Integral som rektangelsum

I artikkelen om integral som areal,så vi at det bestemte integralet til en funksjon tilsvarte arealet under funksjonens graf. For eksempel tilsvarer det røde arealet i figuren under $\int\limits_1^2 x^2 \; dx = \frac{7}{3} \approx 2,33$.

Arealet under x^2

Legger vi fem like brede rektangler i samme område, ser vi at arealet til disse vil tilnærme arealet under grafen, men være litt mindre.

Arealet under x^2 tilnærmet med fem rektangler

Høyden av hvert rektangel er lik funksjonsverdien der rektangelet begynner, $f(x) = x^2$, og bredden er ${\large \frac{2 – 1}{5}} = 0{,}2$.

Det totale arealet av de fem rektanglene blir derfor

$1^2 \cdot 0{,}2 + (1{,}2)^2 \cdot 0{,}2 + (1{,}4)^2 \cdot 0{,}2 + (1{,}6)^2 \cdot 0{,}2 + (1{,}8)^2 \cdot 0{,}2 \approx 2{,}04$.

Ca. 12 % mindre enn integralet, som var 2,33.

Gjør vi rektanglene smalere, får vi plass til flere, og de vil passe bedre. Figuren under viser ti rektangler.

Arealet under x^2 tilnærmet med ti rektangler

Samme utregningsmetode som tidligere gir at arealet av rektanglene nå er omlag 2,18, ca. 6 % mindre enn integralet på 2,33.

Jo flere rektangler vi deler opp i, jo nærmere kommer vi den nøyaktige verdien til integralet. Kaller vi bredden av hvert rektangel for $\Delta x$, vil hvert rektangel ha areal $f(x) \cdot \Delta x$ og det totale arealet blir $\displaystyle\sum_1^2 f(x) \cdot \Delta x$.

Mer generelt, med integrasjonsgrenser $a$ og $b$$\displaystyle\sum_a^b f(x) \cdot \Delta x$

Lar vi så bredden av hvert rektangel gå mot $0$, har vi et nøyaktig uttrykk for det bestemte integralet mellom $a$ og $b$:

$\fbox {$ \int\limits_a^b f(x) \; dx = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \displaystyle \sum_a^b f(x) \cdot \Delta x$}$

Beregning av bestemte integraler med datamaskin

Enkelte ubestemte integraler kan være vanskelige eller umulige å beregne. Men siden det tilhørende bestemte integralet kan tilnærmes med en sum av rektangler, vil vi alltid kunne finne en tilnærmet løsning for et bestemt integral. Ofte velger vi imidlertid andre geometriske figurer enn rektangler. Bruk av trapeser gir ofte mye bedre nøyaktighet, og det finnes andre metoder, som Simpsons regel, der arealenes øvre grense ikke er en rett linje. Uendelig mange arealer kan vi ikke håndtere i praksis, men en datamaskin kan uten problemer summere millioner av arealer på brøkdelen av et sekund, slik at vi kan få gode svar raskt. 

Kilder

  • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia