Derivasjonsbegrepet

Vi har en plante som i en periode vokser kjapt, med konstant hastighet. Den er i utgangspunktet 1 desimeter høy. Etter en uke er den 3 desimeter, og etter 2 uker 5 desimeter. Så skal vi regne ut vekstfarten i denne perioden. Og det er jo lett, vi tar bare høyden en uke og trekker fra høyden uka før. For eksempel 3 – 1 = 2, eller 5 – 3 = 2. Eller vi kan måle endringen over 2 uker og dele på to: (5 – 1)/2 = 2. Vekstfarten er 2 desimeter pr. uke.

En funksjon som beskriver plantens høyde vil være $f(x) = 2x + 1$, der $x$ er antall uker, med graf som vist under.

Graf som viser lineær vekst av plante

Vi kan finne vekstfarten ved å velge to hvilke som helst verdier av $x$, kall dem $x_1$ og $x_2$, og regne ut

$\frac{\displaystyle f(x_2) – f(x_1)}{\displaystyle x^{\phantom 1}_2 – x_1}$

for eksempel

${\large \frac{f(2) – f(0)}{2 – 0}} = {\large \frac{5-1}{2 – 0}} =2$

Vi gjenkjenner dette som grafens stigningstall, som er 2 for alle $x$.

Men la oss nå si at vi i stedet si har en eksponentialfunksjon som angir antall bakterier en kultur, $f(x) = 1{,}35^x$.

Grafen til funksjonen er vist under, enheten langs x-aksen er timer, enheten langs y-aksen millioner bakterier:

Graf som viser eksponentiell vekst i en bakteriekultur

Her er ikke stigningstallet konstant, noe som betyr at vekstfarten endrer seg. Måler vi mellom to punkter, vil vekstfarten avhenge av hvilke punkter vi velger, den vil ikke være konstant, slik som med planten.

Velger vi å måle mellom 0 og 1 time, får vi

${\large\frac{f(1) – f(0)}{1 – 0}} = {\large\frac{1{,}35^1 – 1{,}35^0}{1 – 0}} = 0{,}35$

Gjennomsnittlig vekstfart den første timen er altså 350 000 bakterier per time.

Velger vi å måle mellom 1 og 2 timer, får vi

${\large\frac{f(2) – f(1)}{2 – 1}} = {\large\frac{1{,}35^2 – 1{,}35^1}{2 – 1}} = 0{,}4725$

Gjennomsnittlig vekstfart den andre timen er altså 472 500 bakterier per time.

Dette er gjennomsnittlige vekstfarter målt i løpet av en time. Men så lurer vi på hva vekstfarten er i et gitt øyeblikk, for eksempel etter nøyaktig 1,5 timer. Vi kan finne en tilnærming ved å beregne gjennomsnittet i et intervall rundt 1,5 timer:

${\large\frac{f(1{,}7) – f(1{,}3)}{1{,}7 – 1{,}3}} = {\large\frac{1{,}35^{1{,}7} – 1{,}35^{1{,}3}}{1{,}7 – 1{,}3}} \approx 0{,}471014$

Omlag 471 014 bakterier per time.

Vil vi ha et mer nøyaktig anslag, kan vi bruke et mindre intervall:

${\large\frac{f(1{,}6) – f(1{,}4)}{1{,}6 – 1{,}4}} = {\large\frac{1{,}35^{1{,}6} – 1{,}35^{1{,}4}}{1{,}6 – 1{,}4}} \approx 0{,}470802$

Omlag 470 802 bakterier per time.

Vi kan finne bedre og bedre tilnærminger ved å velge mindre og mindre intervaller, men noen helt eksakt verdi vil vi aldri klare å få. Her kommer den deriverte oss til hjelp. Den deriverte er en ny funksjon som forteller oss hvor fort den opprinnelige funksjonen endrer seg. Som vi senere skal lære å regne ut, blir den deriverte av bakteriefunksjonen

$f'(x) = \ln 1{,}35 \cdot 1{,}35^x$

Apostrofen i $f'(x)$ forteller oss at denne funksjonen er den deriverte av funksjonen $f(x)$.

Setter vi inn $x = 1{,}5$, finner vi vekstfarten ved nøyaktig 1,5 timer:

$f'(1{,}5) = \ln 1{,}35 \cdot 1{,}35^{1{,}5} \approx 0{,}470732$

Omlag 470 732 bakterier per time.

For å finne et uttrykk for den deriverte, gjør vi som i eksemplet over, ser på mindre og mindre intervaller. Det kan være litt krevende å henge med i logikken her, men den er nødvendig for å forstå hva den deriverte er. Senere skal vi etablere regler for derivasjon som er enkle å bruke.

Vi tar utgangspunkt i en vilkårlig funksjon, $f(x)$, og velger to vilkårlige $x$-verdier. Nå kaller vi dem imidlertid ikke $x_1$ og $x_2$, men $x$ og $x + \Delta x$. Det er for å indikere at vi velger et vilkårlig punkt, $x$, og går en vilkårlig avstand til høyre fra $x$ for å finne det andre punktet. $\Delta x$ betyr en ikke nærmere bestemt avstand. I disse to punktene leser vi så av funksjonsverdiene, $f(x)$ og $f(x + \Delta x)$, som illustrert under:

Illustrasjon av definisjon av den deriverte

Den gjennomsnittlige endringsfarten mellom $x$ og $x + \Delta x$ blir

${\large\frac{f(x + \Delta x ) – f(x)}{(x+ \Delta x) – x }} = {\large\frac{f(x + \Delta x ) – f(x)}{ \Delta x}}$

For å finne endringsfarten akkurat i $x$, reduserer vi $\Delta x$, slik at punktet $x + \Delta x$ nærmer seg $x$. Jo mindre $\Delta x$ blir, jo nærmere den riktige verdien kommer vi. Den helt eksakte verdien er grensen for uttrykket over når vi lar $\Delta x$ gå mot null.

Grenser ble vi kjent med i artikkelen om kontinuitet og grenser, der vi også lærte å uttrykke grenser ved hjelp av lim-terminologi. Her skal vi altså finne

$\fbox{$ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x ) – f(x)}{ \Delta x}$}$

Denne grensen er selve definisjonen av den deriverte, $f'$, av funksjonen $f$, som altså forteller hvor fort $f$ endrer seg for en vilkårlig $x$.

Eksempel 1:

Vi skal bruke definisjonen av den deriverte til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^2$.

Vi får

$f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x ) – f(x)}{ \Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 – x^2}{ \Delta x} = \\
\, \\
\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x \Delta x +(\Delta x)^2 – x^2}{ \Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x \Delta x +(\Delta x)^2}{ \Delta x} = \\
\, \\
\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} 2x + \Delta x = 2x$

Vi har altså at $(x^2)' = 2x$

Det ble en ganske lang utregning, men det er bare vanlig algebra som er brukt. Vi setter først inn funksjonsuttrykket, der $f(x + \Delta x)$ er $(x + \Delta x)^2$ og $f(x)$ er $x^2$. Så bruker vi første kvadratsetning, trekker sammen like ledd, og forkorter med $\Delta x$. Til slutt regner vi ut grenseverdien når $\Delta x \rightarrow 0$.

Oppgave 1:

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne $f'(x)$ når $f(x) = 2x + 3$.

Se løsningsforslag

Deriverbarhet

Det er ikke alle funksjoner som er deriverbare i alle områder. For at en funksjon skal være deriverbar i et område, må den være kontinuerlig, og grafen uten knekkpunkter.

Eksempel 2:

Vi ser på funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle|x|}{\displaystyle x}$, som vi møtte i avsnitt 1 og som har en graf som vist under.

En diskontinuerlig graf

Når $x < 0$ er funksjonen kontinuerlig og glatt, og derfor deriverbar. Samme argument gjelder for $x > 0$. Men akkurat i $x = 0$ hopper funksjonsverdien fra -1 til 1 og det er meningsløst å snakke om en endringshastighet. Funksjonen er ikke deriverbar for $x = 0$.

Eksempel 3:

Vi ser på funksjonen $f(x) = |x|$, som har en graf som vist under.

Grafen til absoluttverdifunksjonen

Det er ingen problemer med funksjonens grenseverdier i $x = 0$, den høyresidige og venstresidige grenseverdien er lik funksjonsverdien, $\displaystyle \lim_{x \to 0^{\large +}}f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0^{\large -}}f(x) = f(0) = 0$, så funksjonen er kontinuerlig.

Den har imidlertid et knekkpunkt. Når $x < 0$ har vi at $f(x) = -x$, og når $x \ge 0$ har vi at $f(x) = x$, Ser vi på definisjonen av den deriverte i $x = 0$, vil vi ha at

$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0^{\Large +}} \frac{f(0 + \Delta x ) – f(0)}{ \Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0^{\Large +}} \frac{(0 + \Delta x ) – 0}{ \Delta x} = 1$

og

$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0^{\Large -}} \frac{f(0 + \Delta x ) – f(0)}{ \Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0^{\Large -}} \frac{-(0 + \Delta x ) – 0}{ \Delta x} = -1$

Den høyresidige og venstresidige grenseverdien er ikke lik, så grenseverdien, og derved den deriverte, er ikke definert i $x=0$.

Dette er intuitivt riktig, den deriverte representerer funksjonens endringshastighet, og det finnes ingen fast endringshastighet i et punkt der grafen knekker.

Vi kan godt si at en funksjon ikke er deriverbar i et punkt hvis vi ikke kan tegne en entydig tangent til grafen i punktet. I eksempel 3 for eksempel, kan vi jo ikke tegne en entydig tangent i $x = 0$.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia