi skriver ut ledd angitt med summasjonstegn. summasjonstegn

Tallsystemer

Titallsystemet

Som mennesker er vi vant med å regne med 10 som grunntall, vi bruker titallsystemet (desimalsystemet). Dette kommer formodentlig av at mennesket har 10 fingre, og derved er i stand til å representere 10 ulike sifre uten ekstra hjelpemidler. De 10 sifrene er de velkjente symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Tallsystemet vårt er et posisjonssystem, hvor verdien av hvert siffer avhenger av hvor i tallet sifferet er plassert. I tallet 782, for eksempel, representerer sifferet 7 'syv hundre', 8 representerer 'åtti', og 2 representerer 'to'. Sifferet lengst til høyre representerer enere, det neste tiere, deretter hundrere, etc.

Vi ser at sifferverdien (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) multipliseres med tallsystemets grunntall (10) opphøyd i sifferets posisjonsnummer. Enerplassen regnes som posisjon null. 782 betyr altså 7·102 + 8·101 + 2·100 = 7·100 + 8·10 + 2·1.

Totallsystemet

Et annet viktig posisjonssystem er totallsystemet (binærsystemet), der vi bruker 2 som grunntall. I totallsystemet anvendes bare to sifre, 1 og 0, og de ulike posisjonene representerer 1, 2, 4, 8, etc. i stedet for titallsystemets 1, 10, 100, 1000, etc. Helt analogt med titallsystemet multipliseres sifferverdien (0, 1) med tallsystemets grunntall (2) opphøyd i sifferets posisjonsnummer. 1101 betyr for eksempel 1·23+ 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 13 i titallsystemet.

For å angi hvilket tallsystem en arbeider i, brukes et lite subskript. 2 for totallsystemet, 10 for titallsystemet, etc. For eksempel betyr 11012 = 1310 at 1101 i totallsystemet er lik 13 i titallsystemet.

Siden det bare er to sifre i totallsystemet, kan en lett representere tall fysisk ved å la 1 bety at noe er til stede, og 0 at noe ikke er til stede. Dette er illustrert på bildet under, ved hjelp av egg i en eggekartong. Her ligger det egg i de fire posisjonene lengst til venstre, mens de to til høyre er tomme. Tallet dette symboliserer blir derved 1111002. Skulle en representert det samme i titallsystemet, måtte en innført et innfløkt system der for eksempel rødt egg betydde 1, blått egg 2, grønt egg 3, etc.

Egg som illustrerer 111100 i totallsystemet
 

Datamaskiner representerer tall som fysiske enheter, selv om det ikke er egg. I DRAM-minne for eksempel, betyr "elektriske ladning" 1, og "ingen ladning" 0. Skulle en operert i titallsystemet, måtte en holdt rede på 10 forskjellige ladningsnivåer, like innviklet som 10 fargede egg.

En annen stor fordel med totallsystemet, er at regneoperasjonene er svært enkle. Regnereglene for addisjon er slik:

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 og 1 i mente

Multiplikasjon i totallsystemet er like enkelt. Gangetabellen ser slik ut:

  0 1 10
0 0 0 0
1 0 1 10
10 0 10 100

På grunn av den enkle måten å representere tall på, og de enkle regnereglene, arbeider de aller fleste datamaskiner i totallsystemet, de er binære.

Skal en gjøre operasjoner på flere tall, kan en ta for seg to tall av gangen. For å addere tre tall for eksempel, adderer en først to av dem, og adderer deretter summen til det siste tallet.

Regneeksempler

Akkurat som i titallsystemet, adderer en to binære tall ved å addere kolonne for kolonne, fra høyre mot venstre. Eksemplet under viser skritt for skritt prosedyren med å utføre addisjonen 101012 + 11012 = 100102. I titallsystemet tilsvarer det 2110 + 1310 = 3410.

Multiplikasjon kan en også utføre som i titallsystemet. En multipliserer tallet til venstre med hvert siffer av tallet til høyre, setter resultatene under hverandre, og summerer. Eksemplet under viser skritt for skritt prosedyren med å utføre multiplikasjonen 1010012 · 1102 = 111101102. I titallsystemet tilsvarer det 4110 · 610 = 24610.

Sekstentallsystemet

Totallsystemet er kjekt for datamaskiner, men ikke så lett for mennesker å håndtere, fordi sekvensene av ettall og nuller fort blir lange og tungvinte. For mennesker er titallsystemet mye mer praktisk. Det er for eksempel atskillig enklere å tolke tallet 128583 i titallsystemet, enn motparten i totallsystemet: 11111011001000111.

Totallsystemet brukes derfor sjelden i skriftlig materiale. Men hvis en ønsker å vise hvordan tall representeres i en datamaskin, er titallsystemet heller ikke særlig velegnet. Dersom en f.eks. øker tallet 11112 med 1, får en 100002, en endring som overhodet ikke gjenspeiles i at 1510 blir til 1610.

En slår derfor i stedet sifrene i totallsystemet sammen i grupper på fire, og representerer hver gruppe med ett enkelt symbol. En slik gruppe på fire sifre kan representere 16 forskjellige tall, og et slikt tallsystem kalles derfor sekstentallsystemet (heksadesimalsystemet). For de første10 sifrene brukes de vanlige symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Men så eksisterer det ikke flere tallsymboler. En kunne selvfølgelig oppfunnet nye symboler for å representere de neste 6 sifrene, men i stedet har en valgt å bruke bokstavene A, B, C, D, E og F. Dette er illustrert i tabellen under.

00002=016 00012=116 00102=216 00112=316
01002=416 01012=516 01102=616 01112=716
10002=816 10012=916 10102=A16 10112=B16
11002=C16 11012=D16 11102=E16 11112=F16

 

I sekstentallsystemet vil en endring fra 11112 til 100002, vises ved at F16 blir til 1016. I motsetning til titallsystemet, gjenspeiler sekstentallsystemet at sifrene i posisjon 0, 1, 2 og 3 er blitt satt til 0, og sifferet i posisjon 4 er blitt satt til 1.

Sekstentallsystemet er et posisjonssystem hvor sifferverdien (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) multipliseres med tallsystemets grunntall (16) opphøyd i sifferets posisjonsnummer. 3F6 betyr for eksempel 3 ·162 + 15 ·161 + 6 ·160 = 3 · 256 + 15 ·16 + 6 ·1 = 1014 i titallsystemet.

Omregning mellom tallsystemene

Fra totallsystemet til titallsystemet

Multipliser sifferet lengst til høyre med 20, neste siffer med 21, neste med 22, etc., og adder resultatet.
Eksempel: 101012 = 1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 = 1 · 1 + 0 · 2 + 1 · 4 + 0 · 8 + 1 · 16 = 2110.

Fra titallsystemet til totallsystemet

Del tallet på to. Blir det en rest, skriv 1. Blir det ingen rest, skriv 0. Stryk resten og del på to på nytt. Skriv 1 eller 0 til venstre for forrige siffer, alt etter om det ble rest eller ikke.
Gjenta operasjonen inntil det står null igjen.

Eksemplet under viser hvordan en regner om 1310 til 11012:

Desimalt   Rest?   Binært
13 : 2  = 6,5    Ja   1
6 : 2  = 3,0    Nei   01
3 : 2  = 1,5    Ja   101
1 : 2  = 0,5    Ja   1101
         

Fra totallsystemet til sekstentallsystemet

Grupper sifrene 4 og 4, fra høyre mot venstre. Dersom siste gruppe har færre enn fire sifre, fyll på med nuller til venstre. Regn om ifølge tabellen i avsnittet om sekstentallsystemet.

Eksempel: 111110110010001112 = 0001 1111 0110 0100 01112 = 1F64716.

Fra sekstentallsystemet til totallsystemet

Ta utgangspunkt i tabellen i avsnittet om sekstentallsystemet, og erstatt hvert siffer med de tilhørende fire sifrene i totallsystemet. Ledende nuller kan strykes.

Eksempel: 2F316 = 0010 1111 00112 = 10111100112.

Fra sekstentallsystemet til titallsystemet

Multipliser sifferet lengst til høyre med 160, neste siffer med 161, neste med 162, etc., og adder resultatet. Husk at A16 = 1010, B16 = 1110, C16 = 1210, D16 = 1310, E16 = 1410, F16 = 1510.

Eksempel: 2F3C16 = 12· 160 + 3· 161 + 15 · 162 + 2 · 163 = 12 · 1 + 3 · 16 + 15 · 256 + 2 · 4096 = 1209210

Fra titallsystemet til sekstentallsystemet

Det enkleste er nok å regne om til totallsystemet først, og deretter til sekstentallsystemet, som beskrevet i avsnittene over. En kan imidlertid bruke teknikken for å regne om fra ti- til totallsystemet til å regne om direkte til sekstentallsystemet. Men en må dele på seksten, og i stedet for å skrive 1 når en får rest, skriver en resten multiplisert med seksten.

Eksemplet under viser hvordan en regner om 1209210 til 2F3C16:

Desimalt Oppmultiplisert rest   Heksadesimalt
12092 : 16  = 755,75    0,75  * 16= 12    C
755 : 16  = 47,1875    0,1875  * 16 = 3   3C
47 : 16  = 2,9375    0,9375  * 16 = 15   F3C
2 : 16  = 0,125    0,125  * 16 = 2   2F3C
           

Omregning med kalkulator

Windows har en kalkulator-app som en får fram ved å åpne Windows-menyen og skrive "kalkulator".Denne kan brukes til å regne om mellom totallsystemet (binært), åttetallsystemet (oktalt), titallsystemet (desimalt) og sekstentallsystemet (heksadesimalt).

Første gang kalkulatoren hentes fram, vises den i modus "Standard", dette endrer vi til "Programmering" i menyen øverst til venstre.

Windows-kalkulator i programmerings-modus

HEX, DEC, OCT og BIN er til å velge tallsystem med, henholdsvis sekstentallsystemet, titallsystemet, åttetallsystemet og totallsystemet. Vil en regne om fra titallsystemet til sekstentallsystemet, for eksempel, klikker en på DEC, skriver inn tallet, og klikker på HEX. Vil en regne om fra totallsystemet til titallsystemet, klikker en på BIN, skriver inn tallet, og klikker på DEC. Kalkulatoren deaktiverer knapper med tall som ikke er gyldige i et gitt tallsystem. Velger en BIN, er således bare 0 og 1 aktivert. Velger en OCT, aktiveres i tillegg 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Med DEC kommer også 8 og 9, og med HEX A, B, C, D, E og F.

Kilder

  • Bård Kjos: Innføring i informasjonsteknologi. Tapir Akademisk forlag, Trondheim 2005
  • Wikipedia

Bevis og bevisteknikk

I denne artikkelen gir vi en kortfattet introduksjon til forskjellige bevis og bevisteknikker.

Et matematisk bevis består av en påstand og en kjede argumenter som ender opp med å slå fast om påstanden er riktig eller uriktig.

Vi tar bare for oss påstander som enten er riktige eller uriktige, såkalte utsagn. Eksempler på slike påstander er "vinkelsummen i en trekant er 180 grader" og "april har 31 dager", som er henholdsvis et sant og et usant utsagn. Påstander som "jordbær er godt" eller "Gerhardsen gjorde en god jobb som statsminister" er subjektive, og vi kan ikke bevise om de er riktige eller uriktige.

Når vi formulerer en påstand, må vi passe på å være nøyaktige, slik at påstanden ikke kan misforstås. Vanlig språk er ofte dårlig egnet til å formulere påstander fordi dagligtalen vår er full av unøyaktigheter. Ta for eksempel påstanden "Mellom 20 og 25 finnes tre heltall med to primfaktorer". Betyr "tre heltall" nøyaktig tre heltall eller minst tre heltall? Betyr "to primfaktorer" nøyaktig to primfaktorer, eller minst to primfaktorer? Betyr "mellom 20 og 25" at 20 og 25 regnes med eller ikke?

For å unngå slike unøyaktigheter er det utviklet en egen matematisk terminolog som er fri for tvetydigheter. For eksempel kan vi uttrykke at "et tall, $n$, er mellom 20 og 25" som $n \in [20, 25]$, som betyr at 20 og 25 skal telle med, eller $n \in \langle 20, 25 \rangle$, som betyr at 20 og 25 ikke skal telle med. En påstand som utelukkende er uttrykt gjennom matematiske symboler kan imidlertid være tung å lese, så i denne artikkelen bruker vi vanlig språk når det ikke kan føre til misforståelser. For eksempel uttrykker vi den nevnte påstanden som "Det finnes nøyaktig tre heltall, $n \in[20, 25]$, som består av nøyaktig to primfaktorer."

En beviskjede kan være kort eller lang.

Eksempel 1:

  1. Påstand: $4$ er et primtall.
    Bevis for at påstanden er uriktig: $4$ kan faktoriseres som $2 \cdot 2$ og er derfor ikke et primtall.
  2. Påstand: Det finnes ingen heltallige $n, x, y, z$ slik at $x^n + y^n = z^n$ når $n > 2$.
    Beviset for denne påstanden er 150 sider langt og tok 7 år å utarbeide. Påstanden sto ubevist i over 350 år.

I eksempel 1 er det er underforstått at vi vet hva et primtall er, og at vi vet at et tall som kan faktoriseres ikke er et primtall. Det vil som regel være slik at vi i et bevis må anta at en del begreper er kjent på forhånd.

Ikke alle påstander kan bevises, og det kan bevises at enkelte påstander ikke kan bevises.

Så skal vi se litt nærmere på forskjellige typer bevis.

Uttømmende bevis

En av de enkleste bevisformene er uttømmende bevis, der vi viser at en påstand er riktig ved å undersøke alle muligheter som inngår i påstanden.

Eksempel 2:

Påstand: Det finnes nøyaktig tre heltall, $n \in[20, 25]$, som består av nøyaktig to primfaktorer.

Bevis: Vi faktoriserer heltallene mellom $20$ og $25$:

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$

$21 = 3 \cdot 7$

$22 = 2 \cdot 11$

$23 = 23$

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

$25 = 5 \cdot 5$

Vi ser at $21$$22$ og $25$ og ingen andre av tallene oppfyller kravet, og påstanden er derved bevist.

Oppgave 1:

Bevis følgende påstand: Det finnes nøyaktig ett heltall, $n \in[20, 25]$, som består av nøyaktig fire primfaktorer.

Se løsningsforslag

Dersom antall muligheter som må undersøkes blir mange, blir uttømmende bevis tungvint, og helt umulig hvis en påstand gjelder et uendelig antall muligheter, noe som ofte er tilfelle.

Hvis et uttømmende bevis ikke undersøker alle muligheter, er det ugyldig. Det er en vanlig feil å tro at en har bevist en påstand ved å ramse opp noen eksempler på at den er riktig.

Eksempel 3:

Påstand: Alle tall på formen $2^p – 1$ er primtall hvis $p$ er et primtall.

Ugyldig bevis: Vi tester påstanden for en del primtall:

$2^2 – 1 = 3$. Primtall.

$2^3 – 1 = 7$. Primtall.

$2^5 – 1 = 31$. Primtall.

$2^7 – 1 = 127$. Primtall.

$2^{13} – 1 = 8191$. Primtall.

$2^{17} – 1 = 131071$. Primtall.

$2^{19} – 1 = 524287$. Primtall.

Skulle metoden i eksempel 3 ført fram, måtte vi testet alle primtall som finnes. Og siden det finnes uendelig mange, lar det seg ikke gjøre. Påstanden er heller ikke riktig, som vi skal se i eksempel 5.

Eksempel 4:

Påstand: Summen av tre etterfølgende heltall er alltid lik tre ganger det midterste tallet. For eksempel er

$3 + 4 + 5 = 12 = 3 \cdot 4$

$11 + 12 + 13 = 36 = 3 \cdot 12$

$-13 + (-12) + (-11) = -36 = 3(-12)$

Ugyldig bevis: Vi tester påstanden for 10 000 sekvenser av tre etterfølgende heltall i et regneark, og finner ut at påstanden stemmer.

Påstanden i eksempel 4 er riktig, men uansett hvor mange eksempler vi prøver ut i et regneark, vil vi ikke få et et gyldig bevis. Vi sannsynliggjør imidlertid påstanden, noe som betyr at den er vel verd å utforske nærmere, og at vi kanskje kan finne et bevis for den. Som vi skal se i eksempel 11, kan vi bekrefte denne påstanden ved et enkelt, algebraisk bevis.

Bevis ved moteksempel

Det er altså ikke nok å bare sjekke en del av mulighetene som inngår for å bevise at en påstand er riktig. Derimot er det nok med ett enkelt moteksempel for å bevise at en påstand er uriktig, altså motbevise den.

Eksempel 5:

Påstand: Alle tall på formen $2^p – 1$ er primtall hvis $p$ er et primtall.

Moteksempel: $11$ er et primtall, men $2^{11} – 1 = 2047$, er ikke er et primtall. $2047$ kan faktoriseres som $23 \cdot 89$.

Oppgave 2:

Bevis at følgende påstand er uriktig: Alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primfaktorer.

Se løsningsforslag

Eksempel 6:

Påstand: Alle primtall er oddetall.

Moteksempel: 2 er et primtall, men ikke et oddetall.

Påstanden i eksempel 6 er gyldig for alle andre primtall enn 2. Det finnes altså uendelig mange tall den er riktig for, men bare ett den ikke er riktig for. Allikevel betyr dette ene moteksempelet at påstanden er uriktig. Med en liten modifikasjon blir imidlertid påstanden riktig: "Alle primtall unntatt 2 er oddetall".

Dueslagprinsippet

Et enkelt bevis som går ut på opptelling, er det såkalte dueslagprinsippet: Hvis m objekter blir fordelt på n avdelinger, og m > n, vil minst én avdeling inneholde mer enn ett objekt. Hvis det for eksempel er 110 duer i et dueslag med 100 seksjoner, må det finnes seksjoner med mer enn 1 due.

Eksempel 7:

Påstand: I ei bygd med 50 gårder der den største besetningen er på 40 dyr, er det minst to gårder som har samme besetning.

Bevis: Siden det er flere gårder enn dyr i den største besetningen, sier dueslagprinsippet at minst to gårder har samme besetning.

Vi kan tenke oss at vi tegner opp 40 ruter på et ark, der rute 1 representerer besetninger med 1 dyr, rute 2 besetninger med 2 dyr, og så videre. Så tar vi for oss de forskjellige gårdene. Har en gård 15 dyr, setter vi et kryss i rute 15, har en gård 31 dyr, setter vi et kryss i rute 31, og så videre. For de første 40 gårdene er det tenkelig, om enn ikke sannsynlig, at alle har forskjellig besetning, slik at vi etter gård nummer 40 har ett kryss i hver rute. Men nå er det ikke flere ledige ruter, så for gård nummer 41 til 50 er det bare mulig å sette kryss i en rute der det finnes et kryss fra før. Setter vi for eksempel to kryss i rute 17, betyr det at to besetninger har 17 dyr.

Oppgave 3:

Vi roter etter sokker innerst i klesskapet, der det ligger 5 forskjellige typer. Hvor mange må vi rote fram for å være sikre på å ha to like?

Se løsningsforslag

Kontrapositivt bevis

Vi har to påstander, A og B. Hvis B følger av A, betyr et kontrapositivt bevis at vi, gitt påstanden ikke-B, konkluderer med ikke-A.

Eksempel 8:

Alle sauene til Ola Oppigarden er svarte.

Her følger påstand B, at en sau er svart, av påstand A, at sauen tilhører Ola Oppigarden.

Påstand ikke-B, at en sau ikke er svart medfører da ikke-A, at sauen ikke tilhører Ola Oppigarden.

Det er imidlertid ikke slik at hvis B følger av A, så følger A av B.

Eksempel 9:

Alle sauene til Ola Oppigarden er svarte. Men hvis vi ser en sau som er svart, påstand B, trenger den ikke tilhøre Ola Oppigarden, påstand A.

Påstanden i neste eksempel er en variant av påstanden i eksempel 3, men denne påstanden er riktig, uten at vi går inn på beviset.

Eksempel 10:

Riktig påstand: Hvis $n$ er et sammensatt tall, er $2^n – 1$ et sammensatt tall.

Av dette følger at hvis $2^n – 1$ ikke er et sammensatt tall, er $n$ ikke et sammensatt tall.

"Ikke sammensatt tall" er det samme som "primtall", så vi har altså at:
Hvis $2^n – 1$ er et primtall, er $n$ et primtall.

En påstand som er bevist, kalles gjerne et teorem, og en påstand som umiddelbart følger av et teorem kalles et korollar. Vi har altså:

Teorem: Hvis $n$ er et sammensatt tall, er $2^n – 1$ et sammensatt tall.

Ved kontrapositivt bevis følger da:

Korollar: Hvis $2^n – 1$ er et primtall, er $n$ et primtall.

Hvis vi feilaktig prøver å si at A følger av B hvis B følger av A, får vi den uriktige påstanden fra eksempel 3.

Algebraisk bevis

Hvis vi skal bevise en påstand der vi ikke kan bruke et uttømmende bevis, kan et algebraisk bevis være et alternativ. I et algebraisk bevis innfører vi symboler som er allmenngyldige.

Eksempel 11:

I eksempel 4 framsatte vi en påstand om at summen av tre etterfølgende heltall alltid er lik tre ganger det midterste tallet.

Det finnes uendelig heltall, så et uttømmende bevis er utelukket, og vi bruker et algebraisk bevis:

Kaller vi tallet i midten for a, vil sekvensen av tre etterfølgende tall bestå av a-1, a og a+1. Summen av disse blir (a – 1) + a + (a + 1) = a + a + a – 1 + 1 = 3a. Vi ser at uansett hvilken verdi a representerer, blir summen tre ganger denne verdien. Påstanden er derved bevist.

Eksempel 12:

Påstand: Summen av to partall er et partall.

Det finnes uendelig mange partall, så et uttømmende bevis er utelukket, og vi bruker et algebraisk bevis:

Et partall er et tall på formen 2t, der t er et helt tall. Summen av to heltall kan skrives som 2n + 2m = 2(n + m). Siden n + m er et heltall, ser vi at produktet er på formen 2t, og derved et partall.

I eksempel 12 har vi brukt $2n$ som symbol for det ene tallet og $2m$ som symbol for det andre. Hadde vi brukt samme symbol for begge, for eksempel $2t$, ville det betydd at de to tallene var like. Vi har følgende prinsipp:

$\fbox{To tall som kan være ulike må representeres med forskjellige symboler.}$

Det er en vanlig feil å bruke samme symbol for to tall som kan være ulike.

Eksempel 13:

Uriktig påstand: Produktet av to partall er et kvadrattall.

Uriktig bevis: Et partall er et tall på formen $2t$, der $t$ er et helt tall. Produktet av to partall kan skrives som $2t \cdot 2t = 2 \cdot 2 \cdot t \cdot t = 2^2 \cdot t^2 = (2t)^2$. Og vi ser at produktet kan skrives som kvadratet av $2t$.

Problemet er at $t$ er brukt som symbol for to tall som kan være ulike. Vi har egentlig bare bevist det opplagte, at et tall multiplisert med seg selv er et kvadrattall. Med forskjellige symboler får vi $2m \cdot 2n = 2 \cdot 2 \cdot m \cdot n = 2^2 \cdot m \cdot n$, som ikke trenger være et kvadrattall hvis $m$ og $n$ er ulike. For eksempel gir $m = 1$ og $n = 3$ produktet $(2\cdot1) \cdot (2 \cdot 3) = 12$.

Men vi sier ikke at to tall representert med forskjellige symboler nødvendigvis må være ulike. Det er mulig at de er ulike, men det er også mulig at de er like. Beviset i eksempel 12 er like gyldig for to forskjellige tall, for eksempel $2 + 4$, som for to like tall, for eksempel $2 + 2$.

Oppgave 4:

Bevis at summen av to oddetall er et partall.

Se løsningsforslag

Bevis ved selvmotsigelse

I et bevis ved selvmotsigelse antar vi at det motsatte av det vi skal bevise er riktig, og demonstrerer at dette fører til en selvmotsigelse. Denne prosessen kalles også "reductio ad absurdum".

Eksempel 14:

Påstand: Det finnes ingen hele, positive tall, $a$ og $b$, slik at $a^2 – b^2 = 10$.

Bevis: Vi antar det motsatte, at det finne to slike tall. Bruker vi tredje kvadratsetning baklengs på venstre side, får vi $(a + b)(a – b) = 10$.

$10$ kan skrives som produktet $2 \cdot 5$. Da må vi ha $(a + b) = 5$ og $(a – b) = 2$. (Siden $a$ og $b$ er positive tall, må summen bli det største tallet og differansen det minste.)

Summerer vi de to likningene, får vi $2a = 7 \Rightarrow a = \frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}$.

$a$ er altså ikke et heltall, noe som er en selvmotsigelse siden vi i utgangspunktet forutsatte at $a$ var et heltall.

$10$ kan også skrives som produktet $1 \cdot 10$. Da må vi ha $(a + b) = 10$ og $(a – b) = 1$. Summerer vi de to likningene, får vi $2a = 11 \Rightarrow a = \frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 2}$.
$a$ er heller ikke her et heltall, og vi har igjen en selvmotsigelse.

$10$ kan ikke skrives som et produkt av heltall på noen andre måter, og påstanden er derved bevist ved selvmotsigelse.

I eksempel 14 benyttet vi også prinsippet fra et uttømmende bevis. Det fantes to måter å skrive $10$ som et produkt av heltall på, og vi tok for oss begge to.

Oppgave 5:

Finn feilen i følgende resonnement:

Vi påstår at det ikke finnes hele, positive tall, $a$ og $b$, slik at $a^2 – b^2 = 12$.

Som bevis bruker vi selvmotsigelse, etter prinsippet fra eksempel 14:

$12$ kan skrives som produktet $3 \cdot 4$. Da må vi ha $(a + b) = 4$ og $(a – b) = 3$. Summerer vi de to likningene, får vi $2a = 7 \Rightarrow a = \frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}$.

$a$ er altså ikke et heltall, noe som er en selvmotsigelse siden vi i utgangspunktet forutsatte at $a$ var et heltall.

$12$ kan skrives som produktet $1 \cdot 12$. Da må vi ha $(a + b) = 12$ og $(a – b) = 1$. Summerer vi de to likningene, får vi $2a = 11 \Rightarrow a = \frac{\displaystyle 11}{\displaystyle 2}$.

$a$ er heller ikke her et heltall, og vi har igjen en selvmotsigelse.

Påstanden er derved bevist ved selvmotsigelse.

Se løsningsforslag

Induksjonsbevis

Et induksjonsbevis brukes typisk i forbindelse med påstander om heltall, og går i to trinn:

  1. Vi viser at påstanden er riktig for et bestemt heltall, typisk $1$.
  2. Vi viser at hvis påstanden er riktig for et vilkårlig heltall, $n$, er den også riktig for $n + 1$.

Hvis vi i trinn 1 for eksempel viser at påstanden er gyldig for $n_1 = 1$, følger det av trinn 2 at den også er gyldig for $n_2 = n_1 + 1 = 2$. Av trinn 2 følger så igjen at den da også er gyldig for $n_3 = n_2 + 1= 2 + 1 = 3$. Siden vi kan fortsette med trinn 2 i all evighet, har vi derved vist at påstanden er gyldig for alle $n$.

Eksempel 15:

Vi skal bevise at summen av alle hele tall fra og med $1$ til og med $n$ er lik $\frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2}$.

For eksempel er $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \frac{\displaystyle 10(10 + 1)}{\displaystyle 2} = 55$.

Vi viser da først at påstanden er riktig for $n = 1$. På venstre side av likhetstegnet får vi $1$. På høyre side får vi $\frac{\displaystyle 1(1 + 1)}{\displaystyle 2} = 1$ så påstanden er riktig for $n = 1$.

Vi antar så at påstanden er riktig for en gitt $n$:

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2}$.

Og vi må så vise at

$1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1) = \frac{\displaystyle (n + 1)((n + 1) + 1)}{\displaystyle 2}$.

Legger vi til et ledd til på begge sider av likhetstegnet, får vi

$1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1) = \frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2} + (n + 1)$.

Vi skriver uttrykket på høyre side som en enkelt brøk:

$\frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2} + (n + 1) = \frac{\displaystyle n(n + 1) + 2(n + 1)}{\displaystyle 2}$.

Vi regner ut parenteser og trekker sammen like ledd:

$\frac{\displaystyle n(n + 1) + 2(n + 1)}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle n^2 + 3n + 2}{\displaystyle 2}$.

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

$\frac{\displaystyle n^2 + 3n + 2}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle(n + 1)(n + 2)}{\displaystyle 2}$.

Som ved en liten omforming blir:

$\frac{\displaystyle(n + 1)((n + 1) + 1)}{\displaystyle 2}$.

Som er det uttrykket vi var ute etter. Vi har derved bevist at når påstanden er gyldig for $n$, er den også gyldig for $n + 1$. Siden den er gyldig for $1$, er den følgelig gyldig for $2$, og siden den er gyldig for $2$, er den gyldig for $3$, og så videre i all evighet.

Kilder

Logaritmer

Vi starter med noen konkrete eksempler på forskjellige logaritmer.

Briggske logaritmer

Den briggske logaritmen til et tall, $x$, er det tallet vi må opphøye $10$ i for å få $x$. Vi skriver det $\log x$. Vi har for eksempel at:

$\log 1000 = 3$, fordi $10^3 = 1000$

$\log100 = 2$, fordi $10^2 = 100$

$\log 10 = 1$, fordi $10^1 = 10$

$\log 1 = 0$, fordi $10^0 = 1$

$\log 0{,}1 = -1$, fordi $10^{-1} = 0{,}1$

$\log 0{,}01 = -2$, fordi $10^{-2}= 0{,}01$

Den briggske logaritmen til et tall, $x$, er

Større enn $1$ hvis $x > 10$.

$1$ hvis $x = 10$.

Mellom $0$ og $1$ hvis $1 < x < 10$.

$0$ hvis $x = 1$.

Et negativt tall hvis $0 < x < 1$.

Vi kan ikke beregne logaritmen til et tall som er mindre eller lik $0$. Mer presist er logaritmen til et negativt tall et komplekst tall, noe vi ikke kommer nærmere inn på her.

Alle $x$ i eksemplene over var potenser av $10$. Når $x$ ikke er en potens av $10$, vil logaritmen være et desimaltall, og ikke noe vi kan regne ut for hånd. Men litt avanserte kalkulatorer, og dataprogrammer som Excel og GeoGebra kan beregne logaritmer. Dessverre er det litt inkonsekvens i skrivemåten. I Excel heter funksjonen log10, og i GeoGebra lg. I andre programmer kan det finne andre standarder, og noen steder betyr lg noe annet.

Briggske logaritmer er oppkalt etter matematikeren Henry Briggs.

Oppgave 1:

Beregn $\log 2$, $\log 20$ og $\log 0{,}2$ med Excel og GeoGebra.

Se løsningsforslag

Binære logaritmer

Den briggske logaritmen baserer seg på tallet $10$, vi sier at den har grunntall $10$. Men det er ikke noe magisk med dette tallet, vi kan godt basere en logaritme på et annet tall, for eksempel $2$. Logaritmen med $2$ som grunntall heter den binære logaritmen.

Den binære logaritmen til et tall, $x$, er det tallet vi må opphøye $2$ i for å få $x$. Vi har for eksempel at:

$\log_2 8 = 3$, fordi $2^3 = 8$

$\log_2 4 = 2$, fordi $2^2 =4$

$\log_2 2 = 1$, fordi $2^1 =2$

$\log_2 1 = 0$, fordi $2^0 =1$

$\log_2 0{,}5 = -1$ fordi $2^{-1} =0{,}5$

$\log_2 0{,}25 = -2$ fordi $2^{-2} =0{,}25$

Vi har her brukt $2$ som subskript for å vise at det dreier seg om den binære logaritmen, som har grunntall $2$. Den binære logaritmen til et tall, $x$, er

Større enn $1$ hvis $x > 2$.

$1$ hvis $x = 2$.

Mellom $0$ og $1$ hvis $1 < x < 2$.

$0$ hvis $x = 1$.

Et negativt tall hvis $0 < x < 1$.

Dette er helt tilsvarende briggske logaritmer, bare at tallet $10$ er erstattet med $2$. For potenser av $2$ er det lett å regne ut den binære logaritmen for hånd. For andre tall trenger vi hjelp av dataprogrammer. I GeoGebra heter den binære logaritmen ld. Excel har ikke noen egen funksjon for den binære logaritmen, men i stedet en generell funksjon log, der vi oppgir grunntallet som en parameter. For å finne logaritmen til $x$ med $a$ som grunntall skriver vi =log(x; a). For eksempel vil =log(8; 2) gi logaritmen til $8$ med $2$ som grunntall.

Naturlige logaritmer

Grunntallet til en logaritme trenger ikke være et helt tall. Velger vi tallet $e$ som grunntall, får vi den naturlige logaritmen. $e$ er beskrevet i artikkelen om eksponentialfunksjoner, og er et irrasjonalt tall lik omlag $2{,}718$. Den naturlige logaritmen opptrer i en mengde sammenhenger både i naturen og matematikken.

Den naturlige logaritmen til et tall, $x$, er det tallet vi må opphøye $e$ i for å få $x$. Siden $e$ ikke er et helt tall, er det vanskelig å beregne naturlige logaritmer for hånd. Men denne logaritmen er det vanlig å finne på kalkulatorer og i dataprogrammer. Både i Excel og GeoGebra heter den ln. Denne skrivemåten for den naturlige logaritmen er vanlig, men også her er det avvik. Noen steder brukes log, GeoGebra aksepterer for eksempel log som et synonym for ln.

På dette nettstedet bruker vi følgende konvensjon:

$\log_a$ er en logaritme med grunntall $a$.

$\log$ er den briggske logaritmen, altså $\log_{10}$.

$\ln$ er den naturlige logaritmen, altså $\log_e$.

Bruker vi et dataprogram, og er i tvil om hvilket grunntall en logaritmefunksjon representerer, kan vi teste ved å utnytte at logaritmen til grunntallet alltid er $1$. For eksempel $\log 10 = \log_2 2 = \ln e = 1$.

Omregning mellom logaritmer med forskjellig grunntall

Det er lett å beregne logaritmer med vilkårlige grunntall basert på den naturlige logaritmen. For alle grunntall, $a$, har vi at:

$\fbox{$\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$}$

Her har vi brukt den naturlige logaritmen, $\ln$, fordi den er enkelt tilgjengelig i de fleste verktøy. Sammenhengen er imidlertid gyldig for logaritmer med alle mulige grunntall:

$\fbox{$\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \log_{\large b} x}{\displaystyle \log_{\large b} a}$}$

Oppgave 2:

Beregn $\log_{\large 3} 81$ ved å bruke funksjonen $\ln$.

Se løsningsforslag

Regneregler for logaritmer

For alle logaritmer har vi følgende sammenhenger:

  1. $\fbox{$\log_{\large a} u \cdot v = \log_{\large a} u+ \log_{\large a} v$}$
    Å ta logaritmen til et produkt er det samme som å addere logaritmen til hver av faktorene.
     
  2. $\fbox{$\log_{\large a}\frac {\displaystyle u}{\displaystyle v} = \log_{\large a} u – \log_{\large a} v$}$
    Å ta logaritmen til en kvotient er det samme som å subtrahere logaritmen til dividend og divisor.
     
  3. $\fbox{$\log_{\large a} u^{\large r} = r \cdot \log_{\large a} u$}$
    Å ta logaritmen til en potens er det samme som å multiplisere eksponenten med logaritmen til grunntallet.

Med logaritmer gjøres altså multiplikasjon og divisjon om til addisjon og subtraksjon, og eksponentiering gjøres om til multiplikasjon. I kalkulatorens og datamaskinens dager virker kanskje ikke dette spesielt nyttig, men i en tid da alle beregninger ble gjort for hånd, var dette en revolusjonerende forenkling. Logaritmer regnes derfor som et av de viktigste bidragene til matematikken.

Litt flere regneregler:

  1. $\fbox{$\log_{\large a} \frac {\displaystyle 1}{\displaystyle x} = – \log_{\large a} x$}$
    Å ta logaritmen til inversen til et tall er det samme som å ta logaritmen til tallet og skifte fortegn.
    (Dette er egentlig et spesialtilfelle av regel 2 med $u = 1$)
     
  2. $\fbox{$a^{\large \log_{\Large a} x} = x$}$
    Eksponentiering og logaritme opphever hverandre.
  3. $\fbox{$\log_{\large a} a^{\large x} = x$}$
    Logaritme og eksponentiering opphever hverandre.

Likninger med den ukjente i eksponenten

Vi har nå verktøy til å løse en ny type likninger, likninger der den ukjente står i eksponenten. Vi tar da logaritmen på begge sider av likhetstegnet. Hvilken logaritme vi velger spiller ingen rolle, bare vi bruker samme på begge sider. For enkelhets skyld bruker vi $\ln$ i eksemplet under.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen $3^x = 81$.

Vi tar først logaritmen på begge sider av likhetstegnet: $\ln 3^x = \ln 81$.

Så bruker vi regel 3 til å skrive om venstre side: $x \cdot \ln 3 = \ln 81 $.

Nå er vi kommet fram til en likning på en form vi kjenner fra før. Vi dividerer med $\ln 3$ på begge sider av likhetstegnet:

$x = \frac{\displaystyle \ln 81}{\displaystyle \ln 3 } = 4$.

Dette stemmer, for $3^4 = 81$.

Oppgave 3:

Løs likningen $12^{\large 2x} + 3= 125$.

Se løsningsforslag

Logaritmiske skalaer

På aksene i koordinatsystemene våre har vi til nå alltid brukt lineære skalaer, det vil si at for hver enhet vi beveger oss langs en av aksene, endres x– eller y-verdien med et fast tall. Et eksempel er vist under, for hver strek vi beveger oss langs x-aksen endres x-verdien med 1, og for hver strek vi beveger oss langs y-aksen endres y-verdien med 3.

Koordinatsystem med lineær skala langs begge aksene

La oss nå si at vi skal plotte punktene $A = (1, 3)$, $B = (2, 5)$ og $C = (6, 1)$. Ingen problemer med å gjøre det i koordinatsystemet over.

Skal vi i stedet plotte $A = (1, 3000)$, $B = (2, 5000)$ og $C = (6, 1000)$, er det heller ingen problemer, vi endrer bare skalaen på y-aksen til å være for eksempel 1000 per strek. Alle punktene er nemlig av samme størrelsesorden

Men hvis vi har punkter som $A = (1, 3)$, $B = (2, 5000)$ og $C = (3, 1000000)$ får vi et problem. y-verdien til disse punktene er nemlig ikke i samme størrelsesorden. Er skalaen tilpasset punktet $A$, havner $B$ og $C$ langt utenfor skjermen. Tilpasser vi skalaen til $C$, blir $A$ og $B$ liggende klemt inntil x-aksen:

Illustrasjon av problem med data av forskjellig størrelsesorden i et lineært koordinatsystem

Løsningen er å endre skalaen slik at vi ikke adderer et tall for hver enhet på aksene, men multipliserer med et tall.

Vi inspiserer noen logaritmer igjen: Vi har at $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1000 = 3$, etc. For hver gang vi multipliserer et tall med 10, øker den briggske logaritmen med 1. Og vi har at $\log_2 2 = 1$, $log_2 4 = 2$, $log_2 8 = 3$, etc. For hver gang vi multipliserer et tall med 2, øker den binære logaritmen med 1. Generelt har vi at hver gang vi multipliserer et tall med $a$, øker logaritmen med grunntall $a$ med 1.

Og det er jo nettopp et slikt system vi trenger på aksene når vi skal plotte elementer av ulik størrelsesorden. Vi bruker da en logaritmisk skala, ikke en lineær. Det spiller ingen rolle hvilken logaritme vi velger. Bildet under viser punktene $A$, $B$ og $C$ i et koordinatsystem med logaritmisk skala basert på grunntall 10 på y-aksen.

Data av forskjellig størrelsesorden i et koordinatsystem med en logaritmisk akse

 

I eksemplet over har vi brukt lineær skala på x-aksen og logaritmisk skala på y-aksen, men ved behov kan vi ha logaritmisk skala på begge aksene, eller bare x-aksen.

Et praktisk eksempel på forskjellig størrelsesorden er lydeffekt. Tabellen under viser lydeffekt i W fra forskjellige lydkilder:

Høreterskel 0,000000000001
Hvisking 0,000000001
Oppvaskmaskin 0,0001
Symfoniorkester 1
Propellfly 100
Jetfly 1000
Saturnrakett 100000

 

Det vil ikke la seg gjøre å fremstille dette fornuftig på en lineær skala. Men på en logaritmisk skala går det fint. Og det er nettopp det vi gjør i praksis. Vi måler ikke lyd i lineære watt, men i logaritmiske desibel, db. En økning i lydstyrke på 3 db tilsvarer en dobling av effekten.

Oppgave 4:

Bildet under viser 9 punkter med verdi fra 1 til 100 på en logaritmisk skala. A har verdien 1, E har verdien 10 og I har verdien 100. Anslå verdien til de andre punktene.

Punkter fordelt langs en logaritmisk akse

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia

Summasjonstegn

artikkelen om rekker har vi angitt de første leddene for å vise hvordan rekkene utvikler seg, for eksempel $1 + 2 + 3 + 4 + \dots$.

En annen måte å gjøre det på, er å definere rekka ved hjelp av summasjonstegn, noe som er både enklere og mer oversiktlig. Som summasjonstegn brukes den greske bokstaven stor sigma: $\Sigma$.

Sammen med summasjonstegnet angir vi så et eksplisitt uttrykk for leddene i rekka. Dette gjør vi ved hjelp av en variabel vi kaller summasjonsindeks, som vil gjennomløpe alle heltall fra og med en gitt startverdi, til og med en gitt sluttverdi. Startverdien skrives under summasjonstegnet, sluttverdien over.

Eksempel 1:

I rekka $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ er det eksplisitte uttrykket for leddene $n^2$. Vi har her valgt symbolet $n$ som summasjonsindeks.

Startverdien for $n$ er $1$ og sluttverdien $4$. Med summasjonstegn skriver vi dette som 

$\displaystyle \sum_{n = 1}^4 n^2$

Det betyr at summasjonsindeksen $n$ gjennomløper alle heltall fra og med $1$ til og med $4$, og summen blir følgelig $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30$.

Eksempel 2:

I rekka $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 + \sqrt 8 $ er det eksplisitte uttrykket for leddene $\sqrt n$, når vi velger $n$ som summasjonsindeks.

Startverdien for $n$ er $5$ og sluttverdien $8$. Med summasjonstegn skriver vi dette som 

$\displaystyle \sum_{n = 5}^8 \sqrt n$

Det betyr at summasjonsindeksen $n$ gjennomløper alle heltall fra og med $5$ til og med $8$, og summen blir følgelig $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 + \sqrt 8 \approx 10,16$.

For å få til alternerende fortegn i ei rekke, kan vi benytte faktoren $(-1)^n$, som vil være $1$ når $n$ er partall, og $-1$ når $n$ er oddetall.

Eksempel 3:

$-1 + 2 – 3 + 4$ kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (-1)^n n$

$1 – 2 + 3 – 4$ kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (-1)^{(n-1)} n$

Dersom vi ønsker å sette inn tall med en annen avstand enn $1$, kan vi bruke produkter av summasjonsindeksen.

Eksempel 4:

$2 + 4 + 6$. Her er avstanden mellom tallene $2$.

Rekka kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^3 2n$

$1 + 4 + 7$. Her er avstanden mellom tallene $3$, og verdiene er også $2$ lavere enn $3$ ganger summasjonsindeksen.

Rekka skriver vi derfor som

$\displaystyle \sum_{n =1}^3 3n-2$

Navnet på summasjonsindeksen spiller ingen rolle, vi må bare passe på at det er overensstemmelse mellom det som angis sammen med startverdien, og det som brukes i selve uttrykket for leddene. Andre vanlig navn på summasjonsindekser er $m$, $i$ og $j$.

Eksempel 5:

Hvis vi velger $m$ som summasjonsindeks, blir uttrykket fra eksempel 2

$\displaystyle \sum_{m = 5}^8 \sqrt m$

Det er bare summasjonsindeksen som blir gitt verdier, andre variabler påvirkes ikke.

Eksempel 6:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^3 m^n$ betyr $m^1 + m^2 + m^3$.

$\displaystyle \sum_{m = 1}^3 m^n$ betyr $1^n + 2^n + 3^n$.

I rekker med uendelig mange ledd har vi ikke noen sluttverdi for $n$. Det indikerer vi ved å sette symbolet for "uendelig" over summasjonstegnet.

Eksempel 6:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n}$ betyr at $n$ gjennomløper et uendelig antall verdier, $1, 2, 3, \dots$ Summen blir følgelig

${\large \frac{1}{2^1}} + {\large \frac{1}{2^2}} + {\large \frac{1}{2^3}} + \dots$.

Oppgave 1:

Skriv ut leddene som er angitt med summasjonstegn under:

  1. $\displaystyle \sum_{n = 1}^5 n$
     
  2. $\displaystyle \sum_{n = 0}^4 n + 1$
     
  3. $\displaystyle \sum_{i = 1}^5 \frac{i}{i + 1}$

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

Kilder

  • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.
  • Wikipedia

Rekker

Ei rekke består av summen av leddene i en følge. Det er fort å gå surr i hva som er rekker og hva som er følger, men kort sagt er rekker de med plusstegn. De uten plusstegn er følger. Ei rekke kan inneholde et endelig eller uendelig antall ledd.

Eksempel 1:

Ei tallrekke: $1 + 2 + 3 + \dots$

Eksempel 2:

Ei tallrekke: ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$

Når det gjelder formler for summen av de $n$ første leddene i ei rekke, skal vi begrense oss til å se på eksplisitte formler for aritmetiske og geometriske rekker.

Ei aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk følge, og ei geometrisk rekke er summen av leddene i en geometrisk følge. I en aritmetisk følge er altså hvert ledd lik det forrige pluss en konstant, og i en geometrisk følge er hvert ledd lik det forrige multiplisert med en konstant, slik det er beskrevet i artikkelen om følger. Vi ser at rekka i eksempel 1 er aritmetisk, og rekka i eksempel 2 er geometrisk.

For alle aritmetiske rekker kan vi angi summen av de $n$ første leddene eksplisitt med formelen:

$\fbox{Aritmetisk rekke: $S_n = \frac{\displaystyle n(a_1 + a_n)}{\displaystyle 2}$}$

Eksempel 3:

Summen av de $5$ første leddene i den aritmetiske rekka $3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \dots$ er

$S_5 = \frac{\displaystyle5(3 + 11)}{\displaystyle 2} = 35$.

Hvis ikke ledd nummer $n$ er listet opp, må vi finne det ved hjelp av formelen vi lærte i artikkelen om følger$a_n = a_1 + (n – 1)k$, der $k$ er konstanten vi adderer for å komme fra ett ledd til neste.

Eksempel 4:

Vi skal finne summen av de $20$ første leddene i den aritmetiske rekka $3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \dots$

Her er $k = 2$, så vi får at $a_{20} = 3 + (20 – 1)2 = 41$.

Og vi får

$S_{20} = \frac{\displaystyle20(3 + 41)}{\displaystyle 2} = 440$.

For alle geometriske rekker kan vi, når $k$ er konstanten i den tilhørende følgen, angi summen av de $n$ første leddene eksplisitt med formelen

$\fbox{Geometrisk rekke: $S_n = \frac{\displaystyle k^n – 1}{\displaystyle k – 1} \cdot a_1$}$

Eksempel 5:

I rekka ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$ er konstanten i den tilhørende følgen $k = {\large \frac{1}{2}}$.

Summen av de $5$ første leddene blir da

$S_5 = {\large \frac{\Big(\frac{1}{2}\Big)^5 – 1}{\frac{1}{2} – 1}} \cdot {\large \frac{1}{2}} = 1 – \Big({\large \frac{1}{2}}\Big)^5 = {\large \frac{31}{32}} = 0,96875$.

Konvergente og divergente rekker

Dersom summen av leddene i ei uendelig rekke kommer nærmere og nærmere en fast verdi jo lenger ut vi går, er rekka konvergent. I motsatt fall er den divergent.

Ei aritmetisk rekke vil alltid være divergent fordi hvert nytt ledd som tas med vil øke tallverdien til summen. Ei geometrisk rekke vil være konvergent hvis absoluttverdien til konstanten vi multipliserer med i den tilhørende følgen, $|k|$, er mindre enn $1$. Og rekka, altså summen av uendelig mange ledd, vil konvergere mot

$\fbox{Konvergent geometrisk rekke: $S = \frac{\displaystyle a_1}{\displaystyle 1 – k}$}$

Eksempel 6:

Den geometriske rekka ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$ er konvergent fordi $|k| = {\large \frac{1}{2}} < 1$.

Og summen blir $S = {\large \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}}} = 1$.

Delsummen $S_n = {\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots + {\large \frac{1}{2^n}}$ kommer altså nærmere og nærmere $1$ jo høyere $n$ blir, slik det er illustrert under:

Summen av rekka 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... illustrert med en sirkel

Eksempel 7:

Den geometriske rekka $1 – {\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{9}} – {\large \frac{1}{27}} + \dots$ er konvergent fordi $|k| = |-{\large \frac{1}{3}}| = {\large \frac{1}{3}} < 1$.

Og summen blir $S = {\large \frac{1}{1 – (- {\Large \frac{1}{3})}}} = {\large \frac{3}{4}} = 0,75$.

Eksempel 8:

Den geometriske rekka $1 + {\large \frac{4}{3}} + {\large \frac{16}{9}} + \dots$ er divergent fordi $|k| = |{\large \frac{4}{3}}| > 1$.

Vi kan altså ikke beregne noen sum for hele rekka, men vi kan beregne summer av et vilkårlig antall ledd ved hjelp av formelen $S_n = \frac{\displaystyle k^n – 1}{\displaystyle k – 1} \cdot a_1$. For eksempel

$S_3 = {\large \frac{\Big(\frac{4}{3}\Big)^3 – 1}{\frac{4}{3} – 1}} \cdot 1 \approx 4,11$.

For rekker som ikke er geometriske, kan det være mer komplisert å avgjøre om de er konvergente eller ikke. Det må selvfølgelig være et krav at leddene nærmer seg null når vi går utover, men dette kravet i seg selv er ikke nok. I artikkelen om følger, eksempel 4, sa vi at følgen $1, {\large \frac{1}{2}}, {\large \frac{1}{3}}, {\large \frac{1}{4}}, \dots$ er konvergent fordi leddene stadig kommer nærmere $0$, men den tilsvarende rekka $1 + {\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + \dots$ er allikevel divergent. Denne rekka har for øvrig et eget navn, den harmoniske rekka, et navn hentet fra musikkens verden.

Kilder

  • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.
  • Wikipedia

Følger

En følge er en mengde objekter som er ordnet, det vil si at de har en bestemt rekkefølge. I eksemplene i denne artikkelen er disse objektene tall, men en følge kan også bestå av andre objekter, for eksempel algebraiske symboler.

Eksempel 1:

En tallfølge: $1, 2, 3, \dots$

Eksempel 2:

En tallfølge: ${\large \frac{1}{2}}, {\large\frac{1}{4}}, {\large\frac{1}{8}}, \dots$

En følge kan inneholde et endelig eller uendelig antall ledd. Det er vanlig å bruke bokstaven $a$ om et ledd i en følge, sammen med et suffiks som forteller hvilket nummer i følgen leddet er.

I eksempel 1 har vi at $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3$, og så videre.

I eksempel 2 har vi at $a_1 = {\large \frac{1}{2}}, a_2 = {\large \frac{1}{4}}, a_3 = {\large \frac{1}{8}}$, og så videre.

Å angi verdien til et ledd i en følge uten å ramse dem opp, kan gjøres ved å angi en formel for det generelle elementet $a_n$. Det kan gjøres på to måter, eksplisitt og rekursivt. Eksplisitt forteller vi direkte hvilken verdi et ledd har.

Følgen i eksempel 1 kan vi definere eksplisitt med formelen $a_n = n$.

Følgen i eksempel 2 kan vi definere eksplisitt med formelen $a_n = {\large \frac{1}{2^{\Large n}}}$.

Rekursivt forteller vi hvilken verdi et ledd har ved å henvise til ett eller flere av de foregående leddene. Vi må da også angi én eller flere startverdier.

Følgen i eksempel 1 kan vi definere rekursivt ved å si at $a_1 = 1$ og $a_{n+1} = a_n + 1$, fordi første ledd er $1$, og de etterfølgende leddene er lik forrige ledd pluss $1$.

Følgen i eksempel 2 kan vi definere rekursivt ved å si at $a_1 = \large \frac{1}{2}$ og $a_{n+1} = \large \frac{a_n}{2}$, fordi første ledd er $\large \frac{1}{2}$, og de etterfølgende leddene er lik forrige ledd dividert med $2$.

Oppgave 1:

Skriv de fem første leddene i følgene gitt ved

  1. $a_n = (-1)^n \cdot 2^n$
     
  2. $a_1 = -2$ og $a_{n+1} = -2a_n$

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

To spesielle former for følger er aritmetiske følger og geometriske følger. I en aritmetisk følge er hvert ledd lik det forrige pluss en konstant, i en geometrisk følge er hvert ledd lik det forrige multiplisert med en konstant. Eksempel 1 er en aritmetisk følge fordi hvert ledd er lik det forrige pluss konstanten $1$, og eksempel 2 er en geometrisk følge fordi hvert ledd er lik det forrige multiplisert med konstanten ${\large \frac{1}{2}}$.

Oppgave 2:

Avgjør om følgene under er aritmetiske eller geometriske, og angi i så fall en rekursiv formel for dem.

  1. $0, -2, -4, -6, -8, \dots$
     
  2. $1, -2, 4, -8, 16, \dots$
     
  3. $2, 3, 5, 7, 11, \dots$

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

Å finne en eksplisitt formel for en aritmetisk eller geometrisk følge er ikke vanskelig. I en aritmetisk følge har vi at hvert ledd er lik det forrige pluss en konstant $k$. Vi har at

$a_2 = a_1 + k$

$a_3 = a_2 + k = (a_1 + k) + k = a_1 + 2k$

$a_4 = a_3 + k = (a_1 + 2k) + k = a_1 + 3k$

Slik kan vi holde på opp til element nummer $n$, og vi får at

$\fbox{Aritmetisk følge: $a_n = a_1 + (n – 1)k$}$

Tilsvarende får vi for en geometrisk følge at

$\fbox{Geometrisk følge: $a_n = a_1 \cdot k^{n – 1}$}$

Oppgave 3:

Finn en eksplisitt formel for følgene

  1. $4, 1, -2, -5, -8, \dots$
     
  2. $3, -6, 12, -24, 48, \dots$

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

En følge kan ha et begrenset antall ledd, eller den kan ha uendelig mange ledd. 

​Dersom verdiene i en uendelig lang følge kommer nærmere en bestemt verdi jo lenger ut vi går, er følgen konvergent. I motsatt fall er den divergent.

Eksempel 3:

Følgen $1, 2, 3, \dots$ er divergent fordi leddene ikke nærmer seg noen bestemt verdi jo lenger ut vi går.

Eksempel 4:

Følgen $1, {\large \frac{1}{2}}, {\large \frac{1}{3}}, {\large \frac{1}{4}}, \dots$ er konvergent fordi leddene stadig kommer nærmere en bestemt verdi jo lenger ut vi går, i dette tilfellet $0$.

​Her er en nettside der du kan leke litt med følger.

Fibonaccis følge

Følgen $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ kalles Fibonaccis følge. Tallene i følgen kalles gjerne fibonaccitall. Fibonaccis følge angis lettest med en rekursiv formel:

$\fbox{Fibonaccis følge: $a_1 = 1,  \; a_2 = 1, \; a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$}$

De to første leddene er altså lik $1$, deretter er hvert ledd lik summen av de to foregående.

Oppgave 4:

Bruk regneark til å

  1. finne de 30 første tallene i Fibonaccis følge.
     
  2. Finne kvotienten mellom etterfølgende tall i følgen, altså $\frac{\displaystyle a_{n + 1}}{\displaystyle a_n}$ for $n = 1 \dots 29$.

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

Gylne snitt

Jo lenger ut i Fibonaccis følge vi går, jo mer nærmer kvotienten $\frac{\displaystyle a_{n + 1}}{\displaystyle a_n}$ seg en verdi som kalles det gylne snitt:

$\fbox{Det gylne snitt: $\frac{\displaystyle 1 + \sqrt 5}{\displaystyle 2}$}$

Det gylne snitt er et mål for hvordan vi deler et linjestykke med lengde $a + b$ slik at ${\large \frac{a + b}{a}} = {\large \frac{a}{b}}$. Dette er illustrert i bildet under, der et linjestykke er delt i det gylne snitt. Hele linjestykket forholder seg til den blå delen slik den blå delen forholder seg til den røde delen.

Linjestykke som illustrerer det gylne snitt.

Fibonacci kom fram til følgen som et uttrykk for hvordan et kaninpar formerer seg. Både fibonaccitall og det gylne snitt opptrer i en mengde forskjellige sammenhenger i naturen. En fordypning finner du på denne nettsiden om fibonaccitall og naturen

I begynnelsen av avsnittet anga vi en rekursiv formel for Fibonaccis følge. Det er ikke lett å finne en eksplisitt formel, men ved hjelp av lineær algebra har en funnet fram til følgende:

$\fbox{Fibonaccis følge: $a_n = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt 5}\Big[{\Big(\frac{\displaystyle 1 + \sqrt 5}{\displaystyle 2}\Big)}^n – {\Big(\frac{\displaystyle 1 – \sqrt 5}{\displaystyle 2}\Big)}^n \Big]$}$

Det virker kanskje underlig at denne formelen med tre forekomster av det irrasjonale tallet $\sqrt 5$ resulterer i fibonaccitall, som alle er naturlige, men den gjør det. Bare prøv i et regneark. Vi legger også merke til at det gylne snitt inngår som en del av formelen.

Andre interessante egenskaper ved Fibonaccis følge er

  • To fibonaccitall som følger etter hverandre er innbyrdes primiske.
     
  • Største felles faktor for to fibonaccitall er igjen et fibonaccitall.
     
  • Alle naturlige tall kan skrives som en sum av forskjellige fibonaccitall.

Kilder

  • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.
  • Brodahl, C. Interaktive animasjoner.
  • Wikipedia