Eksponentialfunksjoner

I artikkelen om potensfunksjoner så vi at en potensfunksjon er på formen $f(x) = ax^{\large b}$, der $a$ og $b$ er reelle tall.

I potensfunksjonen opphøyer vi en variabel i et tall. Hvis vi snur rundt på det og i stedet opphøyer et tall i variabelen, får vi en eksponentialfunksjon, som er på formen $f(x) = ka^{\large x}$, der $k$ og $a$ er reelle tall, $a > 0$.

$a$ kalles funksjonens vekstfaktor fordi den styrer hvor mye funksjonsverdien endrer seg når $x$ endrer seg.

$k$ kalles funksjonens startverdi, for ved starten, altså når $x = 0$, får vi $f(0) = ka^0 = k \cdot 1 = k$.

I en potensfunksjon opphøyer vi altså variabelen i en konstant, mens vi en eksponentialfunksjon opphøyer en konstant i variabelen.

Eksempel på eksponentialfunksjoner er $2^{\large x}$ og $3\cdot \large (\frac{1}{5})^x$.

Definisjonsmengden til eksponentialfunksjoner er alle reelle tall, $D_f = \mathbb R$.

Verdimengden til eksponentialfunksjoner er alle positive tall, $V_f = \langle 0, \infty \rangle$.

Eksponentialfunksjoner med $a > 1$ går mot uendelig når $x$ går mot uendelig, og $0$ når $x$ går mot minus uendelig.

Eksponentialfunksjoner med $0 < a < 1$ går mot $0$ når $x$ går mot uendelig, og uendelig når $x$ går mot minus uendelig.

Eksempel 1:

Bildet under viser grafene til funksjonene

$5^{\large x}$, grønn graf.

$2^{\large x}$, blå graf.

$1^{\large x}$, rød graf.

$\large(\frac{1}{2})^x$, oransje graf.

$\large(\frac{1}{5})^x$, lyseblå graf.

Grafene til et utvalg eksponentialfunksjoner

Vi ser at:

Alle grafene går gjennom punktet $(0,1)$.

Alle grafene går gjennom punktet $(1, a)$. Det vil si at $2^x$ går gjennom $(1, 2)$, $5^x$ går gjennom $(1,5)$, etc.

Funksjonsverdien er alltid større enn $0$.

Grafer med vekstfaktor $a > 1$ blir krappere jo større $a$ er. De stiger mot høyre, har funksjonsverdi mellom $0$ og $1$ når $x < 0$ og funksjonsverdi større enn $1$ når $x > 0$.

Grafer med vekstfaktor $a = 1$ er en rett linje.

Grafer med vekstfaktor $a < 1$ blir krappere jo mindre $a$ er. De synker mot høyre, har funksjonsverdi større enn $1$ når $x < 0$ og funksjonsverdi mellom $0$ og $1$ når $x > 0$.

Bruker vi regnereglene for potenser, ser vi at $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a})^{\large x} = \frac{\displaystyle 1^{\large x}}{\displaystyle a^{\large x}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^{\large x}} = a^{\large -x}$. Det betyr at $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5})^{\large x}$ kan skrives som $5^{\large -x}$ og $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})^{\large x}$ som $2^{\large -x}$. Det forklarer at grafparet $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5})^{\large x}$ og $5^{\large x}$ og grafparet $(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})^{\large x}$ og $2^{\large x}$ i eksempel 1 er speilversjoner av hverandre, med y-aksen som symmetriakse.

Eksempel 2:

Setter vi kr 1000 i banken, og får 2 % rente pr. år, har vi etter 1 år

kr $1000 \cdot 1{,}02$

Siden vi får rente av rentene, har vi etter 2 år

kr $(1000 \cdot 1{,}02) \cdot 1{,}02$, altså kr $1000 \cdot (1{,}02)^2$

Etter 3 år har vi

kr $((1000 \cdot 1{,}02) \cdot 1{,}02) \cdot 1{,}02$, altså kr $1000 \cdot (1{,}02)^3$

og etter $x$ år har vi

kr $1000 \cdot (1{,}02)^{\large x}$

Vi ser at dette er en eksponentialfunksjon på formen $f(x) = ka^{\large x}$, der $k = 1000$ og $a = 1{,}02$. Vekstfaktoren $a$ er her altså $1 + 2 \% = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$.

Tallet e

I eksempel 2 la vi til renter en gang hvert år. Men vi kan jo også tenke oss at vi gjør det hver måned. Da vil vi få rentes rente allerede etter 1 måned. Legger vi til renter hver dag, får vi rentes rente etter 1 dag. Slik kan vi fortsette: Hver time, hvert minutt, hvert sekund. Til slutt ender vi opp med at vi legger til rente kontinuerlig. Og kontinuerlig rente er faktisk noe som brukes i virkeligheten. Dersom vi setter inn kr 1000 til 2 % kontinuerlig rente, vil vi etter $x$ år ha kr $1000 \cdot e^{\large 0{,}02x}$. Dette er en eksponentialfunksjon på formen $f(x) = ka^{\large x}$, men her er ikke $a$ et rasjonalt tall som vi har sett tidligere, for eksempel $\large \frac{1}{2}$ og $1{,}02$, men et irrasjonalt tall som heter e. $e$ kalles Euler-tallet, oppkalt etter matematikeren Leonard Euler. $e$ opptrer i mange sammenhenger både i naturen og i matematikken. De første sifrene til $e$ er $2{,}71828$.

Oppgave 1:

Under vises fire grafer i grønt, blått, rødt og oransje. De tilhører funksjonene

$f(x) = 2^{\large x}$

$g(x) = e^{\large x}$

$h(x) = {\large (\frac{1}{3})}^{\large x}$

$p(x) = x^{\large 3}$

men ikke i den rekkefølgen

Diverse grafer

  1. Hvilken av funksjonene er ikke en eksponentialfunksjon?
     
  2. Hvilken funksjon hører til hvilken graf?

Se løsningsforslag

Eksponentielle modeller

I artikkelen om representasjonsformer så vi på lineære modeller. I en lineær modell er endringen konstant over tid. Vi trenger for eksempel en lineær modell for å beregne hvor langt vi har kjørt etter en viss tid når farten er konstant. I en lineær modell vil grafen være en rett linje, og eventuelle målepunkter vil ligge i nærheten av denne linjen.

I en eksponentiell modell, derimot, vil økningen være avhengig av hvor mye vi har fra før. La oss ta for oss eksempel 2 på nytt. Vi setter inn kr 1000 i banken med en årlig rente på 2 %. Hvis vi ikke hadde fått rentes rente, ville den årlige tilveksten vært konstant, kr 20. Vi ville da hatt en lineær modell. Med rentes rente vil tilveksten første år også være kr 20, men mellom år 19 og 20, for eksempel, vil den være

kr $1000 \cdot (1{,}02)^{\large 20} – 1000 \cdot (1{,}02)^{\large 19} \approx 29{,}13$.

Mellom år 99 og år 100 vil den være

kr $1000 \cdot (1{,}02)^{\large 100} – 1000 \cdot (1{,}02)^{\large 99} \approx 142{,}05$.

Mellom år 999 og år 1000 vil den være

kr $1000 \cdot (1,02)^{\large 1000} – 1000 \cdot (1{,}02)^{\large 999} \approx 7 \, 809 \, 110 \, 816{,}83$.

Grafene under viser hvor hvordan beløpet i banken endrer seg over 200 år. Den blå grafen uten rentes rente – altså en lineær modell, den røde grafen med rentes rente – altså en eksponentiell modell.

Grafer som viser vekst av innskuddsbeløp med og uten rentes rente

Eksempel 3:

I eksempel 2 har vi en vekstfaktor, $a$, som er større enn $1$, og grafen stiger derfor mot høyre. Et eksempel der vekstfaktoren ligger mellom $0$ og $1$, er følgende:

Vi kjøper en bil til kr 250 000 som faller i verdi med 13 % i året. Et verdifall på 13 % betyr en vekstfaktor på 1 – 0,13 = 0,87. Grafen til denne modellen er vist under, for de første 12 årene:

Graf som viser verdifall etter en eksponentiell modell

Siden vekstfaktoren $a < 1$, synker grafen mot høyre. Vi ser at etter $x = 5$ år har bilens verdi sunket til omtrent det halve. Dette er et realistisk prisfall på nye biler.

Oppgave 2:

Elevtallet på en skole i 10 år etter 1989 er gitt i tabellen under:

År etter 1989 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antall elever 100 110 121 133 146 161 177 195 214 236 259
  1. Foreslå en matematisk modell for elevtallet som funksjon av antall år etter 1989. Begrunn hvorfor du velger en lineær eller eksponentiell modell.
     
  2. Vi antar at samme modell er gyldig mellom 1985 og 2005. Bruk modellen til å anslå elevtallet etter 12 år, og 2 år før 1989.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Den årlige prisstigningen på boliger i et område har vært 6 % de siste fem årene, og forventes å være 6 % også de neste to årene.

  1. Sett opp en matematisk modell for prisen på en bolig i denne perioden, når boligen koster 3 millioner kroner i dag.
     
  2. Hva vil boligen koste om 2 år ifølge denne modellen?
     
  3. Hva kostet boligen for 4 år siden ifølge denne modellen?
     
  4. Kan modellen brukes til å si noe om hva boligen kostet for 6 år siden eller hva boligen vil koste om 3 år?

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Selvik, B. K. (2007). Algebra og funksjonslære. Caspar forlag
  • Wikipedia