Vektorer og avbildninger i GeoGebra

Vektorer

Vi kan sette inn vektorer i GeoGebra på forskjellige måter. Den ene er å velge "Vektor" eller "Vektor fra punkt" fra menyen:

Meny for å sette inn vektorer i GeoGebra

"Vektor" gir en frittstående vektor, med start- og sluttpunkt der vi klikker i grafikkfeltet. 

"Vektor fra punkt" gir en kopi av en vektor. Vi klikker da først på punktet der vi vil at vektoren skal starte, deretter på vektoren vi vil ha kopi av. Kopien er dynamisk, endrer vi på den opprinnelige vektoren, endrer kopien seg.

I bildet under har vi valgt "Vektor" og deretter klikket på (2,2) og (5,2). GeoGebra har opprettet punktene A=(2,2) og B=(5,2), og strukket vektoren u mellom dem. Vi har så klikket på (-3,2) og (-1,5). GeoGebra har opprettet punktene C=(-3,2) og D=(-1,5), og strukket vektoren v mellom dem. Til slutt har vi valgt "Vektor fra punkt", klikket på punktet A, deretter på vektoren v. GeoGebra har opprettet vektoren w, som starter i A og er en kopi av v, med sluttpunkt kalt A'. Endrer vi på v, vil w endre seg tilsvarende. 

Frittstående vektor og vektor fra punkt

Vi ser at GeoGebra navner punkter med stor bokstav, fra A og oppover, og vektorer med liten bokstav, fra u og oppover.

Vektorenes koordinater vises mellom parenteser i algebrafeltet. x-koordinaten øverst, y-koordinaten underst.

Ønsker vi bare å se vektorene og ikke punktene de går mellom, kan vi klikke på "Punkt" i algebrafeltet, høyreklikke og fjerne avmerkingen for "Vis objekt".

Meny for å skru av og på visning i GeoGebra

Da ser grafikkfeltet slik ut:

Frittstående vektor og vektor fra punkt. Punkter skjult

Vi kan også sette inn vektorer ved å skrive i inntastingsfeltet. Hvis vi ikke angir noe annet, eller navngir med stor bokstav, tolker GeoGebra en koordinat som et punkt. Navngir vi med liten bokstav, derimot, tolker GeoGebra koordinatene som en vektor som starter i origo. For å overstyre disse reglene, kan vi bruke kommandoene punkt og vektor. Kommandoen vektor kan ha én eller to koordinater. Én koordinat tolkes som et sluttpunkt for en vektor som starter i origo. To koordinater tolkes som start- og sluttpunktet til en vektor.

I bildet under har vi skrevet (3,2), og GeoGebra har satt inn punktet A = (3,2). Vi har så skrevet u=(3,-2), og GeoGebra har satt inn vektoren u med startpunkt i origo og sluttpunkt i (3,-2). Deretter har vi skrevet vektor((-1,2), (2,3)), og GeoGebra har satt inn vektoren v mellom (-1,2) og (2,3). Til slutt har vi skrevet P=vektor((-2,2), (1,1)), og GeoGebra har satt inn vektoren P mellom (-2,2) og (1,1).

Vi ser at GeoGebra ikke oppretter egne start- og sluttpunkter når vi setter inn en vektor ved hjelp av inntastingsfeltet, slik som når vi setter inn ved å klikke i grafikkfeltet.

 Vektorer satt inn fra kommandovinduet

Vektorregning

GeoGebra kan addere og subtrahere vektorer, beregne en vektors lengde og beregne to vektorers prikkprodukt.

For å addere to vektorer, skriver vi navnet på vektorene med plusstegn mellom i inntastingsfeltet, med minustegn mellom for å subtrahere og med gangetegn mellom for å beregne prikkproduktet. Prikkproduktet kan også beregnes ved hjelp av kommandoen skalarprodukt.

Lengden til en vektor kan beregnes ved å sette absoluttverditegn rundt vektornavnet i inntastingsfeltet, eller ved å bruke kommandoen lengde eller abs.

I bildet under har vi satt inn vektorene u og v og så skrevet u+v i inntastingsfeltet. GeoGebra har satt inn vektoren w, som er summen av u og v. For å tydeliggjøre har vi så endret fargen til grønn. Deretter har vi skrevet u-w. GeoGebra har satt inn vektoren a, som er differansen av u og v. For å tydeliggjøre har vi så endret fargen til oransje.

Vi har så beregnet lengden til u ved å skrive |u| og prikkproduktet av u og v ved å skrive u*v. Dette er skalarer som ikke kan vises i grafikkfeltet, men verdiene vises i algebrafeltet. Her er $b = |u|$ og $c = u \cdot v$. Det er ikke lett å se, men holder vi musepekeren over tallene, viser GeoGebra formelen som er brukt for å lage dem.

Lengde og prikkprodukt av vektorer

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å sette inn vektoren $\overrightarrow a$ med startpunkt i (0,0) og sluttpunkt i (4,3) og vektoren $\overrightarrow b$ med startpunkt i (4,3) og sluttpunkt i (6,-1).

Beregn så vektorene $\overrightarrow s = \overrightarrow a + \overrightarrow b$ og $\overrightarrow d = \overrightarrow a – \overrightarrow b$, lengden $| \overrightarrow a |$ og prikkproduktet $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$.

Resultatet skal se noe slikt ut:

Sum, differanse, lengde og prikkprodukt av vektorer

Se løsningsforslag

Kongruensavbildninger

GeoGebra har en rikholdig meny for avbildninger i planet:

Meny for kongruensavbildinger i GeoGebra

Vi kan avbilde punkter, linjer eller hele objekter.

"Speil objekt om en linje" er en generalisering av speilingene vi gjorde i del 5, her kan vi speile om en vilkårlig linje, ikke bare y=x, x=0 og y=0. Vi klikker da først på objektet vi vil speile, deretter på linja vi vil speile om. Det lages da et speilbilde av objektet, der hvert punkt speiles på normalen fra punktet til linja.

I bildet under har vi speilet firkanten ABCD om linja y = 2x +1.

Speiling av objekt om linje

"Speil objekt om et punkt " minner om "Speil objekt om en linje", men i stedet for å speile på normaler, speiles det på linjene gjennom speilingspunktet. Vi klikker da først på objektet vi vil speile, deretter på punktet vi vil speile om.

I bildet under har vi speilet firkanten ABCD om punktet E = (1,3).

Speiling av objekt om punkt

"Reflekter om sirkel" gir, som navnet sier en speiling om en sirkellinje. Her er speilingen avhengig av vinkelen fra objektet til sirkelsentrum danner med sirkelen. Resultatet er et fortegnet objekt, slik det er vist i bildet under, der vi har speilet firkanten ABCD om en sirkel med sentrum i (-1,3) og radius 2.

Speiling av objekt om sirkel

Vi kan også angi speilinger ved å skrive i inntastingsfeltet. Vi bruker da kommandoen speil, etterfulgt av navnet på objektet vi vil speile og objektet vi vil speile om, i parentes, atskilt med komma. For eksempel vil speil(a,b) speile objektet a om objektet b. Objektet vi speiler om trenger ikke være opprettet fra før, vi kan i stedet angi objektets egenskaper direkte når vi skriver. For eksempel vil speil(a,(2,3)) speile objektet a om punktet (2,3).

"Roter om punkt med fast vinkel" er en generalisering av rotasjonen vi gjorde i del 5, her kan vi rotere om et vilkårlig punkt. Vi klikker da først på objektet vi vil rotere, deretter på punktet vi vil rotere om, så oppgir vi vinkelen vi vil rotere om i dialogboksen som kommer opp.

I bildet under har vi rotert firkanten ABCD 60 grader om punktet F = (1,4).

Rotering av objekt om punkt

Rotasjon kan også gjøres ved å skrive kommandoen roter i inntastingsfeltet.

"Flytt objekt med vektor" er helt analogt med det vi gjorde i del 5, og forskyver alle x- og y-koordinater i et punkt med x- og y-koordinatene til en vektor. Vi klikker først på objektet vi vil flytte, deretter på vektoren som spesifiserer hvor mye vi skal flytte. 

I bildet under har vi flyttet firkanten ABCD som angitt ved vektoren u = [-3,3].

Flytting av objekt parallelt med vektor

Flytting kan også gjøres ved å skrive kommandoen flytt i inntastingsfeltet.

"Forstørr objekt fra punkt" gir ikke en kongruensavbildning, men en skalering basert på at avstanden fra objektet til punktet multipliseres med en skalar, slik vi viste i begynnelsen av del 5. Vi klikker da først på objektet vi vil forstørre, deretter på punktet vi vil basere forstørrelsen på, så oppgir vi faktoren vi vil forstørre med i dialogboksen som kommer opp. "Forstørre" er litt misvisende, for vi kan også forminske ved å skalere med en faktor mindre enn 1.

I bildet under har vi forstørret firkanten ABCD med en faktor 2, basert på punktet H=(1,2).

Skalering av objekt basert på et punkt

Forstørring kan også gjøres ved å skrive kommandoen forstørr i inntastingsfeltet.

Oppgave 2:

Bruk GeoGebra til å lage en trekant med hjørner i (3,2), (6,2) og (4,4) og flytt trekanten -2 enheter i x-retning og 3 enheter i y-retning. Roter deretter den flyttede trekanten 60 grader om punktet (0,4).

Resultatet skal være omlag som vist under, her har vi skjult hjelpeobjekter vi har brukt.

Sammensatte avbildninger

Se løsningsforslag