Integrasjon ved substitusjon

Som vi nevnte i artikkelen om ubestemte integraler, har vi ingen "produktregel" når vi integrerer, og å integrere et produkt kan derfor være vanskelig. Men i et spesialtilfelle der den ene faktoren i er produkt er den deriverte til kjernen av den andre, eventuelt multiplisert med en konstant, kan vi integrere ved hjelp av substitusjonsmetoden.

Vi starter med en ny måte å skrive den deriverte på:

$y' = \frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx}$

Eksempel 1:

Vi har

$y = 3x^2$

Da kan vi uttrykke den deriverte som

$\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle dx} = 6x$

$dy$ kan vi tenke på som endring i $y$, og $dx$ som endring i $x$. Så brøken sier egentlig hvor fort $y$ endrer seg i forhold til $x$, med andre ord stigningstallet, den deriverte.

Men $dx$ her er egentlig samme $dx$ som brukes bak integrasjonstegnet for å angi hvilken variabel vi integrerer med hensyn på. Og vi kan manipulere $dx$ som en hvilken som helst annen variabel.

Eksempel 2:

La oss si at vi skal beregne følgende integral:

$\int (x^4 -1)^2 \cdot 4x^3 \; dx$

Vi erstatter – substituerer – uttrykket inni parentesen med $g$:

$g = x^4 -1$

Da blir den deriverte

$\frac{\displaystyle dg}{\displaystyle dx} = 4x^3$

Eller, med leddene byttet rundt

$dx = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4x^3} \; dg$

Hvis vi nå substituerer $g$ og $dg$ inn i det opprinnelige integralet, det vil si bytter ut $x^4 -1$ med $g$ og $dx$ med $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4x^3} \; dg$, får vi:

$\int g^2 \cdot 4x^3 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4x^3} \; dg$

Leddene med $x$ kan forkortes bort, og vi står igjen med

$\int g^2 \; dg = {\large \frac{1}{3}} g^3 + C$

Så erstatter vi $g$ med det opprinnelige uttrykket:

$g = x^4 – 1$

og får

${\large \frac{1}{3}} (x^4 – 1)^3 + C$

Hvis vi i CAS i GeoGebra skriver Integral((x^4 -1)^2 * 4x^3), ser vi at utregningen er riktig.

Substitusjon er egentlig å bruke kjerneregelen for derivasjon baklengs, og kan som nevnt benyttes til å løse integraler med flere faktorer, der en av faktorene er den deriverte til kjernen av en annen.

Metoden kan oppsummeres slik:

$\fbox {$\int\ f\big(g(x)\big) \cdot g'(x) \; dx = \int f(g) \; dg$}$

ScreencastSe film med eksempel på integrasjon ved substitusjon
 

NB! I denne filmen brukes $u$ i stedet for $g$ som substitusjonsvariabel.

Oppgave 1:

Bruk substitusjon til å beregne integralet $\int (x^2 + 1)^3 \, 2x \; dx$

Se løsningsforslag

Substitusjon i bestemte integraler

Dersom vi skal beregne et bestemt integral ved substitusjon kan vi enten

  1. Først beregne det ubestemte integralet og deretter sette inn integrasjonsgrensene. Da setter vi inn de opprinnelige integrasjonsgrensene etter at vi har kvittet oss med $g$ og fått tilbake $x$,
    eller
  2. Sette inn integrasjonsgrensene med en gang. Da må vi konvertere integrasjonsgrensene i forhold til substitusjonsvariabelen, $g$.

Eksempel 3:

Vi skal beregne $\int\limits_0^1 \frac{\displaystyle 8x}{\displaystyle 2x^2 + 3} \; dx$

Vi setter $g = 2x^2 + 3$ og får $\frac{\displaystyle dg}{\displaystyle dx} = 4x$, altså $dx = \frac{\displaystyle dg}{\displaystyle 4x}$.

Vi ser først på metode 1, og beregner det ubestemte integralet:

$\int \frac{\displaystyle 8x}{\displaystyle 2x^2 + 3} \; dx = \int \frac{\displaystyle 8x}{\displaystyle g} \cdot \frac{\displaystyle dg}{\displaystyle 4x} = \int \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle g} \; dg = 2 \ln |g| + C = 2 \ln |2x^3 + 3| + C$

Så setter vi de opprinnelige integrasjonsgrenene inn i svaret:

$\int\limits_0^1 \frac{\displaystyle 8x}{\displaystyle 2x^2 + 3} \; dx = \big[2 \ln |2x^3 + 3| \big]_0^1 = 2 \ln |2 + 3| – 2 \ln |3| = 2 \ln 5 – 2 \ln 3 = \ln 5^2 – \ln 3^2 = \ln \frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 9}$

Så metode 2:

Vi har $g = 2x^2 + 3$. For å finne de nye integrasjonsgrensene, må vi sette de opprinnelige integrasjonsgrensene, $x = 0$ og $x = 1$ inn i uttrykket for $g$:

Nedre: $g = 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$

Øvre: $g = 2 \cdot 1^2 + 3 = 5$

Og vi får:

$\int\limits_3^5 \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle g} \; dg = \big[2 \ln |g| \big]_3^5 = 2 \ln 5 – 2 \ln 3 = \ln \frac{\displaystyle 25}{\displaystyle 9}$

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i det du gjorde i oppgave 1, og finn $\int\limits_0^1 (x^2 + 1)^3 \, 2x \; dx$ ved

  1. Å sette integrasjonsgrensene inn i det endelige ubestemte integralet.
     
  2. Å sette integrasjonsgrensene inn i integrasjonsuttrykket for $g$.

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T., Hashemi A.M. & Hole A. (2013). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia