Derivere potensfunksjoner

I artikkelen om derivasjonsbegrepet så vi at $(x^2)' = 2x$. To-tallet i eksponenten har kommet ned og står som en koeffisient foran $x$. Dette er et spesialtilfelle av en regel som sier at vi for alle eksponenter, $r$, har følgende regel:

$\fbox{Derivasjon av potens: $(x^r)' = r x^{r-1}$}$

Vi deriverer altså en potens ved å flytte ned eksponenten og så redusere eksponenten med 1.

Eksempel 1:

$(x^8)' = 8x^{7}$

Potensregelen gjelder også for $r = 1$:

Eksempel 2:

$x' = (x^1)' = 1x^0 = 1$. Den deriverte av $x$ er altså 1. Dette er logisk, for 1 er jo nettopp stigningstallet til grafen til $f(x) = x$.

Potensregelen gjelder også for $r = 0$:

Eksempel 3:

$(x^0)' = 0x^{-1} = 0$. Dette er logisk, for $x^0 = 1$, og grafen til $f(x) = 1$ er ei horisontal linje. Funksjonen har aldri noen endring i verdi, og den deriverte er følgelig 0.

Ingen konstantfunksjoner, $f(x) = k$, har noen endring i funksjonsverdi, og vi har for alle konstanter, $k$, at den deriverte er 0.

$\fbox{Derivasjon av konstant: $k' = 0$}$

Potensregelen gjelder også for negative $r$, så vi kan benytte at $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^r} = x^{-r} $ til å derivere uttrykk der variabelen står under en brøkstrek:

Eksempel 4:

${\Large (\frac{1}{x^2})}' = (x^{-2})' = -2 x^{-3} = -{\Large \frac{2}{x^3}}$

Eksempel 5:

${\Large (\frac{1}{x})}' = (x^{-1})' = -1 x^{-2} = -{\Large \frac{1}{x^2}}$

Resultatet fra eksempel 5 kan være verd å huske som en egen regel:

$\fbox{Derivasjon av invers:${\Large (\frac{1}{x})}' = -{\Large \frac{1}{x^2}}$}$

Potensregelen gjelder også for $r$ som ikke er hele tall, så vi kan benytte at $\sqrt[\LARGE n]{x} = x^{\Large \frac{1}{n}}$ til å derivere rotuttrykk:

Eksempel 6:

$\sqrt{x}$ betyr egentlig $\sqrt[\Large 2]{x}$, så

$(\sqrt x)' = (x^{\large \frac{1}{2}})' = {\large \frac{1}{2}}x^{-\large \frac{1}{2}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2x^{\large \frac{1}{2}}} =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2\sqrt x}$

Resultatet fra eksempel 6 kan være verd å huske som en egen regel:

$\fbox{Derivasjon av kvadratrot:$\big(\sqrt x \big)' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2\sqrt x}$}$

Eksempel 7:

$(\sqrt[\Large 3] x)’ = (x^{\large \frac{1}{3}})’ = {\large \frac{1}{3}}x^{-\large \frac{2}{3}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3x^{\large \frac{2}{3}}} =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3\sqrt[\Large 3] {x^2}}$

Potensfunksjoner er deriverbare for alle $x$.

Oppgave 1:

Bruk potensregelen til å derivere følgende funksjoner:

  1. $f(x) = x^5$
     
  2. $f(x) = {\Large \frac{1}{x^4}}$
     
  3. $f(x) = {\Large \frac{1}{\sqrt x}}$

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia