Funksjoner formelt

Vi har i flere artikler arbeidet med funksjoner. Men vi har enda ikke definert nøyaktig hva en funksjon er. Spør vi studenter hva en funksjon er, svarer mange noe litt upresist om formler, grafer og koordinatsystemer. Men en funksjon kan godt eksistere uten en formel, det passer ikke alltid å tegne en graf, og ikke alt er naturlig å framstille i et koordinatsystem.

En presis definisjon av en funksjon er: "En kopling av hvert element i en mengde til nøyaktig ett element i en annen."

Eksempel 1:

Bildet under viser hvordan funksjonen Adresse kopler tre personer til stedet de bor.

Funksjon som kopler navn til adresser

Mengden vi henter elementene fra er definisjonsmengden, mengden elementene koples til er verdimengden, slik vi lærte i artikkelen om funksjonsbegrepet. Definisjonsmengden består altså av Ola, Kari og Svein, mens verdimengden består av Buveien 1, Marka 43 og Jordet 21.

Oppgave 1:

I tabellen under vises fire eksempler på koplinger mellom to mengder. Avgjør hvilke av disse som er funksjoner.

Koplinger mellom mengder som kanskje er funksjoner

Se løsningsforslag

En funksjon som bare kopler ett element i definisjonsmengden til hvert element i verdimengden kalles injektiv.

En funksjon der samtlige elementer i verdimengden er koplet til definisjonsmengden kalles surjektiv.

En funksjon som er både injektiv og surjektiv kalles bijektiv.

Funksjonen i eksempel 1 er bijektiv.

Funksjon B i oppgave 1 er injektiv, men ikke surjektiv.

Funksjon C i oppgave 1 er surjektiv, men ikke injektiv.

Oppgave 2:

Hvilke av følgende utsagn definerer $y$ som en funksjon av $x$?

  1. $3x – 2y = 5$.
     
  2. $x^2 + y^2 = 1$.
     
  3. $y$ er overflaten til ei kule med radius $x$.
     
  4. $y$ er omkretsen av et rektangel med areal $x$.

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia