Funksjonsanalyse med GeoGebra

I denne artikkelen skal vi se hvordan vi kan bruke GeoGebra til å lage grafer og punkter, finne funksjonsverdier, skjæringspunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptoter, samt lage verditabeller og bruke glidere.

Når vi i denne artikkelen refererer til kommandonavn i GeoGebra, lar vi dem starte med stor bokstav, og setter argumenter mellom klammeparenteser, for eksempel Ekstremalpunkt[f]. Vi kan også godt starte med liten bokstav, og bruke vanlige parenteser, for eksempel ekstremalpunkt(f), GeoGebra skiller ikke på dette. Når vi begynner å skrive, foreslår imidlertid GeoGebra navnet på kommandoen med stor bokstav og klammeparenteser, så vi bruker dette som standard.

Eksempel 1:

Vi skal studere funksjonen $f(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1$. Vi starter med å skrive inn funksjonsforskriften i inntastingsfeltet. Potenser angis med en hatt (^), så det blir
x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1. Grafen kommer opp i grafikkfeltet mens vi skriver, og når vi trykker på linjeskift-tasten, kommer funksjonsforskriften opp i algebrafeltet:

Graf til en fjerdegradsfunksjon i GeoGebra

Det kan være at vi må justere på akseverdiene for å få bildet slik som vist i eksempel 1. For å justere på akseverdiene åpner vi innstillinger-dialogboksen ved å velge "Rediger" – "Egenskaper", klikker på trekantsymbolet, og velger min- og maksverdier for x og y. I bildet over er "x-min = -6", "x-max = 3", "y-min = -8", "y-max = 10". (I stedet for å velge fra hovedmenyen kan vi også få opp innstillinger-dialogboksen ved å høyreklikke i grafikkfeltet eller på funksjonsforskriften i algebrafeltet og velge "Egenskaper").

Punkter

Det finnes flere måter å lage punkter på, beskrevet i brukermanualen. Her skal vi lage punkter ved å skrive inn koordinatene, $(x, y)$, i inntastingsfeltet, for eksempel (2, 3) eller (-2, 1). Punktene dukker opp både i algebrafeltet og i grafikkfeltet, og gis navn fortløpende med store bokstaver, A, B, C, etc. Vi kan også gi punktene egne navn, da skriver vi navnet og et likhetstegn foran koordinatene, for eksempel Origo = (0, 0). Et punktnavn kan altså bestå av flere bokstaver. NB! Første bokstav i navnet må være stor (versal), ellers blir punktet tolket som en vektor.

Funksjonsverdier

Med funksjonsverdien mener vi den verdien en funksjon gir ut når vi putter inn en gitt x-verdi. For å finne en funksjonsverdi, skriver vi funksjonsnavnet med den ønskede x-verdien i parentes i inntastingsfeltet. Har vi lagt inn en funksjon, $f(x)$, finner vi for eksempel verdien til $f$ i $x = 1$ ved å skrive f(1). Funksjonsverdien kommer opp i algebrafeltet, med navnet a. Navnene tildeles fortløpende på samme måte som for punkter, a, b, c, etc., men kan også gis egne navn på samme måte, for eksempel start = f(0). Vi kan fritt bruke både store og små bokstaver.

Basert på x-verdien og den tilhørende funksjonsverdien kan vi lage punkter på grafen til $f(x)$. Har vi for eksempel funnet to funksjonsverdier, $a = f(1)$ og $b = f(-1)$skriver vi (1, a) og (-1, b) i inntastingsfeltet.

Vi kan også lage et punkt på grafen uten å finne funksjonsverdien eksplisitt først. Vil vi for eksempel lage et punkt på grafen der x-verdien er -2, skriver vi (-2, f(-2)).

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å tegne grafen til funksjonen $g(x) = x^3 – 4x + 2$, og plott punktene på grafen som har x-verdi -1 og 1. Kall punktene A og B.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

NB! I den løsningen som vises på filmen heter funksjonen $z(x)$. Nå godtar ikke lenger GeoGebra $z$ som funksjonsnavn, så oppgaven spør derfor etter $g(x)$. Når du ser filmen, må du bare derfor huske å skrive $g$ alle steder filmen sier $z$.

Skjæringspunkter

Med GeoGebra kan vi finne skjæringspunktene mellom to kurver, eller mellom en kurve og aksene. En enkel måte å gjøre det på er å velge "Skjæring mellom to objekt" fra menyen som vist under.

Menyvalg for å finne skjæring mellom to punkter i GeoGebra

Deretter klikker vi på kurvene vi vil finne skjæringspunktene mellom. I stedet for to kurver kan vi også godt velge en kurve og en av aksene. Bildet under viser skjæringspunktene mellom
$f(x) = x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1$ og x-aksen.

Skjæring mellom graf og x-akse i GeoGebra

Disse punktene representerer de fire løsningene til fjerdegradslikningen
$x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1 = 0$.

Ekstremalpunkter, nullpunkter og vendepunkter

Med GeoGebra kan vi finne en funksjons ekstremalpunkter, det vi si maksimums- og minimumspunkter, nullpunkter og vendepunkter.

I det følgende forutsetter vi at funksjonen $f(x)$ er en polynomfunksjon. GeoGebra har mulighet for å finne ekstremalpunkter og nullpunkter til andre funksjonstyper også, men kommandoene krever flere parametere, og vi går ikke inn på det her. Sjekk i brukermanualen. Vendepunkter kan vi bare finne i polynomfunksjoner.

Ekstremalpunktene finner vi ved å skrive Ekstremalpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel Ekstremalpunkt[f].

Nullpunktene finner vi ved å skrive Nullpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel Nullpunkt[f]. Nullpunktene er de samme som vi finner ved å be om skjæringspunktene mellom kurven og x-aksen.

Vendepunktene finner vi ved å skrive Vendepunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel Vendepunkt[f].

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i funksjonen $f(x) = x^3 + 2x^2 – x – 2$.

  1. Bruk GeoGebra til å finne ekstremalpunktene til funksjonen.
     
  2. Bruk GeoGebra til å finne funksjonens vendepunkt.
     
  3. Bruk GeoGebra til å løse likningen $x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0$.

Se løsningsforslag

​Asymptoter

GeoGebra kan finne både horisontale, vertikale og skrå asymptoter. For å finne asymptotene til en funksjon, skriver vi Asymptote i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel Asymptote[f].

Asymptotene presenteres i form av ei liste. Hvis en funksjon ikke har noen asymptoter er lista tom.

Oppgave 3:

Finn eventuelle asymptoter til funksjonene

  1. $f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 3 + 2}{\displaystyle x + 4}$
     
  2. $g(x) = x^2 + 3x – 2$

Se løsningsforslag

Lage verditabell

Ønsker vi å lage mange punkter langs en graf, er det tungvint å skrive inn x-verdiene én og én slik vi gjorde tidligere. Mye mer effektivt er det å bruke regneark-funksjonen til å generere en mengde punkter automatisk. Hvordan dette gjøres, er det lettest å vise ved hjelp av en film.

ScreencastSe film om å lage verditabell
 

Oppgave 4:

Tegn grafen til $f(x) = x^3 – 4x + 2$ og bruk verditabell til å plotte punkter på grafen med x-verdier fra -2 til 2 i sprang på 0,2.

Det er ikke laget eget løsningsforslag til denne oppgaven, men den er nesten helt lik det som vises i filmen om å lage verditabell, så bruk filmen til hjelp.

Bruke glidere

Av og til ønsker vi å se hvordan grafen til en funksjon endrer seg når en konstant endrer seg. For eksempel studere hvordan stigningen til grafen til $f(x) = ax + b$ endrer seg når $a$ endrer seg, og hvordan skjæringspunktet med y-aksen endrer seg når $b$ endrer seg.

Til det kan vi bruke glidere. En glider som heter a er vist under. I GeoGebra kan vi klikke på prikken og dra den mot høyre for å øke verdien til a, og mot venstre for å redusere verdien til a.

Glider i GeoGebra

For å sette inn en glider, velger vi fra menyen som vist under:

Velge glider fra menyen i GeoGebra

Deretter klikker vi på stedet i grafikkfeltet der vi vil ha glideren.
Vi får opp en dialogboks som vist under:

Dialogboks for å angi glider-data

Det viktigste her er å velge riktig navn. GeoGebra foreslår a som navn på første glider, b som navn på andre og så videre. Dette navnet må samsvare med parameteren vi skal undersøke. Dersom vi for eksempel skal undersøke $k$ i funksjonen $f(x) = kx^2$, må glideren hete k.

Når vi har valgt navn, må vi velge intervall, det vil si hvilket tallområde glideren skal dekke. I dialogboksen over er "Min = -5" og "Maks = 5", det betyr at glideren dekker intervallet [-5, 5]. Når den står helt til venstre, har den verdi -5, og når den står helt til høyre har den verdi 5.

Vi kan også velge animasjonstrinn, det vil si hvor mye verdien endrer seg når vi drar i glideren. I dialogboksen over er animasjonstrinnet "0.1", det vil si at hvis glideren står helt til venstre og vi drar den mot høyre, vil verdiene bli -5,0, -4,9, -4,8, …, 5.0.

Oppgave 5:

Bruk glidere i GeoGebra til å studere hvordan forskjellige valg av $n$ påvirker grafen til funksjonen $f(x) = x^n$. La $n$ variere mellom hele tall fra 0 til 10.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filSe den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 6:

I et fysikkforsøk varmer en gruppe elever opp vann til det koker, mens de måler temperaturen hvert minutt. Temperaturen stiger en stund lineært med tida, men stopper på 100 grader.

I perioden mellom 10 og 14 minutter måler de følgende:

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

Legg målingene inn som punkter i GeoGebra og bruk glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon, $f(t)$, som kan brukes som modell for forsøket. La gliderne angi hele tall. (Du skal altså finne forskriften $at + b$ for ei rett linje som går nærmest mulig målepunktene, der $a$ og $b$ er hele tall, og $t$ er tida).

  1. Hvilken funksjonsforskrift fant du?
     
  2. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvilken temperatur vannet hadde da forsøket startet.
     
  3. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvor mye temperaturen stiger per minutt.
     
  4. Kan funksjonsforskriften brukes til å anslå hvilken temperatur vannet vil ha etter 30 minutter?

Se løsningsforslag

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia