Trigonometri med GeoGebra

De trigonometriske funksjonene

GeoGebra har alle de seks trigonometriske funksjonene innebygd:

Sinus: sin

Cosinus: cos

Tangens: tan

Cosekant: csc eller cosec

Sekant: sec

Cotangens: cot

For sinus, cosinus og tangens finnes inverse funksjoner:

Sinus: asin eller arcsin

Cosinus: acos eller arccos

Tangens: tan eller arctan

For å plotte grafen til sinus, for eksempel, skriver vi: sin(x) i inntastingsfeltet.

Grader og radianer

GeoGebra forventer at argumentet til de trigonometriske funksjonene oppgis i radianer. Vi ser for eksempel i bildet under at grafene til sinus og cosinus skjærer x-aksen i multipler av $\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$.

 

Kurvene til sinus og cosinus, skala langs x-aksen i radianer

GeoGebra tilbyr imidlertid en enkel måte å konvertere fra grader til radianer på, vi skriver bare et gradetegn, $^\circ$, bak gradtallet. For eksempel er $sin 90^\circ = 1$. sin(x°) vil tegne grafen til sinus basert på grader. Gradetegnet får vi fram ved å trykke <alt>o, eller velge fra menyen som blir tilgjengelig når vi setter markøren i inntastingsfeltet:

Velge gradetegn fra meny i geogebra.

Vi ser at denne menyen også inneholder en del andre spesialtegn, blant annet $\pi$. $\pi$ kan vi også få fram ved å trykke <alt>p.

For å få $\pi$ eller $\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$ som akseenhet, slik det er vist over, velger vi "Avstand" i Innstillinger-dialogboksen:

Velge pi / 2 som enhet på x-aksen

Illustrere definisjonen av sinus og cosinus

Med GeoGebra kan vi illustrere definisjonen av sinus og cosinus grafisk. Med basis i en enhetssirkel, er sinus og cosinus til en vinkel definert som vist i figuren under:

Definisjon av sinus og cosinus

Eksempel 1:

Vi skal illustrere definisjonen av sinus i GeoGebra:

  1. Zoom og panorer slik at en sirkel med radius $1$ vises godt og tydelig.
     
  2. Lag en enhetssirkel:
    ​Velg "Sirkel definert ved sentrum og radius" fra denne menyen:
    Meny for å sette inn sirkel
    Klikk i origo og oppgi $1$ som radius i dialogboksen som kommer opp.
    GeoGebra tegner enhetssirkelen i grafikkfeltet og oppgir formelen i algebrafeltet under navnet $c: x^2 + y^2 = 1$.
    GeoGebra lager også et punkt, $A$, i origo.
  3. Lag en sirkelbue på enhetssirkelen:
    Velg "Sirkelbue definert ved sentrum, radius og punkt" fra denne menyen:
    Illustrasjon av menypunkt
    Klikk i origo, deretter i punktet $(1, 0)$, deretter et stykke opp på sirkelen, for eksempel tilsvarende $C$ i figuren over.
    GeoGebra lager et punkt, $B$, i $(1, 0)$ og $C$ der vi klikket på sirkelen. Punktet $C$ kan skyves rundt på sirkelen. Punktene vises i grafikkfeltet og koordinatene kommer opp i algebrafeltet. I algebrafeltet kommer også lengden av sirkelbuen $BC$ opp under navnet $d$.

  4. Lag et linjestykke mellom $A$ og $C$:
    Skriv: Linjestykke[A, C] i inntastingsfeltet.
    GeoGebra tegner en linje mellom $A$ og $C$ i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet $a$.
    Men denne lengden vet vi jo allerede alltid er $1$.

  5. Lag et linjestykke mellom $C$ og x-aksen. Dette linjestykket representerer sinus:
    Skriv: Linjestykke[C, (x(C), 0)] i inntastingsfeltet. Her er $(x(C), 0)$ punktet som har samme x-koordinat som $C$, og y-koordinat $0$. Dette punktet vil med andre ord alltid ligge på x-aksen rett under $C$.
    GeoGebra tegner en loddrett linje mellom $C$ og x-aksen i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet $b$.

​Når vi nå drar punktet $C$ langs enhetssirkelen illustreres sinus som et linjestykke i grafikkfeltet og et tall i algebrafeltet.

Oppgave 1:

Modifiser oppskriften i eksempel 1 til å illustrere definisjonen av cosinus.

Se løsningsforslag

GeoGebra-filSe GeoGebra-fil med eksempel 1 og oppgave 1
 

Eksempel 2:

Vi skal bygge ut det vi laget i eksempel 1 slik at en sinuskurve tegnes opp ved å plotte sinus som en funksjon av vinkelen $BAC$.

  1. Hent fram fila fra eksempel 1.
     
  2. Finn sinus til vinkelen:
    Skriv: y(C) i inntastingsfeltet. Dette er y-koordinaten til punktet $C$, altså avstanden fra $C$ til x-aksen, med andre ord sinus til $BAC$.
  3. GeoGebra viser tallverdien i algebrafeltet under navnet $f$.
    I eksempel 1 markerte vi denne avstanden med ei linje. GeoGebra viser lengden på denne linja som $b$ i algebrafeltet. Men vi kan ikke bruke den som sinus fordi den aldri blir negativ.

  4. Lag et punkt som har x-koordinat lik vinkelen (i radianer) og y-koordinat lik sinus til vinkelen:
    Skriv: (d, f) i inntastingsfeltet. $d$ har vi fra eksempel 1 som lengden av sirkelbuen fra x-aksen opp til punktet $C$, altså størrelsen på vinkelen $BAC$ målt i radianer. $f$ er sinus vi laget i punkt 2.
  5. GeoGebra oppretter et punkt som kalles $D$.
    Når vi drar i $C$, ser vi at $D$ beveger seg langs en sinuskurve.

  6. Hvis nødvendig, zoom ut og panorer slik at ikke $D$ forsvinner ut til høyre.
     
  7. Sett sporing på punktet $D$:
    Høyreklikk i $D$ og velg "Slå på sporing".

GeoGebra tegner opp en graf som følger punktet $D$.

Oppgave 2:

Modifiser oppskriften i eksempel 2 til å tegne grafen til cosinus.

Se løsningsforslag

GeoGebra-filSe GeoGebra-fil med eksempel 2 og oppgave 2
 

ScreencastSe film som viser eksempel 1 og 2
 

Polarkoordinater

I GeoGebra kan vi ikke velge bort det kartesiske koordinatsystemet til fordel for et system med polarkoordinater. Men vi kan få rutenettet til å vise polarkoordinater. Det gjør vi ved å velge "Rutenett" fra Innstillinger-dialogboksen og sette "Type rutenett" til "Polar". Husk også å huke av for "Vis rutenett".

Illustrasjon av hvordan en velger polart rutenett.

Skal vi angi et punkt i polarkoordinater i GeoGebra, angir vi $r$ og $\theta$ mellom parenteser, atskilt med semikolon. Forskjellen på å angi polarkoordinater og kartesiske koordinater er altså at vi bruker semikolon som skilletegn i stedet for komma. $\theta$ måles i radianer hvis vi ikke angir grader ved å skrive et gradetegn, $^\circ$, slik som beskrevet i et tidligere avsnitt.

Eksempel 3:

Vi skal plotte punktet $r = 2, \theta = 45^\circ$ i GeoGebra. Da skriver vi: (2; 45°) i inntastingsfeltet.

Oppgave 3:

Plott punktet $r = 1, \theta = 60^\circ$ i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Selv om vi oppgir $\theta$ i radianer, viser GeoGebra verdien i grader i algebrafeltet.

I algebrafeltet kan vi bytte mellom kartesiske koordinater og polarkoordinater ved å høyreklikke på koordinatene og velge "Kartesiske koordinater" eller "Polare koordinater".

ScreencastSe film som illustrerer bruk av polarkoordinater i GeoGebra
 

Kilder

  • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
  • Kristensen, T. E: (2012) GeoGebra 4.0 for videregående skole. Matematikksenteret
  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia