Integral som helhet

Store norske leksikon forklarer ordet "integrere" blant annet som "Danne et hele; innlemme i en helhet". Vi kjenner ordet fra dagligtalen, for eksempel "å integrere innvandrere", det vil si at innvandrerne skal innlemmes i helheten – i samfunnet. Matematisk er det egentlig det samme vi gjør når vi integrerer, vi samler opp et uendelig antall funksjonsverdier og innlemmer dem i en helhet.

Vi skal nå se noen eksempler på hvordan vi kan bruke et integral til å danne en helhet ved å samle opp uendelig mange funksjonsverdier.

Eksempel 1:

Et basseng blir tappet for vann gjennom en slange der det renner 3,8 liter vann pr. sekund, og vi lurer på hvor mye vann som blir tappet ut de første 60 sekundene.

Dette er en enkel oppgave som egentlig ikke krever integrasjon, vi klarer oss lenge med multiplikasjon: Det blir tappet ut $3{,}8 \cdot 60 = 228$ liter vann.

Men så gjør vi det litt vanskeligere og lar mengden vann som renner være avhengig av trykket i bassenget, slik at det renner langsommere etter som tida går. Når vi antar at vannet tappes med en hastighet gitt ved funksjonen $f(t) = 3{,}8 \cdot e^{\large -0{,}05 \, t}$, der $t$ er tiden i sekunder, hvor mye vann blir da tappet de første 60 sekundene?

Funksjonen $f(t)$ angir hvor mye som tappes i et uendelig kort tidsrom. Når $t = 0$, blir det tappet $f(0) = 3{,}8 \cdot e^{\large -0{,}05 \, \cdot \, 0} = 3{,}8$ liter vann pr. sekund. Men øyeblikket etterpå blir det tappet mindre. For å håndtere denne kontinuerlige endringen, må vi samle opp uendelig mange funksjonsverdier i uendelig korte øyeblikk og slå dem sammen, vi må integrere. Vi får:

$\int\limits_0^{60} 3{,}8 \cdot e^{\large -0{,}05 \, t} \; dt = \big[3{,}8 \cdot {\large \frac{1}{-0{,}05}}e^{\large -0{,}05 \, t}\big]_0^{60} = 3{,}8 \cdot {\large \frac{1}{-0{,}05}}e^{\large -0{,}05 \, \cdot \, 60} – 3{,}8 \cdot {\large \frac{1}{-0{,}05}}e^{\large -0{,}05 \, \cdot \, 0} \\
= {\large \frac{3{,}8}{-0{,}05}} ( e^{\large -3} – 1) \approx 72{,}22$

Det tappes ca. 72,22 liter vann de første 60 sekundene.

Vi har i eksempel 1 brukt $t$ som symbol for variabelen i stedet for $x$, fordi variabelen representerer tid. Da erstatter vi også $dx$ med $dt$.

Uttrykk på formen $e^{\large kt}$, der $k$ er en negativ konstant og $t$ tiden, forekommer ofte i matematiske modeller av fenomener i naturen.

Oppgave 1:

1 kWh er energien som produseres av 1 kW i løpet av 1 time. Hvis en husstand har et gjennomsnittlig elektrisitetsforbruk på 2 kW, blir derfor totalforbruket i løpet av et døgn $2 kW \cdot 24 h = 48 kWh$.

Men nå sier vi at forbruket ikke er konstant, men bestemt av en funksjon, på samme måte som vannet som rant ut av bassenget i eksempel 1. Funksjonen er $f(t) = -0{,}003t^3 + 0{,}1t^2 – 0{,}7t + 1$, der $t$ er tiden i timer etter midnatt. Hva blir da totalforbruket i løpet av et døgn? (Mellom klokka 00 og 24.)

Se løsningsforslag

Eksempel 2:

Vi vet at formelen for volumet av ei kule er $V = {\large \frac{4}{3}} \pi r^3$, der $r$ er kulas radius.
Kule med radius inntegnet

Nå skal vi se hvordan vi kan komme fram til denne formelen ved hjelp av integrasjon. Vi bruker en idé som går tilbake til Arkimedes, og tenker oss at vi skjærer kula opp i uendelig mange, uendelig tynne skiver.

Vi ser for oss ei kule med radius $r$, plassert i et koordinatsystem med sentrum av kula i origo. Så snitter vi tynne skiver parallelt med y-aksen, radien på disse vil variere med $x$. Vi kaller radien $f(x)$:

Illustrasjon av snitt av kule

Vi ser av figuren at $x$, $f(x)$ og $r$ er henholdsvis kateter og hypotenus i en rettvinklet trekant. Av Pytagoras får vi derfor at $\big(f(x)\big)^2 = r^2 – x^2$. Vi får altså uendelig mange, uendelig tynne skiver med areal gitt av formelen for arealet av en sirkel:

$A(x) = \pi  \big(f(x)\big)^2 = \pi (r^2 – x^2)$.

For å finne volumet av kula, må vi addere dette uendelige antallet skiver, vi må integrere dem. Integrasjonsgrensene finner vi ved å tenke på at sirkelen skjærer x-aksen $x = -r$ og $x = r$.

Integrasjonen er enkel, når vi husker på at $r$ er en konstant:

$V = \int\limits_{-r}^r \pi (r^2 – x^2 ) \; dx = \pi \big[r^2x – {\large\frac{1}{3}}x^3\big]_{-r}^r = \pi \big(r^3 – {\large \frac{1}{3}}r^3 – (-r^3 + {\large \frac{1}{3}}r^3)\big) = {\large \frac{4}{3}} \pi r^3$.

Som var det vi skulle komme fram til.

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i figuren under:

Flate som skal roteres til en kjegle

Hvis vi roterer den markerte flaten om x-aksen, får vi en kjegle. Denne kan vi dele inn i uendelig mange uendelig tynne sirkelskiver som hver har areal $A = \pi x^2$.

Bruk dette til å vise at volumet av kjeglen er $9 \pi$.

Se løsningsforslag

Kilder