Inverse funksjoner

En invers funksjon er en funksjon som reverserer virkningen av en annen funksjon.

Hvis vi for eksempel har at $y = f(x)$, og $g$ er den inverse funksjonen til $f$, vil vi ha at $g(y) = x$

Den inverse til en funksjon, $f$, skrives vanligvis som $f^{-1}$.

Vi har altså at $f^{-1}\big(f(x)\big) = x$.

I noen tilfeller kan vi finne en funksjons inverse ved enkle regneoperasjoner.

Eksempel 1:

Vi kjøper en del epler til 10 kr pr. kilo. Da kan vi si at totalprisen er gitt ved funksjonen $f(x) = 10x$, der $x$ er antall kilo. For enkelhets skyld skriver vi i stedet $y = 10x$. Løser vi likningen med hensyn på $x$, får vi $x = \large \frac{y}{10}$. Så den inverse funksjonen er $f^{-1}(y) = \large \frac{y}{10}$.

Den inverse funksjonen uttrykker hvor mange kilo epler vi kan få for $y$ kroner.

Vi ser at de to funksjonene opphever hverandre, for
$f^{-1}\big(f(x)\big) = {\large \frac{f(x)}{10}} = {\large \frac{10x}{10}} = x$.

Eksempel 2:

Distansen en ball i fritt fall beveger seg i løpet av $x$ sekunder er, når vi ser bort fra luftmotstand, gitt ved ca. $g(x) = 5x^2$. Med y-notasjon: $y = 5x^2$. Løser vi likningen for $x$, får vi $x = \pm \sqrt{\large \frac{y}{5}}$. Den inverse funksjonen forteller oss hvor lang tid en ball bruker på å falle en distanse på $x$ meter, og siden vi ikke kan ha negative svar, kan vi velge bort den negative løsningen. Så den inverse funksjonen er $g^{-1}(y) = \sqrt{\large \frac{y}{5}}$.

Vi ser at de to funksjonene opphever hverandre, for
$g^{-1}\big(g(x)\big) = {\large \sqrt \frac{g(x)}{5}} = {\large \sqrt \frac{5x^2}{5}}  = \sqrt{x^2} = x$.

Grafene under viser $f$ og $f^{-1}$ fra eksempel 1 i blått, $g$ og $g^{-1}$ fra eksempel 2 i rødt. Her er også linja $y = x$ tegnet med svart. Vi ser at grafen til en funksjon og grafen til den inverse funksjonen er symmetriske om denne linja. Det er helt logisk, for i den inverse funksjonen har jo bare den horisontale $x$ og den vertikale $y$ byttet plass.

To funksjoner og deres inverse

Definisjonsmengden til en funksjon blir verdimengden til den inverse funksjonen og omvendt.
$D_f = V_f^{-1}$ og $V_f = D_f^{-1}$.

 

I artikkelen om funksjoner formelt  så vi at en funksjon var en relasjon mellom definisjonsmengden og verdimengden, der hvert element i definisjonsmengden ble koplet til ett og bare ett element i verdimengden. Men det var ikke noe i veien for at flere elementer i definisjonsmengden ble koplet til samme element i verdimengden. Dette er for eksempel tilfelle i grafen under, som viser $f(x) = x^3 + 2x^2 – 2x + 1$. Her er for eksempel både x-verdiene i $A$, $B$ og $C$ koplet til samme funksjonsverdi, $4$.

Ikke-injektiv funksjon

 

Bytter vi om $x$ og $y$, det vil si at vi speiler grafen om linja $x = y$, får vi en graf som ser slik ut:

Ikke-injektiv funksjon speilet

 

Nå er $x = 4$ koplet til y-verdiene i både $A$, $B$ og $C$, og vi har ikke den entydigheten som kreves av en funksjon. Det betyr at funksjonen $f(x) = x^3 + 2x^2 – 2x + 1$ ikke har noen invers. Heller ikke funksjonen i eksempel 2 ville hatt noen invers hvis vi ikke hadde ekskludert negativer verdier fra definisjonsmengden. For å ha en invers, må en funksjon aldri kople mer enn ett element i definisjonsmengden til samme verdi i verdimengden, den må være injektiv. Grafisk betyr det at grafen ikke kan bølge opp og ned slik vi så i grafen over. Den må enten stige hele tiden eller synke hele tiden. Vi sier at den må være strengt monoton.

Oppgave 1:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 5x + 3$.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Begrunn om følgende funksjoner har en invers eller ikke:

  1. $f(x) = x^2, D_f = \mathbb R$
     
  2. $f(x) = x^2, D_f = [-1, 1]$
     
  3. $f(x) = x^2, D_f = \langle 0, \infty \rangle$
     
  4. $f(x) = x^3, D_f = \mathbb R$

Se løsningsforslag

I artikkelen om trigonometriske funksjoner så vi at de trigonometriske funksjonene også har inverser, som vi kunne skrive som $\sin^{-1}$$\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$. Bruker vi en trigonometrisk funksjon på en vinkel, får vi en verdi, og hvis vi bruker den tilhørende inverse funksjonen på denne verdien, får vi tilbake vinkelen. For eksempel er $\sin 30^\circ = 0{,}5$ og $\sin^{-1}0{,}5 = 30^\circ$.

I algebra-artikkelen om logaritmer nevnes det at eksponentiering og logaritmer opphever hverandre. Det betyr at en eksponentialfunksjon og en logaritmefunksjon basert på samme grunntall er inverse funksjoner.

Bildet under viser grafene til funksjonene $e^x$ og $\ln x$ i blått, $10^x$ og $\log x$ i grønt, og $2^x$ og $\log_2 x$ i oransje. Linja $y = x$ er tegnet inn i rødt.

Grafer til eksponentialfunskjoner og logaritmefunksjoner

Vi ser at grafen til eksponentialfunksjonen $e^x$ og logaritmefunksjonen $\ln x$ ligger symmetrisk om linja $y = x$. Det samme gjelder $10^x$ og $\log x$, og $2^x$ og $\log_2 x$. Det er fordi disse parene er inverse funksjoner av hverandre. Hvis vi for eksempel har $f(x) = e^x$, er $f^{-1}(x) = \ln x$. Generelt, hvis $f(x) = a^x$, er $f^{-1} x = \log_a x$.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Selvik, B. K. (2007). Algebra og funksjonslære. Caspar forlag
  • Wikipedia