Intervaller

I artiklene om algebra blir vi kjent med forskjellige typer tall. I artiklene om funksjoner skal vi imidlertid bare arbeide med reelle tall. De reelle tallene er de vi er vant med fra dagliglivet, både hele tall og desimaltall, for eksempel $4$, $-2$, $5{,}67$ og $\sqrt{2}$.

Tallene plasserer vi langs ei tallinje, som vist under.

En tallinje

De reelle tallene har orden, det vil si at vi kan sortere dem etter plassen deres på tallinja. Jo lenger til høyre på tallinja, jo større tall. Det finnes seks måter å relatere størrelsen mellom to tall, $a$ og $b$, på:

  • $a \lt b$. Tallet $a$ er mindre enn tallet $b$.
     
  • $a \le b$. Tallet $a$ er mindre eller lik tallet $b$.
     
  • $a = b$. Tallet $a$ er lik tallet $b$.
     
  • $a \ne b$. Tallet $a$ er ikke lik tallet $b$.
     
  • $a \gt b$. Tallet $a$ er større enn tallet $b$.
     
  • $a \ge b$. Tallet $a$ er større eller lik tallet $b$.

Et intervall er et stykke av tallinja, for eksempel intervallet mellom $2$ og $5$. Et intervall kan være lukket – da er begge endepunktene med, åpent – da er ingen av endepunktene med, eller halvåpent – da er det ene endepunktet med, men ikke det andre. Lukket intervallgrense angis med klammeparentes, $[]$, åpen intervallgrense angis med vinkelparentes, $\langle \rangle$.

For et intervall fra $a$ til $b$ kan vi ha:

  • $[a, b]$. Lukket intervall, både $a$ og $b$ er med. Intervallet består av alle reelle tall, $x$, som er slik at $a \le x \le b$.
     
  • $\langle{a, b}\rangle$. Åpent intervall, verken $a$ eller $b$ er med. Intervallet består av alle reelle tall, $x$, som er slik at $a \lt x \lt b$.
     
  • $[a, b \rangle$. Halvåpent intervall, $a$ er med, men ikke $b$. Intervallet består av alle reelle tall, $x$, som er slik at $a \le x \lt b$.
     
  • $\langle a, b]$. Halvåpent intervall, $b$ er med, men ikke $a$. Intervallet består av alle reelle tall, $x$, som er slik at $a \lt x \le b$.

Det kan også være at et intervall strekker seg mot uendelig. Da bytter vi ut endepunktet med uendelig-symbolet, $\infty$. Sammen med uendelig-symbolet bruker vi alltid åpent intervallsymbol, $\langle$ eller $\rangle$, fordi uendelig ikke er noe tall vi kan inkludere.

Eksempel 1:

$[2, 4]$ angir et intervall der det minste tallet er $2$ og det største $4$. NB! Det betyr ikke at intervallet består av tallene $2$, $3$ og $4$. Det inneholder uendelig mange reelle tall, for eksempel $2{,}25$ og $3{,}86$.

Eksempel 2:

$\langle 2, 4\rangle$ angir et intervall som består av alle reelle tall som er større enn $2$ og mindre enn $4$. Intervallet har ikke noe minste eller største tall.

Eksempel 3:

$\langle -\infty, 4\rangle$ angir et intervall som består av alle reelle tall som er mindre enn $4$. Intervallet har ikke noe minste eller største tall.

Eksempel 4:

$[2, \infty \rangle$ angir et intervall som består av alle reelle tall som er større eller lik $2$. Intervallet har ikke noe største tall, men minste tall er $2$.

Et intervall kan vi også tenke på som en mengde, mengden av de tallene som ligger mellom intervallgrensene. Mengden av alle reelle tall kan vi tenke på som et intervall som strekker seg fra minus uendelig til uendelig, $\langle -\infty, \infty \rangle$.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia