Introduksjon til sannsynlighet

Hvis vi slipper en stein mange ganger fra 1 meters høyde og måler hvor lang tid det går før den treffer bakken, vil vi få omlag samme resultat hver gang, ca. 0,45 sekunder. Det vil kunne være små variasjoner pga. endring i luftmotstand, men de vil være ubetydelige. Dette er et eksempel på et deterministisk fenomen, der resultatet er forutsigbart, og blir det samme hver gang. Kaster vi derimot en terning, vil vi aldri på forhånd kunne vite om vi får 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Selv om terningens bevegelse er styrt av faste, fysiske lover, er disse så sammensatte og uoversiktlige at det er umulig å regne ut hva resultatet blir.

Vi betrakter derfor terningkast som et stokastisk fenomen, der resultatet ikke kan forutsies fra gang til gang, men allikevel vil oppvise lovmessighet når forsøket gjentas. For over tid vil vi se at vi får omlag like mange enere som toere som treere som firere som femmere som seksere. Dette er fordi sannsynligheten for 1, 2, 3, 4, 5 og 6 er den samme, nemlig ${\large \frac{1}{6}}$, hvis terningen ikke er jukset med.

Å beregne sannsynlighet dreier seg om å kunne finne og kombinere slike lovmessigheter.

Sannsynlighet er også tett forbundet med statistikk. Hvis vi for eksempel oppdager at vi i løpet av 1000 terningkast har fått 10 % flere seksere enn andre verdier, kan vi bruke statistisk analyse for å avgjøre hvor sannsynlig det er at terningen er jukset med.

Når mennesker skal ta avgjørelser, er det mange som handler ut fra det de kaller "magefølelsen", det vil si en intuitiv, men ubegrunnet fornemmelse av hva som er riktig. Når vi skal anslå sannsynligheter, viser det seg imidlertid at magefølelsen ofte fungerer svært dårlig. I oppgavene under blir du bedt å gjøre vurderinger basert på magefølelsen. Tenk gjennom problemstillingene og ta en avgjørelse. Etterpå kan du gå til løsningsforslaget og sjekke om du har vurdert riktig. Siden vi ikke har lært noe om å beregne sannsynligheter ennå, får du bare svaret og en intuitiv forklaring, ingen utregninger. Oppgavene vil senere bli repetert der de temamessig hører hjemme.

Oppgave 1:

En kollega foreslår et veddemål. Dere skal stille dere opp ved en vei og skrive ned de to siste sifrene på registreringsnummeret til de 20 første bilene som passerer. Han vedder tusen kroner på at minst to biler vil ha samme to sluttsiffer. Du vedder vel imot? Det finnes jo 100 muligheter, alt fra 00 til 99, og med bare 20 biler må vel sannsynligheten for at to har like siffer bare være 20 %?

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Du er med i gameshowet til Monty Hall, og står foran tre lukkede dører. Bak en av dørene er en bil, som du vinner hvis du velger riktig dør. Bak de andre dørene er det ingen ting. Du velger en dør. Monty, som vet hvor bilen er, åpner en av dørene der det ikke er noe. Så får du muligheten til å bytte dør. Men er det noen vits i å gjøre det? Du har tatt et valg, og sjansene er vel 50-50?

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

En sykdom har brutt ut i befolkningen der du bor. Myndighetene regner med at bare 1 av 10 000 er smittet, men sykdommen er dødelig uten behandling, så alle får tilbud om å ta en test. Testen er 99 % sikker, den konkluderer altså bare feil i 1 % av alle tilfeller. Du tar testen, og til din skrekk er den positiv. Du bor imidlertid i et land med begrenset offentlig helsetilbud, så du må betale for behandlingen selv. Den er dyr, og du må nok selge huset for å få råd. Men det er vel 99 % sannsynlig at du er syk, så du har vel ikke noe valg?

Se løsningsforslag

ScreencastSe film om introduksjon til sannsynlighet

Kilder:

  • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
  • Røislien J., Nome M. (2011). Siffer. Versal forlag
  • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk 
  • Wikipedia