Ekstremalpunkter

I artikkelen om polynomfunksjoner så vi vi at en andregradsfunksjon, $f(x) = ax^2 + bx + c$, vil ha et topp- eller bunnpunkt når $x={\large -\frac{b}{2a}}$. Dette er fordi andregradsfunksjoner er symmetriske om sitt topp/bunnpunkt.

Andre funksjonstyper vil ikke ha så behagelige egenskaper. Da kan den deriverte komme oss til hjelp. Fordi den deriverte forteller hvor fort en funksjon endrer seg, må den deriverte i et topp- eller bunnpunkt være 0.

Eksempel 1:

Under vises grafen til funksjonen $f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x + 4$. Vi ser at den har et toppunkt og et bunnpunkt.

Tredjegradsfunksjon med topp og bunnpunkt

Vi deriverer funksjonen, og får $f'(x) = 6x^2 + 6x -12$.

Løser vi likningen

$f'(x) = 6x^2 + 6x -12 = 0$, får vi

$x_1 = 1$ og $x_2 = -2$.

De tilhørende funksjonsverdiene blir

$f(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 -12 \cdot 1 + 4 = -3$

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 -12(-12) + 4 = 24$

(Vi passer på å sette x-verdiene inn i den opprinnelige funksjonen, ikke i den deriverte.)

Av grafen ser vi at $(-2, 24)$ et toppunkt og $(1, -3)$ et bunnpunkt for $f(x)$.

I stedet for toppunkt sier vi gjerne maksimumspunkt, og i stedet for bunnpunkt sier vi gjerne minimumspunkt. I et maksimumspunkt har altså funksjonen en maksimumsverdi, og i et minimumspunkt en minimumsverdi. Andre ord for det samme er maksimalpunkt og minimalpunkt og maksimalverdi og minimalverdi.

Et fellesnavn for maksimumspunkter og minimumspunkter er ekstremalpunkter. I slike punkter er den deriverte 0. Det finnes imidlertid enda en type punkt der den deriverte er 0:

Under vises grafen til $f(x) = x^3$.

Tredjegradsfunksjon med terrassepunkt

Vi deriverer funksjonen, og får $f'(x) = 3x^2$. Den deriverte er 0 når $x = 0$, men vi ser at funksjonen verken har et maksimum eller minimum da, grafen flater bare ut litt, før den fortsetter i samme retning. Dette kaller vi et terrassepunkt. 

Et fellesnavn for ekstremalpunkter og terrassepunkter er stasjonære punkter. Funksjonsverdien endrer seg ikke der, den er stasjonær.

For å skille på de tre typene punkter kan vi studere hvordan fortegnet til den deriverte endrer seg. Vi har:

  • Maksimumspunkt. Den deriverte er 0 og skifter fortegn fra + til -.
     
  • Minimumspunkt. Den deriverte er 0 og skifter fortegn fra – til +.
     
  • Terrassepunkt. Den deriverte er 0, men skifter ikke fortegn.

Eksempel 2:

Funksjonen $f(x) = x^2 + 4x -2$ har derivert $f'(x)=2x + 4$, som er 0 når $x = -2$. Det er lett å se at fortegnet er negativt når $x < -2$ og positivt når $x > -2$.

Siden fortegnet derved skifter fra – til + har vi et minimumspunkt i $x = -2$.

Den tilhørende funksjonsverdien blir

$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) -2 = -6$.

$(-2, -6)$ er et minimumspunkt for $f(x)$.

Siden den deriverte ikke er 0 andre steder enn i dette punktet, er det funksjonens eneste stasjonære punkt. Det stemmer med våre erfaringer med andregradsfunksjoner, som har ett enkelt topp- eller bunnpunkt.

For å avgjøre om vi har et maksimums-, minimums- eller terrassepunkt, studerer vi altså den derivertes fortegn. Vi kan ikke konkludere med noe bare ved å se på funksjonsverdien i punktet. Det er nemlig ikke alltid slik at punktet med høyest funksjonsverdi er et maksimum og punktet med lavest funksjonsverdi er et minimum. Dette er illustrert under.

Eksempel 3:

Under vises grafen til den rasjonale funksjonen $f(x) = {\large \frac{x^2-x+1}{1-x}}$.

Minimumspunktet har funksjonsverdi 1, mens maksimumspunktet har funksjonsverdi -3.

Illustrasjon av et makspunkt ikke trenger ha størst funksjonsverdi

Å se hvordan den deriverte skifter fortegn er imidlertid ikke alltid like lett som eksempel 2. I mer sammensatte tilfeller må vi faktorisere den deriverte, og så lage et fortegnsskjema. Fortegnsskjema presenteres i artikkelen om likninger og ulikheter av høyere grad, der det blir brukt som en hjelp til å løse ulikheter.

Eksempel 4:

I eksempel 1 fant vi at $(-2, 24)$ er et maksimumspunkt og $(1, -3)$ et minimumspunkt for funksjonen $f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x + 4$ ved å studere grafen. Nå skal vi se hvordan vi kan bruke fortegnsskjema til å komme fram til det samme. Den deriverte er altså

$f'(x) = 6x^2 + 6x -12$, med nullpunkter i $x_1 = 1$ og $x_2 = -2$.

Som det er beskrevet i artikkelen om å faktorisere polynomer, betyr det at $6x^2 + 6x -12$ kan faktoriseres som $6(x-1)(x+2)$.

Vi tegner faktorene $(x-1)$ og $(x+2)$ inn i et fortegnsskjema, der vi markerer negative verdier med en prikket linje og positive verdier med en heltrukken linje. (Faktoren 6 er alltid positiv, så vi bryr oss ikke om å ta den med.) Har faktorene har samme fortegn, er produktet positivt, har de forskjellig fortegn, er produktet negativt. Dette markerer vi med en linje for produktet, altså den deriverte $(x-1)(x+2)$:

Bruk av fortegnsskjema til å bestemme fortegnet på derivert

Vi ser at fortegnet til $f'(x) = (x-1)(x+2)$ skifter fra + til – i $x = -2$ og fra – til+ i $x = 1$.

Dette er derfor henholdsvis maksimum og minimum.

Oppgave 1:

Bruk derivasjon og fortegnsskjema til å finne og klassifisere de stasjonære punktene til $f(x) = {\large \frac{1}{3}}x^3 – {\large \frac{1}{2}}x^2 -6x + 2$.

Med å klassifisere punktene mener vi å avgjøre om de er maksimums-, minimums-, eller terrassepunkter.

Se løsningsforslag

Ikke alle funksjoner har stasjonære punkter.

Eksempel 5:

Gitt funksjonen $f(x) = \ln x$ med derivert $f'(x) = {\large \frac{1}{x}}$. Den deriverte skifter riktig nok fortegn når $x = 0$, men definisjonsområdet til $\ln x$ er $x > 0$. Den deriverte er derved alltid positiv i definisjonsområdet, og funksjonen har ingen stasjonære punkter.

Grafene til $f(x) =\ln x$ og $f'(x) = {\large \frac{1}{x}}$ er vist under.

Grafen til ln x og den deriverte

Oppgave 2:

Bruk derivasjon til å avgjøre om funksjonen $f(x) = {\large \frac{1}{x}}$ har noen ekstremalpunkter.

Se løsningsforslag

I GeoGebra kan vi finne en funksjons ekstremalpunkter ved hjelp av funksjonen Ekstremalpunkt.

Lokale og globale ekstremalpunkter

En funksjon kan naturligvis ha mer enn ett maksimumspunkt og ett minimumspunkt.

Eksempel 6:

Grafen under viser en funksjon med tre ekstremalpunkter. (Utenfor bildet fortsetter grafen mot minus uendelig på begge sider).

Graf med flere maksimumspunkter

Vi ser at både A og C er maksimumspunkter, mens B er et minimumspunkt. 

Vi skiller mellom lokale og globale punkter. Et globalt maksimumspunkt er et punkt der funksjonsverdien når sitt absolutte maksimum i hele definisjonsområdet. I eksempel 6 ser vi at C er et slikt punkt. Et lokalt maksimumspunkt er et punkt der funksjonsverdien når sitt maksimum innenfor et intervall. I eksempel 6 ser vi at både A og C er slike punkter.

Et globalt maksimumspunkt er også et lokalt maksimumspunkt, men for enkelhets skyld refererer vi bare til det som et globalt maksimumspunkt.

En funksjon kan godt ha flere globale maksimumspunkter, det vil si at funksjonsverdien når sitt absolutte maksimum for flere x-verdier. $f(x) = \sin x$ er et eksempel på en funksjon med uendelig mange globale maksimumspunkter. Funksjonsverdien når sitt absolutte maksimum på 1 for $x = 90^{\circ}, x = 450^{\circ}, x = 810^{\circ}, \dots$

Med minimumspunkter forholder det seg på nøyaktig samme måte. Et globalt minimumspunkt er et punkt der funksjonsverdien når sitt absolutte minimum i hele definisjonsområdet. I eksempel 3.6 fortsetter grafen mot minus uendelig utenfor bildet, og det finnes derfor ikke noe globalt minimumspunkt. Derimot er B et lokalt minimumspunkt.

Et globalt minimumspunkt er også et lokalt minimumspunkt, men for enkelhets skyld refererer vi bare til det som et globalt minimumspunkt.

En funksjon kan godt ha flere globale minimumspunkter, det vil si at funksjonsverdien når sitt absolutte minimum for flere x-verdier. $f(x) = \sin x$ er et eksempel på en funksjon med uendelig mange globale minimumspunkter. Funksjonsverdien når sitt absolutte minimum på -1 for $x = 270^{\circ}, x = 630^{\circ}, x = 990^{\circ}, \dots$

Formelt kan vi oppsummere dette slik:

  • Hvis det i definisjonsmengden til en funksjon, $D_f$, finnes en verdi, $c$, slik at $f(c)$ er største funksjonsverdi i $D_f$, har vi et globalt maksimumspunkt når $x=c$.
     
  • Hvis det i definisjonsmengden til en funksjon, $D_f$, finnes en verdi, $c$, slik at $f(c)$ er minste funksjonsverdi i $D_f$, har vi et globalt minimumspunkt når $x=c$.
     
  • Hvis det i et intervall $\langle a, b\rangle$ finnes en verdi, $c$, slik at $f(c)$ er største funksjonsverdi i $\langle a, b\rangle$, har vi et lokalt maksimumspunkt når $x=c$.
     
  • Hvis det i et intervall $\langle a, b\rangle$ finnes en verdi, $c$, slik at $f(c)$ er minste funksjonsverdi i $\langle a, b\rangle$, har vi et lokalt minimumspunkt når $x=c$.

Kritiske punkter

Hvis vi avgrenser definisjonsmengden til en funksjon, vil vi også i endepunktene bli ekstremalpunkter. Disse kan være globale eller bare lokale.

Eksempel 7:

Grafen under har 6 ekstremalpunkter.

Ekstremalpunkter i graf med endepunkter

Globalt maksimumspunkt: C. Lokale maksimumspunkter: A og F.

Globalt minimumspunkt: E. Lokale minimumspunkter: B og D.

Punktene der en funksjon kan ha ekstremalpunkter, kalles kritiske punkter. Dersom en funksjon er definert på et intervall $[a, b]$, vil kritiske punkter være:

  • $x = a$ og $x = b$
     
  • Punkter der den deriverte er 0
     
  • Punkter der den deriverte ikke er definert.

For å finne en funksjons ekstremalpunkter, går vi fram på følgende måte:

  1. Vi finner funksjonens kritiske punkter.
     
  2. Vi bruker fortegnsdiagram til å klassifisere punktene.
     
  3. Vi undersøk funksjonsverdien i de kritiske punktene for å avgjøre hvilke av dem som er globale.

I endepunktene til definisjonsområdet har vi jo ikke noe fortegnsskifte til den deriverte, men siden en positiv derivert betyr at funksjonsverdien stiger og en negativ derivert betyr at funksjonsverdien avtar, er det allikevel lett å klassifisere disse punktene.

Eksempel 8:

Vi skal finne alle ekstremalpunkter til funksjonen $f(x) = {\large \frac{1}{3}}x^3 + x^2 -3x$$D_f = [-6, 2]$.

Vi starter med å derivere funksjonen, og får

$f'(x) = x^2 + 2x – 3$.

Vi løser likningen $f'(x)=x^2 + 2x – 3 = 0$ og får

$x_1 = 1$$x_2 = -3$.

Det vil si at den deriverte kan faktoriseres som $f'(x) = (x-1)(x+3)$. Vi lager fortegnsskjema:

Bruk av fortegnsskjema til å bestemme fortegnet på derivert

Vi ser at $x = -6$ er et minimum fordi den deriverte er positiv ut fra dette punktet, slik at funksjonen stiger. Funksjonsverdien i punktet blir

$f(-6) = {\large \frac{1}{3}}(-6)^3 + (-6)^2 -3(-6) = -18$

Vi ser at $x = -3$ er et maksimum fordi den deriverte skifter fra positiv til negativ i dette punktet. Funksjonsverdien i punktet blir

$f(-3) = {\large \frac{1}{3}}(-3)^3 + (-3)^2 -3(-3) = 9$

Vi ser at $x = 1$ er et minimum fordi den deriverte skifter fra negativ til positiv i dette punktet. Funksjonsverdien i punktet blir

$f(1) = {\large \frac{1}{3}}1^3 + 1^2 -3\cdot 1 = -{\large \frac{5}{3}}$

Vi ser at $x = 2$ er et maksimum fordi den deriverte er positiv inn mot dette punktet, slik at funksjonen stiger. Funksjonsverdien i punktet blir

$f(2) = {\large \frac{1}{3}}2^3 + 2^2 -3\cdot 2 = {\large \frac{2}{3}}$

Vi ser at 9 er høyeste funksjonsverdi og -18 laveste. Vi får derfor at $(-6, -18)$ er globalt minimumspunkt, $(-3, 9)$ er globalt maksimumspunkt, $(1, -{\large \frac{5}{3}})$ er lokalt minimumspunkt, $(2, {\large \frac{2}{3}})$ er lokalt maksimumspunkt.

Grafen til funksjonen med ekstremalpunktene markert er vist under.

Graf som illustrerer resuktatene fra funksjonsdrøfting

Oppgave 3:

Finn og klassifiser alle ekstremalpunktene til $f(x) = {\large \frac{1}{3}}x^3 – {\large \frac{1}{2}}x^2 -6x + 2$$D_f = [-5, 5]$.
Hint: Du klassifiserte de stasjonære punktene til denne funksjonen i oppgave 1. Det kan du bygge videre på.

Se løsningsforslag

En funksjon som er definert på et lukket intervall, $[a, b]$, og er kontinuerlig på intervallet, vil alltid ha minst ett globalt maksimumspunkt og minst ett globalt minimumspunkt. Dette er intuitivt rimelig. På en kontinuerlig graf mellom to punkter må det jo være noe som er øverst og nederst.

For en ikke-kontinuerlig funksjon er vi imidlertid ikke garantert å ha globale ekstremalpunkter, som vist i eksempel 9.

Eksempel 9:

Grafen til $f(x) = {\large \frac{1}{x}}$$D_f = [-5, 5]$ er vist under.

Grafen til 1/x på avgrenset område

Vi ser at funksjonen har et lokalt maksimum i $x = -5$ og et lokalt minimum i $x = 5$, men den har ingen globale ekstremalpunkter. Grafen går mot både pluss og minus uendelig ved $x = 0$.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia
  •