Funksjonsbegrepet

Eksempel 1:

Dersom en bil kjører i 50 km/t, vil den etter $x$ timer ha kjørt $50 \cdot x$ kilometer. For eksempel har den etter $x = 2$ timer kjørt $50 \cdot 2 = 100$, altså 100 kilometer, og etter $x = 3{,}5$ timer $50 \cdot 3{,}5 = 175$, altså 175 kilometer. Uttrykket $50 \cdot x$ er en formel som for alle mulige verdier av antall timer, $x$, gir oss svar på hvor langt bilen har kjørt. Det er for øvrig vanlig å sløyfe multiplikasjonstegnet, så vi skriver bare $50x$.

En slik formel kalles gjerne en funksjon, og skrives $f(x)$. I eksempel 1 har vi at $f(x) = 50x$. Uttrykket som beskriver hva funksjonen gjør, altså $50x$, kalles gjerne funksjonsforskriften.

Eksempel 2:

Dersom en ball slippes fra et fly, vil den etter $x$ sekunder ha falt omlag $5x^2$ meter, hvis vi ikke tar hensyn til luftmotstand. Funksjonen som beskriver hvor langt den har falt etter $x$ sekunder er altså $f(x) = 5x^2$.

Vi kan se for oss en funksjon, $f$, som en boks der vi putter inn en verdi, $x$, og får ut en ny verdi, $f(x)$, slik som illustrert under

Illustrasjon av funksjon som boks med data inn og ut

I stedet for $f(x)$ skriver vi av og til $y$, for eksempel $y = 5x^2$.

$x$ og $y$ kalles variable. $x$ heter uavhengig variabel fordi den kan varieres fritt. $y$ heter avhengig variabel fordi verdien avhenger av verdien til $x$.

Dersom vi velger et tall, $x = a$, og putter det inn i funksjonen, skriver vi $f(a)$. Dersom vi for eksempel putter $x = 3$ inn i funksjonen i eksempel 1, får vi $f(3) = 50 \cdot 3 = 150$.

Selv om $x$ er uavhengig, kan det finnes begrensninger på hvilke verdier som er tillatt. I eksempel 1 må vi for eksempel ha at $x \ge 0$ fordi bilen ikke kan ha kjørt i mindre enn $0$ timer. Hvis bilen stopper etter $5$ timer, betyr det videre at $x \le 5$.  I eksempel 2 må vi av samme grunn ha $x \ge 0$, og det vil finnes en øvre grense for $x$ bestemt av når ballen treffer bakken.

Mengden av tillatte verdier for $x$ kalles funksjonens definisjonsmengde, $D_f$. Hvis bilen i eksempel 1 stopper etter $5$ timer, har vi at $D_f = [0, 5]$, altså mengden av alle reelle tall fra og med $0$ til og med $5$.

Mengden av tall funksjonen kan gi ut kalles funksjonens verdimengde, $V_f$. Hvis bilen i eksempel 1 stopper etter $5$ timer, har vi at $V_f = [0, 250]$, fordi når $x$ (antall timer) varierer mellom $0$ og $5$, varierer $f(x)$ (antall kilometer) mellom $0$ og $250$.

Oppgave 1:

Sidene i en rektangulær innhegning er henholdsvis $x$ og $5 – x$, slik som vist under:
Illustrasjon av innhegning

  1. Finn funksjonen, $f(x)$, som beskriver hvordan arealet i innhegningen varierer med $x$.
     
  2. Hva er funksjonens definisjonsmengde?

Se løsningsforslag

Vi spurte ikke etter verdimengden i oppgave 1, den er ikke så lett å finne i dette tilfellet. I eksempel 1 fant vi grensene til verdimengden ved å sette grensene til definisjonsmengden inn i funksjonen, $f(0) = 0$ og $f(5) = 250$. Tilsvarende metode vil vi også kunne bruke på eksempel 2. Men i oppgave 1 får vi den laveste verdien ved begge grensene, $f(0) = 0$ og $f(5) = 0$. Den øvre verdien vil vi få for en $x$ som ligger et sted mellom $0$ og $5$. På grunn av symmetrien skjønner vi kanskje at vi får størst areal når $x$ ligger midt mellom $0$ og $5$, $f(2{,}5) = 6{,}25$. Verdiområdet er $V_f = [0, 6{,}25]$.

Grafer

For å illustrere hvordan $f(x)$ varierer med $x$, er det vanlig å tegne en graf. Vi lager et koordinatsystem ved å la en vertikal tallinje stå vinkelrett på en horisontal tallinje, og plotter $x$ horisontalt og $f(x)$ vertikalt. Det finnes en mengde dataprogrammer til å tegne grafer. Ett av dem er GeoGebra som det finnes en serie artikler om på dette nettstedet. Avanserte kalkulatorer kan også tegne grafer.

Grafene til eksempel 1, eksempel 2 og oppgave 1 er vist under. Legg merke til at vi bare tegner graf for verdier av $x$ som er innenfor definisjonsområdet.

Grafen til f(x) = 50x

Grafen til f(x) = 5x^2

Grafen til f(x) = -5x^2 + 5x

Navnsetting og konvensjoner

Fram til nå har vi hele tiden kalt den uavhengige variabelen for $x$, og funksjonen for $f$. Det er imidlertid helt i orden å bruke andre navn. I situasjoner der den uavhengige variabelen representerer tid, som i eksempel 1 og 2, er det vanlig å kalle variabelen $t$. I eksempel 1 ville vi for eksempel hatt $f(t) = 50t$. Arbeider vi med flere funksjoner samtidig, bør de ha forskjellig navn, for eksempel $g(x)$, $h(x)$, etc. $g$ og $h$ er valgt fordi de kommer etter $f$ i alfabetet, men vi kan også godt velge navn som indikerer hva funksjonen gjør. $v$ for en funksjon som beregner volum, eller $a$ for en funksjon som beregner areal, slik som i oppgave 1, $a(x) = -x^2 + 5x$.

Vi sa tidligere at vi kan skrive en enkelt bokstav, $y$, i stedet for det mer omstendelige $f(x)$. Hva skal vi så velge – og når? Begge notasjonene har sine fordeler, $f(x)$ indikerer tydelig at det dreier seg om en funksjon. Arbeider vi med flere funksjoner samtidig, kan vi lett skille dem fra hverandre ved å gi dem forskjellige navn, $g(x)$, $h(x)$, etc.

I andre sammenhenger kan denne notasjonen bli litt klumpete. Det er for eksempel enklere å angi et punkt som $(x, y)$ enn $(x, f(x))$. Selv om vi står fritt til å velge navn, er det allikevel konvensjoner vi bør respektere. Har vi for eksempel to variable, $x$ og $y$, er det vanlig at $x$ er den uavhengige og $y$ er den avhengige. Å bytte disse rundt, slik som i $x = f(y)$ vil skape forvirring. Så vi må håndtere at funksjoner og variable kan ha mange forskjellig navn, men samtidig være oppmerksom på at det finnes konvensjoner vi bør følge.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia