Delt funksjonsforskrift

Av og til ønsker vi å bruke forskjellige funksjonsforskrifter for forskjellige intervaller på tallinja.

Eksempel 1:

Et krydder i løsvekt koster kr 9 per gram ved kjøp inntil 25 gram, kr 8 per gram ved kjøp av 25 gram eller mer, inntil 100 gram, og kr 7 per gram ved kjøp på 100 gram eller mer.

En funksjon som regner ut pris basert på vekt i gram vil være $f(x) = 9x$ når $0\leq x < 25$$f(x) = 8x$ når $25\leq x < 100$ og $f(x) = 7x$ når $100 \leq x$. For å angi disse tre funksjonsforskriftene under ett, bruker vi en delt funksjonsforskrift, som vi angir med en klammeparentes på denne måten:

$ f(x) = \begin{cases} 9x & \quad \text{for } 0\leq x < 25\\ 8x & \quad \text{for } 25\leq x < 100\\ 7x & \quad \text{for } 100\leq x\\ \end{cases}$ 

Hvis vi så for eksempel skal regne ut prisen på 44 gram krydder, ser vi at 44 er i det midterste intervallet, og vi får $f(44) = 8\cdot 44 = 352$. Skal vi regne ut prisen på 12 gram, ser vi at 12 er i det øverste intervallet, og vi får $ f(12) = 9\cdot12 = 108$.

Eksempel 2:

Vi kjenner begrepet absoluttverdi som "et tall uten fortegn". Det vil for eksempel si at absoluttverdien til både $3$ og $-3$ er $3$. Absoluttverdi angir vi med en vertikal strek på hver side av uttrykket vi vil ta absoluttverdien til, for eksempel $|-3|$. Vi har altså at $|x| = |-x|$, for alle tall, $x$.

Absoluttverdifunksjonen $f(x) = |x|$ skifter fortegn på negative tall, og lar andre tall være som de er. Dette kan vi uttrykke ved hjelp av delt funksjonsforskrift:

$ f(x) = \begin{cases} \;\;x & \quad \text{for } x\geq 0\\ -x & \quad \text{for } x< 0\\ \end{cases}$

Hvis vi så for eksempel skal regne ut $f(3)$, ser vi at $3$ er i det øverste intervallet, og vi får $f(3) = 3$. Skal vi regne ut $f(-3)$, ser vi at $-3$ er i det nederste intervallet, og vi får $f(-3) = -(-3) = 3$.

I eksempel 3 og 4 ser vi på en situasjon fra den virkelige verden som vi trenger delt funksjonsforskrift for å modellere.

Eksempel 3:

Vi har en fuglemater med to par hull. Ett par midt på og ett par i bunnen:

Bilde av fuglemater med to par hull

Vi skal så sette opp en funksjon som beskriver hvor mye fuglefôr det til enhver tid er i materen.

Vi antar at det hele tiden er fuger og spiser, så lenge det er fôr. Siden fuglemateren er en sylinder, er det ikke noen variasjoner i formen som påvirker hvor fort fôrnivået synker. Det eneste vi trenger å ta hensyn til er altså hvor fort fuglene spiser, og hvor mange som kan spise av gangen.

Så lengde det er samme antall fugler som spiser, avtar fôrmengden i et konstant forhold til hastigheten de spiser i. Mengden fôr beskrives derfor av en lineær funksjon, på formen $f(t) = at + b$, der $t$ er tiden i minutter siden materen ble fylt.

Vi observerer at det tar 45 minutter før fuglemateren er halvfull.

At materen er full til å begynne med, og halvfull etter 45 minutter, kan vi matematisk uttrykke som at linjen funksjonen representerer går gjennom punktene $(0,100)$ og $(45, 50)$, der første koordinat representerer tiden i minutter og andre koordinat hvor mange prosent mat som er igjen. 

I artikkelen om representasjonsformer lærte vi å finne funksjonsforskriften til en lineær funksjon som går gjennom to gitte punkter, $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$, ved å finne

$a = \frac{\displaystyle y_2 – y_1}{\displaystyle x_2 – x_1}$

og

$b = y_1- ax_1$

I vårt tilfelle får vi

$a = \frac{\displaystyle 50 – 100}{\displaystyle 45 – 0} = -\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 9}$

$b = 100- (-\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 9} \cdot 0) = 100$

Så funksjonsforskriften blir

$f(t) = -\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 9}t + 100$

Når 45 minutter er gått, vil det ikke være mer fôr å hente i de øverste hullene, så resten av tiden kan bare halvparten så mange fugler spise, og det vil ta dobbelt så lang tid, altså 90 minutter å tømme resten av materen. Totalt går det altså 45 + 90 = 135 minutter fra materen er fylt til den er tom. Dette kan vi modellere ved å si at linjen funksjonen representerer går gjennom punktene for halvfull og tom, $(45,50)$ og $(135, 0)$.

Nå får vi at

$a = \frac{\displaystyle 0 – 50}{\displaystyle 135 – 45} = -\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}$

$b = 50 – (-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9} \cdot 45) = 75$

Så funksjonsforskriften blir

$f(t) = -\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}t + 75$

Så setter vi disse to funksjonsforskriftene sammen i et uttrykk med delt funksjonsforskrift:

$f(t) = \begin{cases}
-\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 9}t + 100 & \; \text{for } 0 \leq t < 45\\
\\
-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}t + 75 & \;\text{for } 45 \leq t \leq 135 \\ \end{cases}$

Her tok vi med tallet 45 i det siste intervallet, men vi kunne gjerne tatt det det med i det første. Modellen er såpass upresis at det egentlig ikke er noe som tilsier det ene eller det andre. Og begge deler gir samme svar, siden funksjonen er kontinuerlig når t = 45. (En diskontinuerlig funksjon ville jo vært underlig, da måtte fôrnivået plutselig ha endret seg magisk etter 45 minutter.)

En graf som viser hvor mange prosent fôr som er igjen i materen som funksjon av tiden er vist under:

Graf som viser hvor mye fôr som er igjen i en fuglemater som funksjon av tiden

Oppgave 1:

Bildet under viser en fuglemater med 3 par hull, ett par i bunnen, ett par en tredjedel opp, og ett par to tredjedeler opp.

Bilde av fuglemater med tre par hull

Fra materen er full til den er to tredels full går det 20 minutter. Finn fram til en delt funksjonsforskrift som angir mengden fôr (fra 100 % til 0 %) som er
tilbake i fuglemateren basert på antall minutter siden den ble fylt helt opp.

Du kan gjøre samme forutsetninger som i eksempel 3, at det hele tiden er fuger og spiser så lenge det er fôr, og at det ikke noen variasjoner i formen som påvirker hvor fort fôrnivået synker.

Se løsningsforslag

Kilder

  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
  • matematikk.org