Faktorisere polynomer

Med polynomfaktorisering mener vi å dele et polynom opp i faktorer av enklere polynomer.

Faktorisering ved hjelp av kvadratsetningene

Dersom vi har et polynom på formen $a^2 + 2ab + b^2$, kan vi faktorisere det ved å bruke 1. kvadratsetning baklengs:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$.

Eksempel 1:

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)$.

Dersom vi har et polynom på formen $a^2 – 2ab + b^2$, kan vi faktorisere det ved å bruke 2. kvadratsetning baklengs:

$a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)(a – b)$.

Eksempel 2:

$x^2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3)$.

Dersom vi har et polynom på formen $a^2 – b^2$, kan vi faktorisere det ved å bruke 3. kvadratsetning baklengs:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$.

Eksempel 3:

$x^2 – 9 = (x + 3)(x – 3)$.

Oppgave 1:

Faktoriser polynomet $(4x^2 – 8x + 4)(x^2 – 4)$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Faktorisering av polynomer ved hjelp av nullpunkter

Dersom $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene i polynomet $ax^2 +  bx + c$, kan polynomet faktoriseres som $a(x – x_1)(x – x_2)$. At $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene i polynomet betyr at $x_1$ og $x_2$ er løsningene til likningen $ax^2 +  bx + c = 0$.

Eksempel 4:

I artikkelen om andregradslikninger finner vi at løsningene til likningen $3x^2 + 6x – 9 = 0$ er $x_1 = 1$ og $x_2 = -3$. Og det er jo nettopp disse verdiene som gjør at polynomet på venstre side av likhetstegnet blir $0$, de er polynomets nullpunkter.

Så  $3x^2 + 6x – 9= 3(x – 1)(x + 3)$.

Oppgave 2:

Faktoriser polynomet $2x^2 + 12x + 10$ når du vet at $x_1 = -1$ og $x_2 = -5$ er polynomets nullpunkter. 

ScreencastSe film der løsningen vises
 

For polynomer av en hvilken som helst grad vil det være slik at hvis $x_n$ er et nullpunkt, vil $(x – x_n)$ være en faktor i polynomet.

Eksempel 5:

Vi skal faktorisere polynomet $-x^3 + 4x^2 – x – 6$, og vet at $x_n = 2$ er et av polynomets nullpunkter. Da vet vi at $-x^3 + 4x^2 – x – 6$ kan skrives som $(?)(x – 2)$, der $?$ er et eller annet polynom av 2. grad. Dette ukjente polynomet kan vi finne ved polynomdivisjon. I artikkelen om polynomdivisjon, eksempel 1, har vi gjort denne utregningen og funnet ut at

$(-x^3 + 4x^2 – x – 6) : (x – 2) = -x^2 + 2x + 3$.

$-x^3 + 4x^2 – x – 6 = (-x^2 + 2x + 3)(x – 2)$.

Så gjenstår det å faktorisere andregradspolynomet $-x^2 + 2x + 3$. Dette polynomets nullpunkter finner vi ved å løse likningen $-x^2 + 2x + 3 = 0$.
Vi tar ikke med utregningene her, men svaret er $x_1 = -1, \, x_2 = 3$. Det betyr at $-x^2 + 2x + 3 = -(x + 1)(x – 3)$. Legg merke til minus-tegnet foran parentesene, det kommer av at $a$ i andregradspolynomet er $-1$.

Nå har vi altså kommet fram til at $-x^3 + 4x^2 – x – 6 = -(x + 1)(x – 3)(x – 2)$, og polynomet er faktorisert så langt det går.

I eksempel 5 ser vi at vi kan løse en tredjegradslikning hvis vi kjenner én av løsningene, ved å utføre polynomdivisjon og så løse andregradslikningen vi står igjen med. Tilsvarende kan vi løse en fjerdegradslikning når vi kjenner to av løsningene, og så videre.

Et spesielt enkelt tilfelle er tredjegradslikninger på formen $ax^3 +  bx^2 +  cx = 0$. Her mangler konstantleddet, og vi kan faktorisere direkte ved å sette $x$ utenfor parentes: $x(ax^2 +  bx + c ) = 0$. Sagt med andre ord vet vi at $x = 0$ er et nullpunkt og at $(x – 0)$ derfor må være en faktor.

Oppgave 3:

Faktoriser polynomet $-x^4 +  x^3 +  11x^2 – 9x – 18$ når du vet at $x_1 = -3$ og $x_2 = 2$ er nullpunkter i polynomet.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Oppgave 4:

Faktoriser polynomet $-x^5 + 6x^4 -9x^3 -4x^2 + 12x$ når du vet at $x = 2$ er to nullpunkter i polynomet.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Kilder:

  • Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia