Høyere ordens deriverte

Vi har i andre artikler nøyd oss med å derivere funksjoner én gang. Nå skal vi se hva vi kan få ut av å derivere flere ganger.

Vi har brukt en apostrof til å angi at vi deriverer, og skrevet den deriverte til en funksjon, $f$, som $f'$. For å angi at vi deriverer to ganger, bruker vi to apostrofer, og skriver den andrederiverte som $f''$. For å angi at vi deriverer tre ganger, bruker vi tre apostrofer, og skriver den tredjederiverte som $f'''$. Slik kan vi fortsette å fylle på med apostrofer, men det blir fort uleselig. I stedet bruker vi derfor et tall, n, i parentes for å angi den n'te-deriverte. $f^{(4)}$ for den fjerdederiverte, $f^{(5)}$ for den femtederiverte, og så videre. Det finnes allikevel ingen absolutt regel som sier at vi skal skifte fra apostrof til tall når vi deriverer mer enn tre ganger, det er helt greit å skrive $f^{(2)}$ for den andrederiverte og $f''''$ for den fjerdederiverte.

Eksempel 1:

Vi har funksjonen $f(x) = x^4 – 3x^2 + 5x$. De deriverte blir

$f'(x) = 4x^3 – 6x + 5$

$f''(x) = 12x^2 – 6$

$f'''(x) = 24x$

$f^{(4)} = 24$

$f^{(5)} = 0$

I denne nettleksjonen skal vi imidlertid holde oss til å se på den andrederiverte, som gir nyttige opplysninger om en funksjon. Den andrederiverte kalles også for den dobbeltderiverte.

Vi har i andre artikler sagt at den deriverte forteller om hvordan en funksjon endrer seg. Er den deriverte positiv, er funksjonen voksende, er den negativ, er den avtakende. Ved å se på den andrederiverte, kan vi avgjøre funksjonens krumningegenskaper, altså om den er konveks eller konkav. Er den konveks, vender grafen sin hule side opp, er den konkav, vender grafen sin hule side ned. Funksjonen er konveks hvis $f'' > 0$ og konkav hvis $f'' < 0$. Et punkt der funksjonen skifter mellom konveks og konkav kalles et vendepunkt.

Eksempel 2:

Vi studerer funksjonen $f(x) = {\large \frac{1}{3}}x^3 – 2x^2 + 3x +1$.

Vi deriverer, og får at $f'(x) = x^2 – 4x + 3$.

Vi tar ikke med utregningene her, men fortegnet til den deriverte skifter fra + til – når $x = 1$, og dette er derfor et maksimum. Fortegnet skifter fra – til + når $x = 3$, og dette er derfor et minimum.

Vi deriverer en gang til, og får at $f''(x) = 2x -4$.

Fortegnet til den andrederiverte skifter fra – til + når $x = 2$. Dette er derfor et vendepunkt, der funksjonen går over fra å være konkav (hule side ned) til konveks (hule side opp).

Dette er illustrert i grafen under. Til venstre for den røde, stiplede linja er funksjonen konkav, til høyre for linja, konveks.

Graf med illustrasjon av ekstremalpunkter og vendepunkt

At funksjonen er konkav, betyr at grafen er i ferd med å vri seg nedover, at den er konveks betyr at den er i ferd med å vri seg oppover. En regel for å huske hva som er hva, kan derfor være at "konveks gir vekst".

I GeoGebra kan vi finne en funksjons vendepunkter med kommandoen Vendepunkt.

Den deriverte beskriver altså hvordan en funksjon endrer seg. En positiv derivert betyr at funksjonen er voksende, en negativ at den er avtagende. Den andrederiverte forteller naturligvis nøyaktig det samme om den deriverte. En positiv andrederivert betyr at den deriverte er voksende, en negativ at den er avtagende. Bildet under viser funksjonen fra eksempel 2, der vi tillegg har tatt med grafen til $f'(x)$, vist med oransje og grafen til $f''(x)$, vist med grønt. 

Grafer som illustrerer sammenhengen mellom funksjon,derivert og andrederivert

Vi ser at den opprinnelige funksjonen har ekstremalpunkter der hvor den deriverte er 0. Den deriverte på sin side har et ekstremalpunkt der den andrederiverte er 0. Siden fortegnet til den andrederiverte skifter fra – til +, er dette et minimumspunkt. Dette minimumspunktet korresponderer med den opprinnelige grafens vendepunkt.

Hvis vi går fra venstre inn mot dette punktet, ser vi at den deriverte blir mer og mer negativ. Det betyr at den opprinnelige funksjonen avtar raskere og raskere. Når punktet er passert, er den deriverte fortsatt negativ, så den opprinnelige funksjonen fortsetter å avta, men nå blir den deriverte mindre og mindre negativ, så raten den avtar i blir langsommere og langsommere. Når så den deriverte passerer 0, blir den mer og mer positiv, så den opprinnelige funksjonen vil stige raskere og raskere.

Eksempel 3:

En bedrift har funnet ut at fortjenesten de får ved å produsere og selge en vare er gitt, i millioner kroner, ved funksjonen $f(t) = {\large \frac{1}{3}}t^3 – 2t^2 + 3t -2$, der $t$ er antall år siden varen ble lansert på markedet.

De gjør en vurdering av situasjonen etter 2,5 år. Fortjenesten er da $f(2{,}5) \approx -1{,}33$. Bedriften taper penger på varen.

Den deriverte til fortjenestefunksjonen er $f'(t) = t^2 – 4t + 3$. Etter 2,5 år har vi at $f'(2{,}5) = -0{,}75$. Den deriverte er altså negativ. Det betyr at fortjenestefunksjonen er avtagende. Bedriftens utsikter er altså at de ikke bare kommer til å fortsette å tape penger, men at de vil tape mer og mer.

Den andrederiverte til fortjenestefunksjonen er $f''(t) = 2t – 4$. Etter 2,5 år har vi at $f''(2{,}5) = 1$. Den andrederiverte er altså positiv, og vi ser at den vil fortsette å være positiv for økende $t$. Det betyr at selv om den deriverte er negativ, er den voksende, og vil på et tidspunkt passere 0. Det betyr at selve fortjenestefunksjonen vil gå over fra å være avtagende til å være voksende, og på et tidspunkt vil den også passere 0, slik at bedriften går over fra å tape til å tjene penger.

En funksjon kan selvfølgelig ha mer enn ett vendepunkt. $f(x) = \sin x$ har for eksempel uendelig mange vendepunkter, og veksler fram og tilbake mellom konveks og konkav hver gang $f''(x) = -\sin x$ passerer 0, det vil si $x = 0^{\circ}, x = 180^{\circ}, x = 360^{\circ}, \dots$

På den annen side finnes det funksjoner som ikke har vendepunkter. $f(x) = e^x$ for eksempel, har andrederivert $f''(x) = e^x$, en funksjon som alltid er positiv. $f(x) = e^x$ er derfor konveks (krummer oppover) i hele definisjonsområdet. En vilkårlig andregradsfunksjon, $f(x) = ax^2 + bx + c$, har andrederivert $f''(x) = 2a$ og er konveks i hele definisjonsområdet hvis $a>0$, konkav hvis $a<0$.

Oppgave 1:

Finn og klassifiser vendepunktene til $f(x) = {\large \frac{1}{12}}x^4 – {\large \frac{1}{6}}x^3 – x^2 + x + 1$.

Med å klassifisere vendepunktene mener vi å angi om funksjonen skifter fra konkav til konveks eller omvendt i punktet.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Finn og klassifiser vendepunktene til $f(x) = (x^2 – 3x + 2)e^x$. Denne funksjonen har vendepunkter, selv om GeoGebra svarer "Udefinert" hvis vi prøver å bruke Vendepunkt-kommandoen.

Se løsningsforslag

Andrederivert-testen

I eksempel 4 i artikkelen om ekstremalpunkter brukte vi fortegnsskjema til å klassifisere ekstremalpunktene til $f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x + 4$. Vi kom fram til at funksjonen har et maksimumspunkt i $x = -2$ fordi den deriverte skifter fortegn fra + til – i dette punktet, og at funksjonen har et minimumspunkt i $x = 1$ fordi den deriverte skifter fortegn fra – til + i dette punktet.

Grafen til funksjonen er vist under:

Graf som illustrerer sammenhengen mellom krumningsegenskaper og klassifisering av ekstremalpunkter

Vi ser at i maksimumspunktet er funksjonen konkav, og i minimumspunktet er funksjonen konveks. Dette er ikke tilfeldig. Det vil alltid være slik at et ekstremalpunkt der funksjonen er konkav er et maksimumspunkt, og et ekstremalpunkt der funksjonen er konveks er et minimumspunkt.

For å klassifisere et stasjonært punkt, har vi derved et alternativ til å undersøke fortegnet til den deriverte. Det kalles andrederivert-testen.

$\fbox{$\text{Hvis }f'(c) = 0 \text{ og } f''(c) < 0 \text{, har } f \text{ et maksimumspunkt i } x = c \\ \text{Hvis }f'(c) = 0 \text{ og } f''(c) > 0 \text{, har } f \text{ et minimumspunkt i } x = c $}$

Eksempel 4:

Funksjonen $f(x) = x^2 + 4x -2$, som vi også så på i eksempel 2 i artikkelen om ekstremalpunkter, har derivert $f'(x) = 2x + 4$ og andrederivert $f''(x) = 2$.

$f'(x)$ er 0 når $x = -2$, så dette er et stasjonært punkt.

$f''(-2) = 2 > 0$, så punktet er et minimumspunkt.

Eksempel 5:

Funksjonen $f(x) = {\large \frac{1}{3}}x^3 + x^2 -3x$, som vi også så på i eksempel 8 i artikkelen om ekstremalpunkter, har derivert $f'(x) = x^2 + 2x – 3$ og andrederivert $f''(x) = 2x+2$.

Den deriverte kan faktoriseres som $f'(x) = (x-1)(x+3)$.

$f'(x)$ er 0 når $x = -3$, så dette er et stasjonært punkt.

$f''(-3) = 2(-3)+2=-4< 0$, så punktet er et maksimumspunkt.

$f'(x)$ er 0 når $x = 1$, så dette er et stasjonært punkt.

$f''(1) = 2 \cdot 1+2=4>0$, så punktet er et minimumspunkt.

Oppgave 3:

Finn de stasjonære punktene til $f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 2$ og bruk andrederivert-testen til å klassifisere dem. 

Se løsningsforslag

Andrederivert-testen klassifiserer altså et stasjonært punkt som et maksimumspunkt hvis den andrederiverte er mindre enn null, og som et minimumspunkt hvis den andrederiverte er større enn null. Men det er ikke slik at testen klassifiserer et stasjonært punkt som et terrassepunkt hvis den andrederiverte er lik null. Andrederivert-testen gir ikke svar hvis $f''(x) = 0$.

Eksempel 6

De deriverte til $f(x) = x^4$, $g(x) = -x^4$ og $h(x) = x^3$ er alle null når $x = 0$, så funksjonene har stasjonære punkter da. Disse punktene er henholdsvis minimumspunkt, maksimumspunkt og terrassepunkt. Men den andrederiverte er null i alle tre tilfeller. For å klassifisere punktene må vi studere fortegnet til den deriverte.

Om vi skal velge andrederivert-testen eller å studere fortegnet til den deriverte når vi skal klassifisere et stasjonært punkt vil avhenge av situasjonen. Det er altså ikke alltid andrederivert-testen fungerer, og av og til kan det være komplisert å finne den andrederiverte. Da velger vi å se på fortegnet. Er det derimot lett å finne den andrederiverte og vanskelig å finne ut av fortegnsskiftet til den deriverte, velger vi andrederivert-testen. Av og til er vi uansett nødt til å finne den andrederiverte fordi vi trenger den til å finne vendepunkter og å avgjøre hvor funksjonen er konveks og konkav. Da kan vi jo like godt også bruke den til andrederivert-testen.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia