Integral som areal

Areal over x-aksen

I artikkelen om bestemte integraler lærte vi at et bestemt integral representerer en verdi. Men hva representerer egentlig denne verdien? Noe ganske interessant viser det seg, nemlig arealet avgrenset av grafen til det tilhørende ubestemte integralet, integrasjonsgrensene og x-aksen.

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b f(x) \; dx$}$

Eksempel 1:

Integralet av f(x) = 2x, mellom grensene 0 og 4:

$\int\limits_0^4 2x \; dx = \big[x^2\big]_0^4 = 4^2 − 0^2 = 16$

Dette representerer arealet skravert i figuren under, der den rette linja er grafen til f(x) = 2x.

Arealet mellom f(x) = 2x og x-aksen

En rask kontrollregning ved hjelp av formelen for arealet av en trekant:

$\text{Areal } = \frac{1}{2} \cdot \text{ grunnlinje }\cdot \text{ høyde } = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$.

Det bestemte integralet gir oss altså en måte å beregne arealer på.

Eksempel 2:

Vi skal finne arealet mellom f(x) = ex og x-aksen, avgrenset av linjene x = 0 og x = ln 2.

Det bestemte integralet blir:

$\int\limits_0^{\ln 2} e^x \; dx = \big[e^x\big]_0^{\ln 2} = e^{\ln 2} − e^0 = 2 − 1 = 1$

Dette er illustrert under:

Arealet mellom f(x) = e^x og x-aksen

Oppgave 1:

Beregn arealet avgrenset av grafen til f(x) = −3x2 + 4x + 8, x-aksen og linjene x = −1 og x = 2.

Se løsningsforslag

Areal under x-aksen

Dersom grafen ligger under x-aksen, får vi et negativt tall når vi beregner det bestemte integralet. For å finne arealet mellom grafen og x-aksen må vi bytte fortegn:

$\fbox {$ A = −\int\limits_a^b f(x) \; dx$}$

Eksempel 3:

Vi skal finne arealet mellom f(x) = x2 − 4 og x-aksen, avgrenset av skjæringspunktene, som er x = ±2.

Som vi kan se av grafen under, ligger dette området under x-aksen, så vi må skifte fortegn på integralet for å finne arealet.

Arealet mellom f(x) = x^2 - 2 og x-aksen

$A = −\int\limits_{−2}^ 2(x^2 − 4) \; dx = −\Big[\frac{1}{3}x^3 − 4x\Big]_{−2}^ 2 =$

$ −\Big[\frac{1}{3}2^3 − 4 \cdot 2 − \big(\frac{1}{3}(−2)^3 − 4(−2)\big)\Big] = $

$−\big(\frac{8}{3} − 8 −(−\frac{8}{3} + 8 )\big) = −\frac{16}{3} + 16 \approx 10{,}67$

Areal både over og under x-aksen

Dersom grafen ligger delvis over, delvis under x-aksen, må vi dele opp i flere integraler, der vi skifter fortegn på de delene som ligger under x-aksen.

Eksempel 4:

Vi skal finne arealet mellom grafen til f(x) = x3x og x-aksen.

Som vi kan se av grafen under, ligger dette området både over og under x-aksen:

Areal under en graf som ligger både over og under x-aksen.

Vi må da dele opp i ett integral som går fra nedre grense til skjæringspunktet, og ett som går fra skjæringspunktet til øvre grense.

Først finner vi skjæringspunktene, det vi si de punktene der funksjonsverdien er 0:

f(x) = 0 ⇒ x3 − x = 0 ⇒ x(x2 − 1) = 0 ⇒ x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1

Så arealene blir:

$A_1 = \int\limits_{−1}^0(x^3 − x) \; dx = \big[\frac{1}{4}x^4 − \frac{1}{2}x^2\big]_{−1}^0 = 0 − (\frac{1}{4} − \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

$A_2 = −\int\limits_0^1(x^3 − x) \; dx = −\big[\frac{1}{4}x^4 − \frac{1}{2}x^2\big]_0^1 = − (\frac{1}{4} − \frac{1}{2}) − 0 = \frac{1}{4}$

Og det totale arealet blir:

$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

SkjermfilmSe film om å beregne arealet under en graf
 

Oppgave 2:

Grafen under viser funksjonen f(x) = x3 + 2x2x − 2, som skjærer x-aksen i x = −2, x = −1 og x = 1. Beregn arealet avgrenset av grafen og x-aksen.

Arealet mellom f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 og x-aksen

Se løsningsforslag

Areal mellom grafer

Det er ikke vanskelig å utvide metoden til å finne arealet mellom en graf og x-aksen til å finne arealet mellom to grafer. Integrasjonsgrensene blir skjæringspunktene mellom grafene, og så trekker vi arealet under grafen nærmest x-aksen fra arealet under grafen lengst fra x-aksen.

Eksempel 5:

Figuren under viser arealet mellom f(x) = 2x og g(x) = x2.

Areal mellom grafene f(x) = 2x og g(x) = x^2

Vi finner først skjæringspunktene, det vil si punktene der funksjonene har samme verdi:
f(x) = g(x) ⇒ 2x = x2x2 − 2x = 0 ⇒ x(x − 2) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2

Siden grafen til f(x) = 2x ligger øverst, blir arealet:
$A = \int\limits_0^2 2x \; dx − \int\limits_0^2 x^2 \; dx= \big[x^2\big]_0^2 − \big[\frac{1}{3}x^3\big]_0^2 = 4 − 0 − (\frac{8}{3} − 0) = \frac{4}{3}$

Alternativt kan vi trekke funksjonene fra hverandre først, og så integrerer resultatet:
f(x) − g(x) = 2xx2.

$A = \int\limits_0^2 (2x − x^2) \; dx = \big[x^2 − \frac{1}{3}x^3\big]_0^2 = 4 − \frac{8}{3} − (0 − 0) = \frac{4}{3}$

Fordelen med dette er at vi slipper unna med ett integral i stedet for to.

Generelt kan vi uttrykke arealet mellom grafene til to funksjoner, f(x) og g(x), som skjærer hverandre i a og b, ved å beregne integralene hver for seg først, og så subtrahere resultatene:

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b f(x) \; dx − \int\limits_a^b g(x) \; dx$}$

eller ved å subtrahere funksjonene først, og så integrere den resulterende funksjonen:

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b \Big(f(x) − g(x)\Big) \; dx$}$

Oppgave 3:

Det markerte området i bildet under viser arealet mellom grafen til f(x) = −x2 + 5 (grønn) og g(x) = x + 3 (blå).

Areal mellom grafene f(x) = -x^2 + 5 og g(x) = x + 3

Bruk integrasjon til å beregne dette arealet.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget