Delelighet

Når vi dividerer to heltall på hverandre, blir resultatet av og til et heltall, for eksempel er ${\large \frac{24}{8}} = 3$ og ${\large \frac{-21}{\phantom + 3}} = -7$. Vi sier da at divisjonen går opp. Men resultatet kan også bli et tall med desimaler, for eksempel er ${\large \frac{9}{2}} = 4{,}5$. Vi sier da at divisjonen ikke går opp.

Generelt, hvis $a$ og $b$ er vilkårlige heltall og $\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = t$ er et heltall, går divisjonen opp, og vi sier at $a$ er delelig med $b$. Andre måter å si det på er at $b$ går opp i $a$, at $b$ er en divisor i $a$, eller at $b$ er en faktor i $a$. I matematisk terminologi skriver vi dette som $b \mid a$. Det motsatte, at $b$ ikke går opp i $a$, skriver vi som $b \nmid a$.

At divisjonen $\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = t$ går opp, kan vi tolke som at en blokk med $a$ elementer kan deles opp i $t$ blokker med $b$ elementer i hver.

Vi kan også tolke det slik at hvis vi på ei tallinje legger $b$ etter seg selv $t$ ganger, havner vi i $a$.

Eksempel 1:

${\large \frac{6}{3}} = 2$.

Det betyr at en blokk med $a = 6$ elementer kan deles opp i $t = 2$ blokker med $b = 3$ elementer i hver:

Illustrasjon av at 6:3 = 2 betyr at 6 elementer kan grupperes i 2 blokker med 3 elementer i hver

Legger vi $b = 3$ etter seg selv $t = 2$ ganger, havner vi i $a
= 6$
:

Illustrasjon av at 6:3 = 2 betyr at 3 går 2 ganger opp i 6

Eksempel 2:

${\large \frac{8}{2}} = 4$.

Det betyr at en blokk med $a = 8$ elementer kan deles opp i $t = 4$ blokker med $b = 2$ elementer i hver:

Illustrasjon av at 8:4 = 2  betyr at 8 elementer kan grupperes i 4 blokker med 2 elementer i hver

Legger vi $b = 2$ etter seg selv $t = 4$ ganger, havner vi i $a = 8$:

Illustrasjon av at 8:2 = 4 betyr at 2 går 4 ganger opp i 8

Hvis $a$, $b$ og $c$ er heltall, der $c$ er en faktor i $b$ og $b$ er en faktor i $a$, er $c$ også en faktor i $a$.

En annen måte å si det samme på er at hvis $a$ er delelig med $b$, og $b$ er delelig med $c$, er $a$ delelig med $c$.

I matematisk terminologi:

$\fbox{$\text {Hvis } c \mid b \text{ og } b \mid a \text{, vil } c \mid a$}$

Det betyr at hvis $a$ kan deles opp i blokker med $b$ elementer i hver og $b$ kan deles opp i blokker med $c$ elementer i hver, kan $a$ deles opp i blokker med $c$ elementer i hver.

Vi tar med et bevis for denne påstanden. Det er et direkte, algebraisk bevis, det vil si at vi ved manipulasjon av symboler demonstrerer at påstanden er riktig.

Hvis $c \mid b$, finnes det et heltall, $k$, slik at $ck = b$. Hvis $b \mid a$, finnes det et heltall, $l$, slik at $bl = a$. Vi har da at $a = bl = (ck)l = c(kl)$. Siden $k$ og $l$ er heltall, er $kl$ heltall. $a$ kan derved skrives som $c$ multiplisert med et heltall, noe som betyr at $c \mid a$ og påstanden er bevist.

Eksempel 3:

$2$ er en faktor i $4$, og $4$ er en faktor i $8$, derfor er $2$ en faktor i $8$. Eller, sagt på en annen måte, $8$ er delelig med $4$ og $4$ er delelig med $2$, derfor er $8$ delelig med $2$. Vi kan illustrere det med blokker slik:

Illustrasjon av tall som går opp i hverandre

og på ei tallinje slik:

Illustrasjon av tall som går opp i hverandre

Det er også slik at hvis et heltall, $t$, er en faktor i et annet, $a$, er det også en faktor i alle heltallige multipler av $a$.

En annen måte å si det samme på er at hvis et $a$ er delelig med $t$, er alle heltallige multipler av $a$ også delelige med $t$.

Eksempel 4:

$2$ er en faktor i $4$, derfor er $2$ også en faktor i $2 \cdot 4 = 8, 3 \cdot 4 = 12, 4 \cdot 4 = 16, 5 \cdot 4 = 20$ og så videre. Eller, sagt på en annen måte, tallene $8, 12, 16, 20$ og så videre er delelige med $4$, derfor er de også delelige med $2$. Vi kan illustrere det på ei tallinje slik:

Illustrasjon av at 2 går oppi multipler av 4

Mer generelt er det slik at hvis et heltall, $t$, er en faktor i to andre heltall, $a$ og $b$, er det også en faktor i alle summer av heltallige produkter av $a$ og $b$.

Sagt på en annen måte, hvis heltallene $a$ og $b$ er delelige med heltallet $t$, er alle summer av heltallige produkter av $a$ og $b$ også delelige med $t$.

I matematisk terminologi:

$\fbox{$\text {Hvis } t \mid a \text{ og } t \mid b \text{, vil } t \mid (ma + nb)$}$

Her er $m$ og $n$ vilkårlige heltall.

Tallet $ma + nb$ kalles en lineær kombinasjon av $a$ og $b$. Vi vil derfor referere til denne regelen som "regelen om lineære kombinasjoner".

Eksempel 5:

$3$ er en faktor i $6$ og $9$. Da er $3$ en faktor i $57$, fordi $57$ kan skrives som en lineær kombinasjon av $6$ og $9$:
$57 = 2 \cdot 6 + 5 \cdot 9$.

$7$ er en faktor i $14$ og $35$. Da er $7$ en faktor i $259$, fordi $259$ kan skrives som en lineær kombinasjon av $14$ og $35$:
$259 = (-9) \cdot 14 + 11 \cdot 35$.

Oppgave 1:

$9$ er en faktor i $18$ og $27$. Begrunn at $9$ derfor er en faktor i $63$.

Se løsningsforslag

Det er også slik at hvis $a$, $b$ og $c$ er heltall, der $c$ er en faktor i $a$ men ikke en faktor i $b$, er $c$ heller ikke en faktor i $a+b$.

En annen måte å si det samme på er at hvis $a$ er delelig med $c$, men $b$ ikke er delelig med $c$, er $a + b$ ikke delelig med $c$.

I matematisk terminologi:

$\fbox{$\text {Hvis } c \mid a \text{ men } c \nmid b \text{, vil } c \nmid (a + b)$}$

Beviset for denne påstanden er et såkalt "bevis ved selvmotsigelse", eller "reductio ad absurdum". Vi tar utgangspunkt i det motsatte av det vi skal bevise, nemlig at $a+b$ faktisk er delelig med $c$. Så demonstrerer vi at dette fører til en selvmotsigelse. Vi kommer fram til at $b$ faktisk er delelig med $c$, noe som er i strid med den ene av forutsetningene.

Vi antar altså at $c \mid (a+b)$. Da finnes det et heltall, $k$, slik at $ck = a+b$. Siden $c \mid a$, vet vi at det finnes et heltall, $l$, slik at $cl = a$. Dette kan vi sette sammen til $ck = cl + b$. Vi flytter $cl$ over til venstre side med fortegnsskifte og får $ck – cl = b$. Setter vi $c$ utenfor parentes, får vi $c(k-l)=b$. Siden $k$ og $l$ er heltall, er $k-l$ heltall. $b$ kan derved skrives som $c$ multiplisert med et heltall, noe som er i strid med den ene forutsetningen. Setningen er derved bevist.

$c$ kan allikevel være en faktor i lineære kombinasjoner av $a$ og $b$.

Eksempel 6:

$3$ er en faktor i $6$, men ikke i $4$. $3$ kan derfor ikke være en faktor i $10 = 6 + 4$. Men $3$ er en faktor i $18 = 6 + 3 \cdot 4$.

Delelighetsregler

Nå skal vi se på en praktisk anvendelse av regelen om lineære kombinasjoner, nemlig å vise hvordan vi kan utlede regler for om et vilkårlig heltall er delelig med $2$, $3$, $4$, $5$ eller $9$.

For å begrunne reglene kommer vi til å skrive tallene på utvidet form, $n = a_m10^m + a_{m – 1}10^{m – 1} + \dots + a_110 + a_0$, slik vi lærte i artikkelen om tall og tallsystemer. I noen tilfeller bruker vi også tallets tverrsum, som vi lærte om i samme artikkel.

Når vi studerer et tall på utvidet form, ser vi at vi multipliserer alle koeffisientene unntatt $a_0$ med multipler av $10$. Setter vi $10$ utenfor parentes, får vi dette uttrykket for tallet $n$:

$n = (a_m10^{m – 1} + a_{m – 1}10^{m – 2} + \dots + a_1)10 + a_0$

Vi trenger ikke bry oss med alle detaljene inni parentesen, så for enkelhets skyld kaller vi hele dette uttrykket for $b$:

$n = 10b + a_0$.

Vi vet at $10$ er delelig med $2$, følgelig er alle multipler av $10$ også er delelige med $2$. Det vil si at $10b$ er delelig med $2$, uavhengig av verdien til $b$. Hvis nå $a_0$ også er delelig med $2$, sier regelen om lineære kombinasjoner at $n$ også er delelig med $2$. Siden koeffisienten $a_0$ representerer siste siffer i tallet $n$, følger toerregelen:

Toerregelen

$\fbox{Alle tall der siste siffer er delelig med 2, er delelige med 2}$

Eksempel 7:

$336$ er delelig med $2$ fordi $6$ er delelig med $2$.

$227$ er ikke delelig med $2$ fordi $7$ ikke er delelig med $2$.

Samme argument, basert på at $10$ er delelig med $5$, fører til femmerregelen:

Femmerregelen

$\fbox{Alle tall der siste siffer er delelig med 5, er delelige med 5}$

Eksempel 8:

$231$ er ikke delelig med $5$ fordi $1$ ikke er delelig med $5$.

$220$ er delelig med $5$ fordi $0$ er delelig med $5$.

Vi gjør nå et tilsvarende triks med tallet på utvidet form, men baserer oss på at alle koeffisienter unntatt $a_1$ og $a_0$ blir multiplisert med multipler av $100$, og setter $100$ utenfor parentes:

$n = (a_m10^{m – 2} + a_{m – 1}10^{m – 3} + \dots + a_2)100 + a_110 + a_0$

Vi trenger ikke bry oss med alle detaljene inni parentesen, så for enkelhets skyld kaller vi hele dette uttrykket for $b$:

$n = 100b + a_110 + a_0$.

Vi vet at $100$ er delelig med $4$, følgelig er alle multipler av $100$ også er delelige med $4$. Det vil si at $100b$ er delelig med $4$, uavhengig av verdien til $b$. Hvis nå $a_110 + a_0$ også er delelig med $4$, sier regelen om lineære kombinasjoner at $n$ også er delelig med $4$. Siden uttrykket $a_110 + a_0$ representerer tallet dannet av de to siste sifrene i tallet $n$, følger firerregelen:

Firerregelen

$\fbox{Alle tall der tallet dannet av de to siste sifrene er delelig med 4, er delelige med 4}$

Eksempel 9:

$336$ er delelig med $4$ fordi $36$ er delelig med $4$.

$222$ er ikke delelig med $4$ fordi $22$ ikke er delelig med $4$.

Hvis vi har brukt firerregelen og funnet at et tall er delelig med $4$, vet vi automatisk at det også er delelig med $2$. Og omvendt, hvis vi har brukt toerregelen og funnet at et tall ikke er delelig med $2$, vet vi automatisk at det heller ikke er delelig med $4$.

Toer- og femmerregelen virker fordi $2$ og $5$ går opp i tallsystemets grunntall, $10$, og firerregelen fordi $4$ går opp i grunntallet opphøyd i $2$, nemlig $100$. Noe slikt system finnes imidlertid ikke for $3$ og $9$, så for å finne regler for delelighet med $3$ og $9$ må vi angripe problemet på en litt annen måte. Vi starter med å addere $(- 1 + 1)$ til alle tierpotensene i tallet på utvidet form. Det kan vi fritt gjøre, for vi adderer jo bare $0$.

$n = a_m(10^m – 1 + 1) + a_{m – 1}(10^{m – 1} – 1 + 1) + \dots + a_1(10 – 1 + 1) + a_0$

som ved å skille ut multiplikasjonen med $1$ kan omformes til

$n = a_m(10^m – 1) + a_{m – 1}(10^{m – 1} – 1) + \dots + a_1(10 – 1) + a_m \cdot 1 + a_{m – 1} \cdot 1 + \dots + a_1 \cdot 1 + a_0$

Poenget med dette er at alle tierpotensene minus $1$ vil være multipler av $9$, nemlig $9$, $99$, $999$, og så videre. Vi kan altså forenkle uttrykket til

$n = 9b + a_m + a_{m – 1} + \dots + a_1 + a_0$, der $b$ er et eller annet tall vi ikke trenger å bry oss om.

$9b$ er delelig med $9$ fordi det er et multippel av $9$. Hvis nå $a_m + a_{m – 1} + \dots + a_1 + a_0$ også er delelig med $9$, sier regelen om lineære kombinasjoner at $n$ også er delelig med $9$. Vi ser at $a_m + a_{m – 1} + \dots + a_1 + a_0$ er summen av koeffisientene i tallet, det vil si det samme som tverrsummen, slik den ble presentert i artikkelen om tall og tallsystemer. Av dette følger nierregelen:

Nierregelen

$\fbox{Alle tall der tverrsummen er delelig med 9, er delelige med 9}$

Hvis tverrsummen blir et stort tall som vi kanskje ikke vet om er delelig på $9$, bruker vi nierregelen på dette tallet også.

Eksempel 10:

$116$ er ikke delelig med $9$ fordi $T(116) = 8$ ikke er delelig med $9$.

$222$ er ikke delelig med $9$ fordi $T(222) = 6$ ikke er delelig med $9$.

$48528$ er delelig med $9$ fordi $T(48528) = 27$ er delelig med $9$. Hvis vi skulle være usikre på om $27$ er delelig med $9$, tar vi tverrsummen på nytt, $T(27) = 9$.

I begrunnelsen for nierregelen skrev vi tallet $n$ som

$n = 9b + a_m + a_{m – 1} + \dots + a_1 + a_0$. Fordi $9$ er et multippel av $3$, vil alle tall på formen $9b$ være delelige med $3$. Hvis $a_m + a_{m – 1} + \dots + a_1 + a_0$, altså tverrsummen, også er delelig med $3$, vil $n$ være delelig med $3$. Av dette følger treerregelen:

Treerregelen

$\fbox{Alle tall der tverrsummen er delelig med 3, er delelige med 3}$

Hvis tverrsummen blir et stort tall som vi kanskje ikke vet om er delelig på $3$, bruker vi treerregelen på dette tallet også.

Eksempel 11:

$116$ er ikke delelig med $3$ fordi $T(116) = 8$ ikke er delelig med $3$.

$222$ er delelig med $3$ fordi $T(222) = 6$ er delelig med $3$.

$48525$ er delelig med $3$ fordi $T(48525) = 24$ er delelig med $3$. Hvis vi skulle være usikre på om $24$ er delelig med $3$, tar vi tverrsummen på nytt, $T(24) = 6$.

Hvis vi har brukt nierregelen og funnet at et tall er delelig med $9$, vet vi automatisk at det også er delelig med $3$. Og omvendt, hvis vi har brukt treerregelen og funnet at et tall ikke er delelig med $3$, vet vi automatisk at det heller ikke er delelig med $9$.

Oppgave 2:

Avgjør om $1386$ er delelig med henholdsvis $2, 3, 4, 5, 9$ ved å bruke delelighetsregler. Bruk reglene i den rekkefølgen du ønsker.

Se løsningsforslag

Divisjon med rest

Innledningsvis sa vi at hvis divisjonen $\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = t$ går opp, er $t$ et helt tall. $a$ kan da deles i $t$ grupper med $b$ elementer i hver.

I eksempel 2 så vi for eksempel at ${\large \frac{8}{2}} = 4$ betydde at $a = 8$ elementer kunne organiseres i $t = 4$ grupper med $b = 2$ elementer i hver.

Hvis divisjonen derimot ikke går opp, vil det ikke være mulig å organisere alt i grupper med $b$ elementer. Det kan være mulig å danne et antall fulle grupper med $b$ elementer, men det vil alltid være en gruppe som ikke blir full.

Eksempel 12:

Divisjonen ${\large \frac{7}{3}}$ går ikke opp. Forsøker vi å dele $a = 7$ elementer i grupper med $b = 3$ elementer, vil vi få to fulle grupper, men også en gruppe som bare inneholder ett element:

Illustrasjon av at 7:3 ikke går opp

Eksempel 13:

Divisjonen ${\large \frac{6}{4}}$ går ikke opp. Forsøker vi å dele $a = 6$ elementer i grupper med $b = 4$ elementer, vil vi få én full gruppe, men også en gruppe som bare inneholder to elementer:

Illustrasjon av at 6:4 ikke går opp

Antall elementer i en gruppe som ikke er full, kaller vi for en rest, og å dividere på denne måten kalles å dividere med rest.  I eksempel 12 er resten $1$, i eksempel 13 er resten $2$. Ser vi tilbake på eksempel 1 og 2, der divisjonen gikk opp, fantes det ingen elementer i grupper som ikke var fulle. Det er det samme som at resten er $0$.

Utfører vi divisjonene i eksempel 12 og 13 på ordinær måte, får vi ${\large \frac{7}{3}} = 2{,}\overline3$ og ${\large \frac{6}{4}} = 1{,}5$.

Vi ser at heltallsdelen av kvotienten, henholdsvis $2$ og $1$, forteller hvor mange fulle blokker vi får.

Multipliserer vi desimaldelen med divisor, finner vi ut hva resten blir, henholdsvis $0{,}\overline3 \cdot 3 = 1$ og $0{,}5 \cdot 4 = 2$.

Eksempel 14:

Tabellen under viser tallene fra 0 til 10 dividert med 4. Vi bruker heltallsdelen til kvotienten til å regne ut hvor mange blokker på 4 vi får, og desimaldelen til kvotienten multiplisert med 4 til å regne ut hvilken rest vi får i hvert tilfelle.

Tall: $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
Tall dividert på 4: $0{,}00$ $0{,}25$ $0{,}50$ $0{,}75$ $1{,}00$ $1{,}25$ $1{,}50$ $1{,}75$ $2{,}00$ $2{,}25$ $2{,}50$
Blokker: $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $1$ $1$ $1$ $2$ $2$ $2$
Rest: $0$ $1$ $2$ $3$ $0$ $1$ $2$ $3$ $0$ $1$ $2$

Vi ser at vi starter med $0$ blokker og $0$ i rest. Hver gang tallet øker med $1$, øker resten med $1$, inntil tallet blir et multippel av $4$. Da går resten tilbake til $0$, og vi får en ny full blokk med $4$ elementer.

Alle hele tall dividert på $4$ vil kunne representeres unikt som i eksempel 14, med et antall blokker à $4$ elementer, og en rest som varierer mellom $0$ og $3$.

Divisjonsalgoritmen

Generelt vil alle hele tall, $a$, dividert på $b$ på en unik måte kunne representeres som et antall blokker à $b$ elementer og en rest, $r$, som varierer mellom $0$ og $b -1$. Sagt på en annen måte, kan alle hele tall, $a$, på en unik måte uttrykkes som en sum av antall elementer i blokker à $b$ og en rest, $r$, som varierer mellom $0$ og $b -1$. Dette er divisjonsalgoritmen, eller divisjonslemmaet, som vi matematisk uttrykker slik:

$\fbox{Hvis $a, b \in \mathbb Z, b > 0$, vil det alltid finnes unike heltall, $q$ og $r$ slik at $a = qb + r$, der $0 \le r < b$}$

Hvis divisjonen ${\large \frac{a}{b}}$ går opp, blir resten $r = 0$. Hvis $b > a$, blir $q = 0$ og $r = a$, slik vi ser i eksempel 15.

Eksempel 15:

I eksempel 14 varierer $a$ fra $0$ til $10$ og $b = 4$.

Vi ser at $a$ ved hjelp av divisjonsalgoritmen kan uttrykkes som

$0 = 0 \cdot 4 + 0 \\
1 = 0 \cdot 4 + 1 \\
2 = 0 \cdot 4 + 2 \\
3 = 0 \cdot 4 + 3 \\
4 = 1 \cdot 4 + 0 \\
5 = 1 \cdot 4 + 1 \\
6 = 1 \cdot 4 + 2 \\
7 = 1 \cdot 4 + 3 \\
8= 2 \cdot 4 + 0 \\
9 = 2 \cdot 4 + 1 \\
10 = 2 \cdot 4 + 2 $

Ei tallinje kan også brukes til å illustrere divisjonsalgoritmen. I $a = qb + r$ er $q$ antall ganger vi må legge $b$ etter hverandre for å komme så langt at vi bare mangler resten, $r$, på å nå fram til $a$.

Eksempel 16:

$8 = 2 \cdot 4 + 0$.

$14 = 3 \cdot 4 + 2$.

Dette er illustrert på tallinja under. Linjestykket med lengde $b = 4$ rekker nøyaktig fram til $a = 8$ når vi legger det etter seg selv $q = 2$ ganger, her er resten $r = 0$. Men vi får det ikke til å rekke nøyaktig fram til $a = 14$. Da legger vi det etter seg selv $q = 3$ ganger, og bruker en rest på $r = 2$ på å nå $a$.

Illustrasjon av divisjonsalgoritmen

Divisjonsalgoritmen er svært nyttig i mange sammenhenger. I artikkelen om faktorisering ser vi for eksempel at den gir oss en effektiv metode til å finne to talls største felles faktor.

Divisjonsalgoritmen kan også brukes på negative tall. $a$ i uttrykket $a = qb + r$ vil da være mindre enn null, mens $b$ forblir positiv. Vi får en negativ $q$, mens $r$, som skal ligge mellom $0$ og $b – 1$ forblir positiv eller $0$.

Eksempel 17:

$-8 = -2 \cdot 4 + 0$.

$-14 = -4 \cdot 4 + 2$.

Det er vanskelig å illustrere negative tall som blokker, men på ei tallinje fungerer det like fint som for positive tall.

Eksempel 18:

Tallene fra eksempel 17 er illustrert under. Linjestykket med lengde $b = 4$ rekker nøyaktig fram til $-8$ når vi legger det etter seg selv $-2$ ganger, her er rest $0$. Men vi får det ikke til å rekke nøyaktig fram til $-14$. Siden resten skal være positiv, må vi gå forbi  $-14$ ved å legge $b=4$ etter seg selv $-4$ ganger og så bruke resten på $2$ til å gå tilbake til $14$.

Illustrasjon av divisjonsalgoritmen for negative tall

For å kunne bruke divisjonsalgoritmen på to tall, $a$ og $b$, må vi beregne $q$ og $r$.

$q$ er tallet vi skal multiplisere med $b$ for å komme så nærme $a$ at vi havner eksakt i $a$ når vi adderer resten, $r$. $q$ finner vi ved å dividere $a$$b$ og så runde ned til nærmeste heltall. For å indikere at vi runder ned til nærmeste heltall bruker vi symboler med klammeparenteser som bare er lukket i bunnen, slik at de danner et gulv: $\lfloor \; \rfloor$.

Formelt sett er $\lfloor x \rfloor$ definert som det største heltallet som er mindre eller lik $x$. For positive tall betyr det å sløyfe tallets desimaler, slik vi gjorde i eksempel 13 og 14. Men for negative tall vil det ikke være slik. Vi kan tenke oss at vi finner $\lfloor x \rfloor$ ved å starte på $x$ og gå mot venstre langs tallinja til vi treffer første heltall.

Eksempel 19:

$\lfloor 2{,}75 \rfloor = 2$

$\lfloor 2 \rfloor = 2$

$\lfloor -2 \rfloor = -2$

$\lfloor -2{,}75 \rfloor = -3$. NB!

I regneark som Excel finner vi $\lfloor x \rfloor$ ved hjelp av funksjonen med det forferdelige navnet avrund.gjeldende.multiplum.ned.matematisk. Det finnes også andre avrundingsfunksjoner, for eksempel avrund.ned, men denne vil ikke beregne $\lfloor x \rfloor$ riktig for negative $x$. Det kan angis mange parametere til avrund.gjeldende.multiplum.ned.matematisk, men for å finne $\lfloor x \rfloor$ angir vi bare $x$. For eksempel gir =avrund.gjeldende.multiplum.ned.matematisk(-2,75) tallet $-3$, slik vi fant i eksempel 19. I GeoGebra heter den tilsvarende funksjonen floor. I GeoGebra er desimalskilletegn punktum, ikke komma, så hvis vi vil finne $\lfloor -2{,}75 \rfloor$ i GeoGebra, skriver vi floor(-2.75)

Som nevnt gir $qb$ et tall som er slik at når vi adderer resten, $r$, havner vi i $a$. Altså: $qb + r = a$, det vil si at $r = a – qb$.

Det betyr at vi i praksis kan bruke divisjonsalgoritmen på $a$ og $b$ slik:

  1. Vi finner $q = \lfloor \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \rfloor$
     
  2. Vi finner $r = a – qb$
     
  3. Vi skriver opp uttrykket  $a = qb + r$

Eksempel 20:

Vi skal bruke divisjonsalgoritmen på $a = 1028, b = 34$. Vi finner $q = {\large \lfloor \frac{1028}{34} \rfloor} = 30$ og $r = 1028 – 30 \cdot 34 = 8$. Så $1028 = 30 \cdot 34 + 8$.

Eksempel 21:

Vi skal bruke divisjonsalgoritmen på $a = -380, b = 75$. Vi finner $q = {\large \lfloor \frac{-380}{75} \rfloor } = -6$ og $r = -380 – (-6 \cdot 75) = 70$. Så $-380 = -6 \cdot 75 + 70$.

Oppgave 3:

Bruk divisjonsalgoritmen på

  1. $a = 133, b = 21$
     
  2. $a = -50, b = 8$

Se løsningsforslag

I regneark som Excel kan vi finne divisjonsresten ved hjelp av funksjonen rest. For eksempel gir =rest(-380; 75) tallet  $70$, slik vi fant i eksempel 21. I GeoGebra finner vi divisjonsresten ved hjelp av funksjonen mod. For eksempel gir mod(1028, 34) tallet $8$, slik vi fant i eksempel 20. Vi legger merke til at tallene skilles med semikolon (;) i regneark, men komma (,) i GeoGebra.

Kilder

  • Rosen, Kenneth H. (1984). Elementary Number Theory and Its Applications. Addison-Wesley.
  • Wikipedia