Integrasjon ved delbrøkoppspaltning

Ved derivasjon har vi en regel, kvotientregelen, som vi bruker når vi deriverer brøkuttrykk. For integrasjon har vi ingen slik generell regel. En del brøker vil vi allikevel kunne integrere ved å bruke en metode som heter delbrøkoppspaltning. Vi skal her holde oss til å se på brøker som kan spaltes i to delbrøker, men metoden kan utvides.

I artikkelen om ubestemte integraler lærte vi å integrere brøker der teller er en konstant og nevner er et vilkårlig førstegradspolynom, ved følgende regel:

$\fbox {$ \int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle ax + b} \; dx = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a} \ln |ax + b| + C $}$

Eksempel 1:

$ \int \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x +1} \; dx =  \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \ln |2x+1| + C$.

Men denne regelen vil vi ikke kunne bruke på brøker der teller ikke er en konstant eller nevner er et polynom av større grad enn 1, som for eksempel ${\large \frac{2}{x^2 – 1}}$. Løsningen er da å bryte en brøk opp i enklere brøker som vi kan integrere.

Vi vet at når vi skal addere eller subtrahere brøker, må vi finne fellesnevneren og utvide brøkene, slik det beskrives i algebra-artikkelen om brøk. For eksempel $(x + 1)(x – 1)$ i eksempel 2:

Eksempel 2:

$\frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x + 1} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x – 1} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x + 1} \cdot \frac{\displaystyle x – 1}{\displaystyle x – 1} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x – 1} \cdot \frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle x + 1} =  \frac{\displaystyle -1(x – 1) + 1(x + 1)}{(\displaystyle x + 1)(x – 1)} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x^2 – 1}$.

I delbrøkoppspaltning går vi andre veien. Vi har en brøk vi ikke kan integrere, og prøver å løse den opp i enkeltbrøker med en konstant i teller og et førstegradspolynom i nevner.

Eksempel 3:

Vi ønsker å beregne integralet

$ \int \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x^2 – 1} \; dx$

ved å spalte brøken $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x^2 – 1}$ i delbrøker.

Vi starter med å faktorisere nevneren. I dette tilfellet er det veldig enkelt, vi bruker 3. kvadratsetning baklengs: $x^2 – 1 = (x + 1)(x – 1)$.

Så ønsker vi å finne to konstanter, $A$ og $B$, som er slik at vi får to delbrøker der nevnerne består av de faktorene vi fant:

$\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x^2 – 1} = \frac{\displaystyle A}{\displaystyle x + 1} + \frac{\displaystyle B}{\displaystyle x – 1}$

Vi multipliserer begge sider av likningen med fellesnevneren, $(x + 1)(x – 1)$, og får:

$2 = A(x – 1) + B(x + 1)$.

Denne er gyldig for alle $x$. Vi kan derfor bli kvitt $B$ ved å sette inn $x = -1$:

$2 = A(-1 – 1) + B(-1 + 1)$, som gir $A = -1$

For å bli kvitt leddet med $A$, setter vi inn $x = 1$:

$2 = A(1 – 1) + B(1 + 1)$, som gir $B = 1$

Vi har altså funnet ut at

$\frac{\displaystyle2}{\displaystyle x^2 – 1} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x + 1} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x – 1}$

Derfor er

$\int \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x^2 – 1} \; dx = \int \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x + 1} \; dx + \int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x – 1} \; dx =\\
– \ln |x+1| + \ln |x – 1| + C = \ln \frac{\displaystyle |x-1|}{\displaystyle |x+1|} + C$
.

Delbrøkoppspaltning gir oss altså en metode til å løse integraler på formen

$\fbox {$ \int \frac{\displaystyle p(x)}{\displaystyle q(x)} \; dx$}$

der $p(x)$ og $q(x)$ er polynomer.

Metoden forutsetter at nevner er av høyere grad enn teller. Hvis dette ikke er tilfelle, må vi først utføre en polynomdivisjon.

Eksempel 4:

Vi ønsker å beregne integralet

$\int \frac{\displaystyle x^2 + x – 3}{\displaystyle x^2 – 4} \; dx$

Her er ikke nevner av høyere grad enn teller, så vi utfører først en polynomdivisjon:

$\big(x^2 + x – 3 \big) : \big(x^2 – 4 \big) = 1 + \frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle x^2 – 4} \\
\underline{\big(x^2 \;\;\;\;\; \; – 4 \big)} \\
\;\; \;\;\;\;\;\;\; \, x + 1$

Vi kan altså omskrive integralet til

$\int \frac{\displaystyle x^2 + x – 3}{\displaystyle x^2 – 4} \; dx = \int 1 \; dx + \int \frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle x^2 – 4} \; dx$

I den nye brøken er nevner av større grad enn teller, og vi kan splitte den opp ved hjelp av delbrøkoppspaltning. Vi skal ha:

$\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle x^2 – 4} = \frac{\displaystyle A}{\displaystyle x + 2} + \frac{\displaystyle B}{\displaystyle x – 2}$

Vi multipliserer begge sider med fellesnevneren $ (x + 2)(x – 2)$ og får:

$x + 1 = A(x – 2) + B(x + 2)$

Vi setter inn $x = -2$ for å få $B$ til å falle bort:

$-2 + 1 = A(-2 – 2) + B(-2 + 2)$, altså $A = {\large \frac{1}{4}}$

Så setter vi inn $x = 2$ for å få $A$ til å falle bort:

$2 + 1 = A(2 – 2) + B(2 + 2)$, altså $B = {\large \frac{3}{4}}$

Og kan nå beregne integralet

$\int \frac{\displaystyle x^2 + x – 3}{\displaystyle x^2 – 4} \; dx = \int 1 \; dx + {\large \frac{1}{4}} \int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x + 2} \; dx + {\large \frac{3}{4}} \int \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x – 2} \; dx = x + {\large \frac{1}{4}} \ln |x + 2| + {\large \frac{3}{4}} \ln |x – 2| + C$

Vi kan oppsummere metoden med oppspalting i to delbrøker slik:

  1. Dersom nevner ikke er av større grad en teller, utfør polynomdivisjon.
     
  2. Faktoriser nevner, og splitt opp i delbrøker der hver brøk har en av faktorene i nevner og en konstant i teller. Konstantene representeres med bokstavene $A$ og $B$.
     
  3. Finn konstantene én for én ved å sette inn verdier for $x$ som gjør at den andre konstanten faller bort.

Oppgave 1:

Bruk delbrøkoppspalting til å beregne integralene

  1. $\int \frac{\displaystyle 5x – 3}{\displaystyle (x + 1)(x -3)} \; dx$
     
  2. $\int \frac{\displaystyle 5x – 7}{\displaystyle x^2 – 3x +2} \; dx$
     
  3. $\int \frac{\displaystyle x^2 + 8}{\displaystyle x^2 – 5x + 6} \; dx$

​Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia