Elementær algebra

Den grenen av matematikken vi først møter gjennom skolen, er aritmetikk. I aritmetikken arbeider vi stort sett med tall, vi lærer for eksempel at $3 + 3 = 6$. I algebra beveger vi oss over på et mer abstrakt plan, og arbeider med symboler. Som symboler bruker vi gjerne bokstaver. Vi kan for eksempel si at $a + a = 2 \cdot a$. Bokstavene henter vi både fra vårt vanlige latinske alfabet og det greske alfabetet.

Hvis vi i aritmetikken sier at $3 + 3 = 2 \cdot 3$, foreller vi at å addere tre og tre er det samme som å multiplisere to og tre. Men hvis vi lar $a$ symboliserer et vilkårlig tall, og sier at $a + a = 2 \cdot a$, sier vi at å addere to like tall er det samme som å multiplisere tallet med to, uansett hvilket tall det er.

Ordet algebra kommer det arabiske ordet al-jabr og betyr sammensetning eller gjenoppretting.

Når vi multipliserer symboler, eller tall og symboler, er det ikke vanlig å skrive multiplikasjonstegn. I stedet settes tall og symboler inntil hverandre. For eksempel skrives $a \cdot b$ som $ab$ og $2 \cdot a$ som $2a$. Mellom tall må vi imidlertid beholde multiplikasjonstegnet, vi kan ikke skrive $2 \cdot 3$ som $23$.

Ofte setter vi symbolene sammen i algebraiske uttrykk. Et eksempel på et algebraisk uttrykk er $3xy – 3x + 2xy + 5x$. Hver gruppe av symboler og tall kalles ledd i uttrykket, i dette eksempelet er leddene $3xy$, $-3x$, $2xy$ og $5x$. Tallene i hvert ledd kalles koeffisienter. I vårt eksempel er koeffisientene $3, -3, 2$ og $5$. Ledd der bare koeffisientene er forskjellige, kalles ledd av samme type. Ledd av samme type kan trekkes sammen ved addisjon og subtraksjon.

Det er vanlig å sortere leddene alfabetisk etter sammentrekningen.

Eksempel 1:

$3xy – 3x + 2xy + 5x$ kan trekkes sammen til $2x + 5xy$.

Koeffisienter som er lik 1 skrives vanligvis ikke. Vi skriver for eksempel bare $x$ i stedet for $1x$.

Oppgave 1:

Trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: $4xy + 8z – 3xy + 5x – 3z$.

ScreencastSe film der utregningen vises
 

At et symbol multipliseres med seg selv, uttrykker vi gjerne som en potens på formen $a^n$, der $a$ kalles grunntallet og $n$ eksponenten. $a^n$ betyr at $a$ skal multipliseres med seg selv $n$ ganger. $x^3$ betyr for eksempel $x \cdot x \cdot x$.

For potenser gjelder følgende regneregler, gyldige for alle $a, b > 0$:

${(a^{\large x})}^{\large y} = a^{\large x \, \cdot \, y}$. Å opphøye en potens i en potens er det samme som å opphøye i produktet av eksponentene.
 
$a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$. Å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som opphøye grunntallet i summen av eksponentene.
 
$\frac{\displaystyle a^{\large x}}{\displaystyle a^{\large y}} = a^{\large x – y}$. Å dividere to potenser med samme grunntall er det samme som opphøye grunntallet i differansen av eksponentene.
 
$a^{\large x} \cdot b^{\large x} = (a \cdot b)^{\large x}$. Å multiplisere to potenser med samme eksponent er det samme som å multiplisere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.
 
$\frac{\displaystyle a^{\large x}}{ \displaystyle b^{\large x}} = (\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b})^{\large x}$. Å dividere to potenser med samme eksponent er det samme som å dividere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.
 
$a^{\large x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^{\large -x}}$. Vi kan sette en potens under en brøkstrek hvis vi endrer fortegn på eksponenten.

Oppgave 2:

Bruk potensreglene og forenkle så langt det er mulig:$\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

Et spesialtilfelle har vi når eksponenten er 0. Da har vi for alle $a \ne 0$ at $a^0 = 1$.

Et algebraisk uttrykk kan inneholde potenser. Vi må da være oppmerksomme på at ledd ikke er av samme type hvis potensene er forskjellige. For eksempel er $x^{\large 4}y$ og $x^{\large 2}y$ ikke av samme type, og kan ikke trekkes sammen. Men $x^{\large 4}y$ og ${(x^{\large 2})}^{\large 2}y$ er av samme type fordi ${(x^{\large 2})}^{\large 2} = x^{\large 4}$

Etter at leddene er sortert alfabetisk, er det vanlig å sortere etter synkende potenser.

Eksempel 2:

$4xy^2 + 8z – 3xy – 3z$ kan trekkes sammen til $4xy^2 – 3xy + 5z$.

Vi kan fritt bytte om på faktorene i et ledd, $ab = ba$, for eksempel er $y^2x^3 = x^3y^2$.

Eksempel 3:

$xyx^2y + 3y^2x^3 = x^3y^2 + 3x^3y^2 = 4x^3y^2$

Oppgave 3:

Forenkle potensene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig:$x^2y^2x + x^3y^3x^{-1} – x^3y^2 + x \, y \, y \, y \, y \, y^{-1}x$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

At vi kan bytte om på faktorene i et ledd slik at $ab = ba$, kalles den kommutative lov, og gjelder også for addisjon: $a + b = b + a$. Her er en liste med viktige regneregler:

Kommutative lov: $\; a + b = b + a \;$ og $\; ab = ba$

Assosiative lov: $\; (a + b) + c = a + (b + c) \;$ og $\; (ab)c = a(bc) $

Distributive lov: $\; a(b + c) = ab + ac$

Additiv invers$\; a + (-a) = 0$

Multiplikativ invers: $\; aa^{-1} = 1, \, a \ne  0$

Additivt identitetselement$\; a + 0 = a$

Multiplikativt identitetselement: $\; a \cdot 1 = a$

Negativ faktor: $\; (-a)b = a(-b) = -(ab) = -ab$

To negative faktorer: $\; (-a)(-b) = ab$

Eksempel 4:

Den distributive lov sier at vi multipliserer en faktor med en et uttrykk i parentes ved å multiplisere faktoren med hvert ledd inni parentesen:

$-2(6x^2 – 2x + 4)= -12x^2 + 4x – 8$

Oppgave 4:

Multipliser ut parentesene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig:$5m^2 – 3n – 3(m^2 + n) – (-m^2 – n)$

ScreencastSe film der utregningen vises
 

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Selvik, B.K., Rinvold R. & Høines, M.J. (2007). Algebra og funksjonslære. Casper forlag
  • Wikipedia