Fraktaler

Geometriske objekter kan ha forskjellige dimensjoner. Et punkt har dimensjon 0, ei linje dimensjon 1, et polygon dimensjon 2 og et polyeder dimensjon 3. Imidlertid finnes det objekter som har dimensjoner som ikke er hele tall. De kalles fraktaler, avledet av det latinske ordet fractus, som betyr brutt.

Et fraktal er en figur som inneholder kopier av seg selv. Det betyr at kopiene inneholder kopier av kopiene, kopiene av kopiene inneholder kopier av kopiene av kopiene, og slik fortsetter det i all evighet, omtrent som et bilde som reflekteres fram og tilbake mellom to speil.

Et eksempel er Sierpinskis trekant, der en stor trekant er delt opp i tre mindre trekanter, som igjen er delt opp i tre mindre trekanter, og så videre, slik som vist under. I praksis er det jo begrenset hvor små trekanter vi kan tegne, men teoretisk fortsetter denne oppdelingen i det uendelige. Sierpinskis trekant har en dimensjon på omlag 1,585.

Et annet eksempel er Kochs snøflak, som baserer seg på en likesidet trekant der den midterste tredjedelen av hver side blir erstattet med to linjer som hver har samme lengde som linjen som er tatt bort. Den midterste tredjedelen av sidene i den nye figuren blir så erstattet på samme måte, og prosessen gjentar seg i all evighet. Kochs snøflak har en dimensjon på omlag 1,262. Arealet inni snøflaket er 8/5 av arealet til den opprinnelige trekanten, men omkretsen er uendelig lang. Vi kan altså lett fargelegge snøflaket inni, men aldri tegne en linje rundt det.

De fire første trinnene i genereringen av Kochs snøflak er vist under.

Fraktaler finnes også i naturen, et tydelig eksempel er grønnsaken romanesco:

Fraktaler i grønnsaken romanesco