Derivere ulike typer funksjoner

I artikkelen om å derivere potensfunksjoner lærte vi å deriver potenser. Her skal vi kjapt presentere derivasjonsregler for noen andre typer funksjoner.

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

$\fbox{$(\sin x)' = \cos x \\
(\cos x)' = -\sin x$}$

Den deriverte av sinus er altså cosinus, og den deriverte av cosinus er minus sinus.

Sinus- og cosinusfunksjoner er deriverbare for alle $x$.

Det finnes flere vanlige formater å presentere den deriverte av tangens på:

$\fbox{$(\tan x) ' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos^2 x} \\
(\tan x) ' = \sec^2 x \\
(\tan x)' = \tan^2x + 1$}$

Tangensfunksjonen er deriverbar der den er definert, det vil si for alle $x$ unntatt $x = 90 ^\circ + n \cdot 180^\circ$.

Derivasjon av eksponentialfunksjoner

$\fbox{ $(a^x)' = a^x \ln a$}$

Vi deriverer altså en eksponentialfunksjon ved å la funksjonen stå, og multiplisere med den naturlige logaritmen til vekstfaktoren.

Eksempel 1:

Vi har $f(x) = 3^x$ og skal finne den deriverte. Vi bruker regelen for derivasjon av eksponentialfunksjoner og får $f'(x) = 3^x \ln 3$

Eksempel 2:

Vi har $f(x) = e^x$ og skal finne den deriverte. Vi bruker regelen for derivasjon av eksponentialfunksjoner og får $f'(x) = e^x \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$

Eksempel 2 viser et spesialtilfelle av regelen for derivasjon av eksponentialfunksjoner, der vekstfaktoren er $e$. Denne funksjonen, som brukes mye, er sin egen deriverte. Vi har altså

$\fbox{$(e^x)' = e^x$}$

Eksponentialfunksjoner er deriverbare for alle $x$.

Oppgave 1:

Deriver funksjonen $f(x) = 12^x$

Se løsningsforslag

Derivasjon av logaritmefunksjoner

$\fbox{$(\log_ax)' =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x \ln a}$}$

Vi deriverer altså en logaritmefunksjon ved å multiplisere variabelen med den naturlige logaritmen til funksjonens grunntall, og sette produktet under brøkstrek.

Eksempel 3:

Vi har $f(x) = \log_{10}x$ og skal finne den deriverte. Vi bruker regelen for derivasjon av logaritmefunksjoner og får $(\log_{10}x)' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x \ln 10}$

Eksempel 4:

Vi har $f(x) = \ln x$ og skal finne den deriverte. Vi bruker regelen for derivasjon av logaritmefunksjoner og får $(\ln x)' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x \ln e} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x \cdot 1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$

Eksempel 4 viser et spesialtilfelle av regelen for derivasjon av logaritmefunksjoner, der grunntallet er $e$. Denne funksjonen, som brukes mye, har altså den inverse av variabelen som derivert.

$\fbox{$(\ln x)' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$}$

Logaritmefunksjoner er deriverbare for alle $x$ i definisjonsområdet, det vil si alle $x$ om er større enn 0.

Oppgave 2:

Deriver funksjonen $f(x) = \log_2x$

Se løsningsforslag

Gjentatte potensderivasjoner

I artikkelen om å derivere potensfunksjoner så vi at vi subtraherer 1 i eksponenten når vi deriverer en potensfunksjon. Starter vi med et naturlig tall, $n$, i eksponenten og deriverer gjentatte ganger, får vi derfor en kjede av stadig lavere potenser inntil vi når 0:

$x^n \rightarrow x^{n – 1} \rightarrow \dots \rightarrow x^2 \rightarrow x \rightarrow 1 \rightarrow 0$

Vi kommer ikke forbi 0.

Men siden $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$ kan skrives som $x^{-1}$ og $(\ln x)' =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$, ser vi at vi med $\ln x$ kan starte en ny kjede med negative eksponenter:

$\ln x \rightarrow x^{- 1} \rightarrow x^{-2} \rightarrow x^{-3} \rightarrow \dots$

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia