Derivere funksjonskombinasjoner

I artikkelen om å derivere potensfunksjoner og artikkelen om å derivere ulike typer funksjoner har vi sett hvordan vi deriverer potensfunksjoner, trigonometriske funksjoner, eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner. Nå skal vi se på regler for hvordan vi deriverer kombinasjoner av funksjoner.

Litt om notasjon

I alle reglene bruker vi en funksjon som vi kaller $f(x)$, og i de fleste også en funksjon vi kaller $g(x)$. Denne notasjonen er den mest presise, men de forskjellige uttrykkene kan bli litt komplekse og vanskelige å tolke. Vi angir derfor også reglene på en kortform, der vi kaller funksjonene $u$ og $v$.

Rekkefølgen på to ledd vi adderer er likegyldig, $u'v + uv'$ er det samme som $uv' + u'v$. Rekkefølgen vi angir to faktorer i er også likegyldig, $uv'$ er det samme som $v'u$. I denne artikkelen bruker vi praksis fra matematikk.net: Derivasjonsregler. Men det finnes ikke noen entydig standard. Innholdet i reglene er imidlertid alle tilfeller de samme.

Konstantregelen

Den første regelen er den enkleste. Hvis vi skal derivere en funksjon multiplisert med en konstant, kan vi sette konstanten utenfor derivasjonen:

$\fbox{$\big(kf(x)\big)' = kf'(x)$}$

På kortform:

$\fbox{$\big(ku\big)' = ku'$}$

Eksempel 1:

$(5x^2)' = 5(x^2)' = 5(2x) = 10x$

Sum- og differanseregelen

Å derivere en sum eller differanse av funksjoner er også enkelt, vi deriverer funksjonene hver for seg:

$\fbox{$\big(f(x) \pm g(x) \big)' = f'(x) \pm g'(x)$}$

På kortform:

$\fbox{$\big(u \pm v \big)' = u' \pm v'$}$

Eksempel 2:

$(x^4 + x^3 – x^2)' = (x^4)' + (x^3)' – (x^2)' = 4x^3 + 3x^2 – 2x$

Ved hjelp av disse to reglene kan vi nå derivere alle polynomfunksjoner.

Eksempel 3:

Vi skal derivere $f(x) = -3x^2 + 2x -8$.

Vi får

$f'(x) = (-3x^2)' + (2x)' – (8)' = -3(x^2)' + 2(x)' – (8)' = -3 \cdot 2x + 2 \cdot 1 – 0 = -6x +2$

Her har vi ført utregningen ytterst omstendelig for å illustrere hvilke regler som brukes. Men det meste av utregningen kan utføres i hodet. Vi tar for oss ledd for ledd, flytter eksponenten ned og multipliserer med en eventuell koeffisient, før vi reduserer eksponenten med 1.

Vi kunne skrevet det så kort som

$f'(x) = -3 \cdot 2x + 2 = -6x +2$

Alle polynomfunksjoner er deriverbare for alle $x$.

Oppgave 1:

Deriver funksjonen $f(x) = 7x^4 + 3x^2 – \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x}$

Se løsningsforslag

Produktregelen

Å derivere et produkt av to funksjoner er litt mer komplisert:

$\fbox{$\big(f(x) \cdot g(x) \big)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$}$

På kortform:

$\fbox{$\big(uv \big)' = u'v +uv'$}$

Vi deriverer altså ved å multiplisere den ene funksjonen med den deriverte av den andre, og vice versa, og så addere de to produktene.

Eksempel 4:

$(x^4 \cdot x^3)' = (x^4)' \cdot x^3 + x^4 \cdot (x^3)' =4x^3 \cdot x^3 + x^4 \cdot 3x^2 = 7x^6$

Denne utregningen kan vi lett kontrollere ved å beregne uttrykket inni parentesen før vi deriverer:

$(x^4 \cdot x^3)' = (x^7)' = 7x^6$

I eksempel 4 var det bakvendt å bruke produktregelen fordi vi kunne gjøre derivasjonen mye enklere ved å multiplisere ut uttrykket i parentesen først. Men en slik forenkling vil ofte ikke være mulig.

Eksempel 5:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = x^2 \,\sin x$.

Her har vi et produkt av en potensfunksjon og en trigonometrisk funksjon som ikke kan forenkles, og vi må bruke produktregelen. Vi får:

$f'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x )' = 2x \sin x + x^2 \cos x$

Oppgave 2:

Deriver funksjonen $f(x) = (3x^2 + 7x)(4x^5 + 2x^3)$ både ved å bruke produktregelen direkte, og ved å multiplisere sammen parentesene før du deriverer.

Se løsningsforslag

Kvotientregelen

Så ser vi på hvordan vi deriverer en kvotient av to funksjoner:

$\fbox{$\bigg( \frac{\displaystyle f(x)}{\displaystyle g(x)} \bigg)' = \frac{\displaystyle f'(x)\cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{\displaystyle \big(g(x)\big)^2}$}$

På kortform:

$\fbox{$\Big( \frac{\displaystyle u}{\displaystyle v} \Big)' = \frac{\displaystyle u'v – uv'}{\displaystyle v^2} $}$

Vi deriverer altså en brøk ved å kvadrere nevneren, og sette telleren lik differansen mellom telleren derivert multiplisert med nevneren og telleren multiplisert med nevneren derivert.

Kvotientregelen kalles ofte brøkregelen.

Kvotientregelen gir oss også en metode til å derivere rasjonale funksjoner. Rasjonale funksjoner er deriverbare for alle $x$ unntatt de som gjør at nevneren blir 0.

Eksempel 6:

$\Big( \frac{\displaystyle x}{\displaystyle \ln x} \Big)' = \frac{\displaystyle x' \cdot \ln x – x \cdot (\ln x)'}{\displaystyle (\ln x)^2} = \frac{\displaystyle 1 \cdot \ln x – x \cdot \frac{1}{x}}{\displaystyle (\ln x)^2} = \frac{\displaystyle \ln x – 1}{\displaystyle (\ln x)^2}$

Eksempel 7:

Ved å benytte at $\tan x = \frac{\displaystyle \sin x}{\displaystyle \cos x}$, kan vi bruke kvotientregelen til å finne den deriverte til $\tan x$:

$(\tan x)' = \big( \frac{\displaystyle \sin x}{\displaystyle \cos x} \big)' = \frac{\displaystyle (\sin x)' \cdot \cos x – \sin x \cdot (\cos x)'}{\displaystyle \cos^2 x} =\\
\, \\
\frac{\displaystyle \cos x \cdot \cos x – \sin x \cdot (-\sin x)}{\displaystyle \cos^2 x} = \frac{\displaystyle \cos^2 x + \sin^2 x}{\displaystyle \cos^2 x}$

Nå kan vi bruke identiteten $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ til å regne svaret om slik:

$\frac{\displaystyle \cos^2 x + \sin^2 x}{\displaystyle \cos^2 x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos^2 x} = \sec^2 x$

Eller vi kan regne slik

$\frac{\displaystyle \cos^2 x + \sin^2 x}{\displaystyle \cos^2 x} = \frac{\displaystyle \cos^2 x}{\displaystyle \cos^2 x} + \frac{\displaystyle \sin^2 x}{\displaystyle \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

Dette er formene til den deriverte av tangens som vi presenterte i artikkelen om å derivere ulike typer funksjoner.

Oppgave 3:

Deriver funksjonen $\frac{\displaystyle x^2 + 1}{\displaystyle x + 1}$

Se løsningsforslag

Hvis vi har en rasjonal funksjon der telleren er en konstant og nevneren en potensfunksjon, kan det gjerne være enklere å derivere ved hjelp av potensregelen enn ved hjelp av kvotientregelen.

Eksempel 8:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3x^2}$

Vi bruker potensregelen:

$f'(x) = \Big(\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x^{-2}\Big)' = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \cdot (-2)x^{-3} = -\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3x^3}$

Vi bruker kvotientregelen:

$f'(x) = \frac{\displaystyle 2' \cdot 3x^2 – 2 \cdot (3x^2)'}{\displaystyle \big(3x^2\big)^2} = \frac{\displaystyle 0 \cdot 3x^2 – 2 \cdot 3 \cdot 2x}{\displaystyle 9x^4} = -\frac{\displaystyle 12x}{\displaystyle 9x^4} = -\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3x^3}$

Oppgave 4:

Deriver funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x}$ både ved å bruke potensregelen og ved å bruke kvotientregelen.

Se løsningsforslag

Kjerneregelen

Den siste regelen vi skal se på, er kjerneregelen, som vi bruker når vi skal derivere sammensatte funksjoner.

$\fbox{ $\Big(f\big(g(x)\big)\Big)' = f'(g) \cdot g'(x)$}$

På kortform:

$\fbox{ $\big(u(v)\big)' = u_{\large v^\phantom 1}'v'$}$

Her deriveres $u$ med hensyn på $v$ som uavhengig variabel og $v$ med hensyn på sin egen uavhengige variabel.

Kjerneregelen sier altså at hvis en funksjon består av en ytre funksjon, $f(g)$, og en indre funksjon, $g(x)$, beregner vi den deriverte ved å multiplisere den deriverte av den ytre funksjonen med hensyn på $g$ med den deriverte av den indre funksjonen med hensyn på $x$.

Eksempel på en sammensatt funksjon er $f(x) = e^{2x}$, som er sammensatt av funksjonene $f(g) = e^g$ og $g(x) = 2x$.

For å kunne bruke kjerneregelen, må vi først finne kjernen. En strategi til dette er å lete etter et uttrykk som, hvis vi erstatter det med en enkelt variabel, gir oss en funksjon vi har en regel for å derivere.

Et par eksempler vil klargjøre:

Eksempel 9:

Vi skal derivere $f(x) = e^{2x}$

Vi ser at hvis vi erstatter $2x$ med $g$, får vi $e^g$, som vi vet hvordan vi deriverer. Den eneste forskjellen i forhold til det vi har gjort tidligere, er at variabelen heter $g$, ikke $x$, så $(e^g)' =e^g$.

Vi har altså at den ytre funksjonen er $f(g) = e^g$ og den indre funksjonen er $g(x) = 2x$.

Kjerneregelen gir

$f'(x) = (e^{2x})' = (e^g)' \cdot (2x)' = e^g \cdot 2$.

Så gjenstår det bare å erstatte tilbake $g$ med $2x$, så vi får $e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.

Altså:

$(e^{2x})' = 2e^{2x}$

Eksempel 10:

Vi skal derivere $f(x) = \sqrt {\ln x}$

Vi ser at hvis vi erstatter $\ln x$ med $g$, får vi $\sqrt g$, som vi vet hvordan vi deriverer. Og vi får:

$f'(x) = (\sqrt g)' \cdot (\ln x)' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 \sqrt g} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2x\sqrt{ \ln x }}$

På engelsk heter kjerneregelen the chain rule, kjederegelen. Vi ser at det er et dekkende navn fordi vi utfører en kjede av derivasjoner. Dette blir enda tydeligere hvis vi har flere kjerner inni hverandre.

Oppgave 5:

Deriver funksjonen $f(x) = \ln(4x + 8)$

Se løsningsforslag

Oppgave 6:

Deriver funksjonen $f(x) = e^{(x^{\large 2})}$

Se løsningsforslag

Hvis vi er usikre på om vi trenger å bruke kjerneregelen eller ikke, er det bedre å bruke den en gang for mye enn en gang for lite. Bruker vi kjerneregelen der det egentlig ikke er behov for det, skjer det ikke noe annet enn at den deriverte av kjernen blir 1, slik som vist i eksempel 11:

Eksempel 11:

Vi skal derivere $f(x) = e^{(x + 2)}$.

Vi har at den ytre funksjonen er $f(g) = e^g$ og den indre funksjonen er $g(x) = x + 2$.

Kjerneregelen gir $f'(x) = \big(e^{(x + 2)}\big)' = (e^g)' \cdot (x + 2)' = e^g \cdot {\color{brown}{1}} = e^{(x + 2)}$.

Den deriverte av kjernen markert med brunt. Vi ser at den er 1, så det var ikke nødvendig å bruke kjerneregelen her.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia