Integral som areal

I artikkelen om bestemte integraler lærte vi at et bestemt integral representerer en verdi. Men hva representerer egentlig denne verdien? Noe ganske interessant viser det seg, nemlig arealet avgrenset av grafen til det tilhørende ubestemte integralet, integrasjonsgrensene og x-aksen.

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b f(x) \; dx$}$

Eksempel 1:

Integralet av $f(x) = 2x$, mellom grensene 0 og 4:

$\int\limits_0^4 2x \; dx = \big[x^2\big]_0^4 = 4^2 – 0^2 = 16$

Dette representerer arealet skravert i figuren under, der den rette linja er grafen til $f(x) = 2x$.

Arealet mellom f(x) = 2x og x-aksen

En rask kontrollregning ved hjelp av formelen for arealet av en trekant:

$\text{Areal } = \frac{1}{2} \cdot \text{ grunnlinje }\cdot \text{ høyde } = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$.

Eksempel 2:

Vi skal finne arealet mellom $ f(x) = e^x$ og x-aksen, avgrenset av linjene $x = 0$ og $x = \ln 2$.

Det bestemte integralet blir:

$\int\limits_0^{\ln 2} e^x \; dx = \big[e^x\big]_0^{\ln 2} = e^{\ln 2} – e^0 = 2 – 1 = 1$

Dette er illustrert under:

Arealet mellom f(x) = e^x og x-aksen

Oppgave 1:

Beregn arealet avgrenset av grafen til $f(x) = -3x^2 + 4x + 8$, x-aksen og linjene $x = -1$ og $x = 2$.

Se løsningsforslag

Dersom grafen ligger under x-aksen, får vi et negativt tall når vi beregner det bestemte integralet. For å finne arealet mellom grafen og x-aksen må vi bytte fortegn:

$\fbox {$ A = -\int\limits_a^b f(x) \; dx$}$

Eksempel 3:

Vi skal finne arealet mellom $f(x) = x^2 – 4$ og x-aksen, avgrenset av skjæringspunktene som er $x =\pm 2$.

Som vi kan se av grafen under, ligger dette området under x-aksen, så vi må skifte fortegn på integralet for å finne arealet.

Arealet mellom f(x) = x^2 - 2 og x-aksen

$A = -\int\limits_{-2}^ 2(x^2 – 4) \; dx = -\Big[\frac{1}{3}x^3 – 4x\Big]_{-2}^ 2= -\Big[\frac{1}{3}2^3 – 4 \cdot 2 – \big(\frac{1}{3}(-2)^3 – 4(-2)\big)\Big] = \\ -\big(\frac{8}{3} – 8 -(\frac{8}{3} + 8 )\big) = -\frac{16}{3} + 16 \approx 10{,}67$

Dersom grafen ligger delvis over, delvis under x-aksen, må vi dele opp i flere integraler, der vi skifter fortegn på de delene som ligger under x-aksen.

Eksempel 4:

Vi skal finne arealet mellom grafen til $f(x) = x^3 – x$ og x-aksen.

Som vi kan se av grafen under, ligger dette området både over og under x-aksen:

Areal under en graf som ligger både over og under x-aksen.

Vi må da dele opp i ett integral som går fra nedre grense til skjæringspunktet, og ett som går fra skjæringspunktet til øvre grense.

Først finner vi skjæringspunktene, det vi si de punktene der funksjonsverdien er $0$:

$f(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 – x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1$

Så arealene blir:

$A_1 = \int\limits_{-1}^0(x^3 – x) \; dx = \big[\frac{1}{4}x^4 – \frac{1}{2}x^2\big]_{-1}^0 = 0 – (\frac{1}{4} – \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

$A_2 = -\int\limits_0^1(x^3 – x) \; dx = -\big[\frac{1}{4}x^4 – \frac{1}{2}x^2\big]_0^1 = – (\frac{1}{4} – \frac{1}{2}) – 0 = \frac{1}{4}$

Og det totale arealet blir:

$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

ScreencastSe film om å beregne arealet under en graf
 

Oppgave 2:

Grafen under viser funksjonen $f(x) = x^3 + 2x^2 – x – 2$, som skjærer x-aksen i $x = -2$, $x = -1$ og $x = 1$. Beregn arealet avgrenset av grafen og x-aksen.

Arealet mellom f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 og x-aksen

Se løsningsforslag

Det er ikke vanskelig å utvide metoden til å finne arealet mellom en graf og x-aksen til å finne arealet mellom to grafer. Integrasjonsgrensene blir skjæringspunktene mellom grafene, og så trekker vi arealet under grafen nærmest x-aksen fra arealet under grafen lengst fra x-aksen.

Eksempel 5:

Figuren under viser arealet mellom $f(x) = 2x$ og $g(x) = x^2$.

Areal mellom grafene f(x) = 2x og g(x) = x^2

Vi finner først skjæringspunktene, det vil si punktene der funksjonene har samme verdi:
$f(x) = g(x) \Leftrightarrow 2x = x^2 \Leftrightarrow x^2 – 2x = 0 \Leftrightarrow x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x_1 = 0, \, x_2 = 2$.

Siden grafen til $f(x) = 2x$ ligger øverst, blir arealet:
$A = \int\limits_0^2 2x \; dx – \int\limits_0^2 x^2 \; dx= \big[x^2\big]_0^2 – \big[\frac{1}{3}x^3\big]_0^2 = 4 – 0 – (\frac{8}{3} – 0) = \frac{4}{3}$

Alternativt kan vi trekke funksjonene fra hverandre først, og så integrerer resultatet:
$f(x) – g(x) = 2x – x^2$.

$A = \int\limits_0^2 (2x – x^2) \; dx = \big[x^2 – \frac{1}{3}x^3\big]_0^2 = 4 – \frac{8}{3} – (0 – 0) = \frac{4}{3}$.

Fordelen med dette er at vi slipper unna med ett integral i stedet for to.

Generelt kan vi uttrykke arealet mellom grafene til to funksjoner, $f(x)$ og $g(x)$, som skjærer hverandre i $a$ og $b$ ved å beregne integralene hver for seg først, og så subtrahere resultatene:

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b f(x) \; dx – \int\limits_a^b g(x) \; dx$}$

eller ved å subtrahere funksjonene først, og så integrere den resulterende funksjonen:

$\fbox {$ A = \int\limits_a^b \Big(f(x) – g(x)\Big) \; dx$}$

Kilder

  • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia