Følger

En følge er en mengde objekter som er ordnet, det vil si at de har en bestemt rekkefølge. I eksemplene i denne artikkelen er disse objektene tall, men en følge kan også bestå av andre objekter, for eksempel algebraiske symboler.

Eksempel 1:

En tallfølge: $1, 2, 3, \dots$

Eksempel 2:

En tallfølge: ${\large \frac{1}{2}}, {\large\frac{1}{4}}, {\large\frac{1}{8}}, \dots$

En følge kan inneholde et endelig eller uendelig antall ledd. Det er vanlig å bruke bokstaven $a$ om et ledd i en følge, sammen med et suffiks som forteller hvilket nummer i følgen leddet er.

I eksempel 1 har vi at $a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3$, og så videre.

I eksempel 2 har vi at $a_1 = {\large \frac{1}{2}}, a_2 = {\large \frac{1}{4}}, a_3 = {\large \frac{1}{8}}$, og så videre.

Å angi verdien til et ledd i en følge uten å ramse dem opp, kan gjøres ved å angi en formel for det generelle elementet $a_n$. Det kan gjøres på to måter, eksplisitt og rekursivt. Eksplisitt forteller vi direkte hvilken verdi et ledd har.

Følgen i eksempel 1 kan vi definere eksplisitt med formelen $a_n = n$.

Følgen i eksempel 2 kan vi definere eksplisitt med formelen $a_n = {\large \frac{1}{2^{\Large n}}}$.

Rekursivt forteller vi hvilken verdi et ledd har ved å henvise til ett eller flere av de foregående leddene. Vi må da også angi én eller flere startverdier.

Følgen i eksempel 1 kan vi definere rekursivt ved å si at $a_1 = 1$ og $a_{n+1} = a_n + 1$, fordi første ledd er $1$, og de etterfølgende leddene er lik forrige ledd pluss $1$.

Følgen i eksempel 2 kan vi definere rekursivt ved å si at $a_1 = \large \frac{1}{2}$ og $a_{n+1} = \large \frac{a_n}{2}$, fordi første ledd er $\large \frac{1}{2}$, og de etterfølgende leddene er lik forrige ledd dividert med $2$.

Oppgave 1:

Skriv de fem første leddene i følgene gitt ved

  1. $a_n = (-1)^n \cdot 2^n$
     
  2. $a_1 = -2$ og $a_{n+1} = -2a_n$

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

To spesielle former for følger er aritmetiske følger og geometriske følger. I en aritmetisk følge er hvert ledd lik det forrige pluss en konstant, i en geometrisk følge er hvert ledd lik det forrige multiplisert med en konstant. Eksempel 1 er en aritmetisk følge fordi hvert ledd er lik det forrige pluss konstanten $1$, og eksempel 2 er en geometrisk følge fordi hvert ledd er lik det forrige multiplisert med konstanten ${\large \frac{1}{2}}$.

Oppgave 2:

Avgjør om følgene under er aritmetiske eller geometriske, og angi i så fall en rekursiv formel for dem.

  1. $0, -2, -4, -6, -8, \dots$
     
  2. $1, -2, 4, -8, 16, \dots$
     
  3. $2, 3, 5, 7, 11, \dots$

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

Å finne en eksplisitt formel for en aritmetisk eller geometrisk følge er ikke vanskelig. I en aritmetisk følge har vi at hvert ledd er lik det forrige pluss en konstant $k$. Vi har at

$a_2 = a_1 + k$

$a_3 = a_2 + k = (a_1 + k) + k = a_1 + 2k$

$a_4 = a_3 + k = (a_1 + 2k) + k = a_1 + 3k$

Slik kan vi holde på opp til element nummer $n$, og vi får at

$\fbox{Aritmetisk følge: $a_n = a_1 + (n – 1)k$}$

Tilsvarende får vi for en geometrisk følge at

$\fbox{Geometrisk følge: $a_n = a_1 \cdot k^{n – 1}$}$

Oppgave 3:

Finn en eksplisitt formel for følgene

  1. $4, 1, -2, -5, -8, \dots$
     
  2. $3, -6, 12, -24, 48, \dots$

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

En følge kan ha et begrenset antall ledd, eller den kan ha uendelig mange ledd. 

​Dersom verdiene i en uendelig lang følge kommer nærmere en bestemt verdi jo lenger ut vi går, er følgen konvergent. I motsatt fall er den divergent.

Eksempel 3:

Følgen $1, 2, 3, \dots$ er divergent fordi leddene ikke nærmer seg noen bestemt verdi jo lenger ut vi går.

Eksempel 4:

Følgen $1, {\large \frac{1}{2}}, {\large \frac{1}{3}}, {\large \frac{1}{4}}, \dots$ er konvergent fordi leddene stadig kommer nærmere en bestemt verdi jo lenger ut vi går, i dette tilfellet $0$.

​Her er en nettside der du kan leke litt med følger.

Fibonaccis følge

Følgen $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ kalles Fibonaccis følge. Tallene i følgen kalles gjerne fibonaccitall. Fibonaccis følge angis lettest med en rekursiv formel:

$\fbox{Fibonaccis følge: $a_1 = 1,  \; a_2 = 1, \; a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$}$

De to første leddene er altså lik $1$, deretter er hvert ledd lik summen av de to foregående.

Oppgave 4:

Bruk regneark til å

  1. finne de 30 første tallene i Fibonaccis følge.
     
  2. Finne kvotienten mellom etterfølgende tall i følgen, altså $\frac{\displaystyle a_{n + 1}}{\displaystyle a_n}$ for $n = 1 \dots 29$.

ScreencastSe film der løsningsforslaget vises
 

Gylne snitt

Jo lenger ut i Fibonaccis følge vi går, jo mer nærmer kvotienten $\frac{\displaystyle a_{n + 1}}{\displaystyle a_n}$ seg en verdi som kalles det gylne snitt:

$\fbox{Det gylne snitt: $\frac{\displaystyle 1 + \sqrt 5}{\displaystyle 2}$}$

Det gylne snitt er et mål for hvordan vi deler et linjestykke med lengde $a + b$ slik at ${\large \frac{a + b}{a}} = {\large \frac{a}{b}}$. Dette er illustrert i bildet under, der et linjestykke er delt i det gylne snitt. Hele linjestykket forholder seg til den blå delen slik den blå delen forholder seg til den røde delen.

Linjestykke som illustrerer det gylne snitt.

Fibonacci kom fram til følgen som et uttrykk for hvordan et kaninpar formerer seg. Både fibonaccitall og det gylne snitt opptrer i en mengde forskjellige sammenhenger i naturen. En fordypning finner du på denne nettsiden om fibonaccitall og naturen

I begynnelsen av avsnittet anga vi en rekursiv formel for Fibonaccis følge. Det er ikke lett å finne en eksplisitt formel, men ved hjelp av lineær algebra har en funnet fram til følgende:

$\fbox{Fibonaccis følge: $a_n = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt 5}\Big[{\Big(\frac{\displaystyle 1 + \sqrt 5}{\displaystyle 2}\Big)}^n – {\Big(\frac{\displaystyle 1 – \sqrt 5}{\displaystyle 2}\Big)}^n \Big]$}$

Det virker kanskje underlig at denne formelen med tre forekomster av det irrasjonale tallet $\sqrt 5$ resulterer i fibonaccitall, som alle er naturlige, men den gjør det. Bare prøv i et regneark. Vi legger også merke til at det gylne snitt inngår som en del av formelen.

Andre interessante egenskaper ved Fibonaccis følge er

  • To fibonaccitall som følger etter hverandre er innbyrdes primiske.
     
  • Største felles faktor for to fibonaccitall er igjen et fibonaccitall.
     
  • Alle naturlige tall kan skrives som en sum av forskjellige fibonaccitall.

Kilder

  • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
  • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.
  • Brodahl, C. Interaktive animasjoner.
  • Wikipedia