Forskjellige typer tall


Naturlige tall

De første tallene vi blir kjent med er vanligvis de positive heltallene, altså $1, 2, 3$ og så videre. Disse tallene er lette å representere i form av konkreter, altså virkelige gjenstander. Vi kan for eksempel ha 1 eple, 2 epler, 3 epler og så videre.

Epler som representerer naturlige tall

Disse tallene heter også naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall angis med symbolet $\mathbb N$.

Tar vi også med tallet $0$ i mengden, kan vi presisere det ved å bruke symbolet $\mathbb N_0$. Tallet $0$ kan konkretiseres ved å tenke på det som "ingen ting", for eksempel "ingen epler".

$\mathbb N$ og $\mathbb N_0$ inneholder uendelig mange tall, men sies allikevel å være tellbare.

Hele tall

Adderer vi to naturlige tall, får vi et nytt naturlig tall. For eksempel er $3 + 2 = 5$ og $6 + 8 = 14$. Men når vi subtraherer to naturlige tall, kan vi risikere å ende opp med noe som ikke er et naturlig tall. For eksempel gir $4 – 7$ tallet $-3$, som ikke er naturlig. For å håndtere dette supplerer vi de naturlige tallene med negative heltall, altså $-1, -2, -3$ og så videre. Et negativt heltall er altså et naturlig tall med et minustegn foran. Subtraherer vi to naturlige tall, får vi enten et nytt naturlig tall, tallet $0$, eller et negativt tall. For eksempel er $6 – 4 = 2$, $3 – 3 = 0$ og $4 – 7 = -3$.

Negative tall er ikke så lette å konkretisere som naturlige tall, vi kan jo ikke ha -3 epler for eksempel. Men et hjelpemiddel kan være et termometer, der vi representerer varmegrader med positive tall og kuldegrader med negative tall.

Termometer som represnterer positive og negative tall

Mengden av naturlige tall, naturlige tall med minus foran og $0$, kalles hele tall og angis med symbolet $\mathbb Z$. $\mathbb Z$ inneholder uendelig mange tall, og er tellbar. Underlig nok er det like mange tall i $\mathbb Z$ som i $\mathbb N$. Dette forklarer vi med at hvert element i $\mathbb Z$ kan pares med et element i $\mathbb N$.

Rasjonale tall

Adderer eller subtraherer vi hele tall, får vi alltid et nytt helt tall. Det samme gjelder hvis vi multipliserer to hele tall. Men dividerer vi to hele tall, risikerer vi å få noe som ikke er et helt tall, for eksempel gir $9:5$ tallet $1{,}8$, som er et desimaltall. I stedet for å angi tallet som desimaltall, kan vi velge å angi det som en brøk, altså dividend og divisor over hverandre med en vannrett strek mellom, for eksempel ${\large \frac{9}{5}}$.

En brøk kan representere et negativt tall, for eksempel $-{\large \frac{1}{2}} = -0,5$ eller $-{\large \frac{4}{2}} = -2$, og en brøk kan representere et positivt tall, for eksempel ${\large \frac{1}{2}} = 0,5$ eller ${\large \frac{4}{2}} = 2$.

Brøker kan konkretiseres som deler av et hele, for eksempel ${\large \frac{3}{5}}$.

Sirkel med 3 av 5 fargelagte felt som representerer brøken 3/5

Når vi skriver en brøk som desimaltall, kan tallet få et endelig antall sifre, for eksempel ${\large \frac{1}{4}} = 0,25$, eller et uendelig antall sifre, for eksempel ${\large \frac{1}{3}} = 0,33333\dots\;$. Men hvis brøken gir et uendelig antall sifre, vil sifrene alltid inneholde et mønster som gjentar seg. I ${\large \frac{1}{3}} = 0{,}33333\dots$ repeteres sifferet $3$ i det uendelige, i ${\large \frac{1}{7}} = 0{,}14285714285714 \dots$ repeteres siffersekvensen $142857$ i det uendelige. For å angi at sifre gjentar seg, setter vi en strek over dem, for eksempel $0{,}\overline 3$ og $0{,}\overline{142857}$.

Mengden av brøker med hele tall i teller og nevner kalles rasjonale tall, og symboliseres med $\mathbb Q$. $\mathbb Q$ Inneholder uendelig mange tall og er tellbar. Det er like mange tall i $\mathbb Q$ som i $\mathbb N$, fordi hvert element i $\mathbb Q$ kan pares med et element i $\mathbb N$.

Irrasjonale tall

Tenker vi oss tallene på ei tallinje, kan vi pakke så tett vi bare vil med heltallsbrøker.

Tallinje med brøker som ligger tett

For et hvilket som helst punkt kan vi finne en heltallsbrøk som er så nærme vi bare vil. Men det betyr ikke at vi alltid kan nå helt fram til selve punktet. Dette gjelder for eksempel tallet $\pi \approx 3,14159265$. Vi kan komme så nærme vi bare vil, ${\large \frac{31}{10}}$ er nærmere enn $3$${\large \frac{314}{100}}$ enda litt nærmere, ${\large \frac{3141}{1000}}$ enda litt nærmere igjen, og så videre. Men nøyaktig $\pi$ får vi aldri. Det samme gjelder uendelig mange andre tall, for eksempel $\sqrt 2$. Tall som ikke kan skrives som en heltallsbrøk kalles irrasjonale tall. Sifrene i et et irrasjonalt tall vil ikke ha noe mønster som gjentar seg.

Reelle tall

De rasjonale og irrasjonale tallene danner til sammen reelle tall. Mengden av reelle tall symboliseres med $\mathbb R$.

Vi kan altså pakke tallinja uendelig tett med rasjonale tall, men allikevel smette uendelig mange irrasjonale tall inn mellom dem. Det betyr at vi ikke kan pare elementene i $\mathbb R$ med elementene i $\mathbb N$, slik vi kan med $\mathbb Z$ og $\mathbb Q$. $\mathbb R$ er en mengde som ikke er tellbar.

Komplekse tall

Når tallinja er full, skulle vi tro at det ikke var bruk for flere tall. Men la oss si at vi ønsker at andregradslikningen $x^2 = a$ skal ha en løsning for alle $a$. Når $a$ er et positivt tall går det greit, for eksempel gir $x^2 = 4$ løsningene $x = 2$ og $x = -2$, fordi $2 \cdot 2 = 4$ og $(-2) \cdot (-2) = 4$. Men hvis $a$ er et negativt tall, finnes det ingen reelle tall som passer i likningen. Det finnes verken positive eller negative tall vi kan multiplisere med seg selv og få et negativt resultat. Vi introduserer derfor enda en type tall som vi kaller komplekse tall. Mengden av komplekse tall symboliseres med $\mathbb C$, og er ikke tellbar.

For å danne komplekse tall introduserer vi den imaginære enheten $i$, slik at $i^2 = -1$. Da vil likningen $x^2 = a$ ha en løsning også når $a$ er et negativt tall. For eksempel vil $x^2 = -4$ ha løsningene $x = 2i$ og $x = -2i$, fordi $2i \cdot 2i = 4i^2= 4 \cdot (-1) = -4$ og $(-2i) \cdot (-2i) = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$.

Komplekse tall består gjerne av både en reell og en imaginær del, og kan skrives på formen $a + bi$, der $a$ og $b$ er reelle tall. For eksempel $2 + 3i$ og $7 – 8i$.

Til et komplekst tall hører en konjugert. Den konjugerte har samme reelle del, den imaginære delen har samme tallverdi, men omvendt fortegn. For eksempel er den konjugerte til $3 + 5i$ lik $3 – 5i$, den konjugerte til $2 – 4i$ lik $2 + 4i$ og den konjugerte til $-2 + i$ lik $-2 – i$. Den konjugerte til et vilkårlig komplekst tall, $z$, skrives som $\overline z$.

For å kunne tegne de komplekse tallene inn på tallinja, bygger vi på med en horisontal akse som representerer tallets imaginære del. Dette kalles også gjerne det komplekse planet.

Komplekse tall vist i et kartesisk koordinatsystem

Komplekse tall har ingen orden, slik reelle tall har. Det gir altså ikke mening å si at ett komplekst tall er større enn et annet.

Et naturlig tall er et spesialtilfelle av hele tall. (Positivt fortegn). Et helt tall er et spesialtilfelle av rasjonale tall. ($1$ i nevneren). Et rasjonalt tall er et spesialtilfelle av reelle tall. (Brøk av heltall). Et reelt tall er et spesialtilfelle av komplekse tall. (Imaginær del lik $0$). I mengdenotasjon skrives dette slik:

$\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C$.

Sammenhengen kan også illustreres med et Venn-diagram:

Sammenhengen mellom forskjellige typer tall vist i Venn-diagram

 

Oppgave 1:

Avgjør om følgende tall er naturlige tall, hele tall, rasjonale tall, reelle tall eller komplekse tall:

$-3$,     ${\large \frac{2}{5}}$,     $8$,     $3$,     ​$i$,     ​$1{,}412$,     ​$-{\large \frac{2}{5}}$,     ​$2 + 4i$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Oppgave 2:

Lag en skisse der du plasserer følgende tall i det komplekse planet:

$1$,      $i$,      $-2$,      $1 + 3i$,      $2 – i$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Kilder

  • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget
  • Selvik B. K. & Tveite K. (2000) Tallære. Caspar forlag
  • Wikipedia