Kombinere derivasjonsregler

Vi har i andre artikler lært å derivere forskjellige typer funksjoner, lært å derivere uttrykk som består av summer, differanser, produkter og kvotienter av disse funksjonene og funksjoner inni funksjoner. Ofte vil vi imidlertid støte på uttrykk som krever bruk av flere regler etter hverandre, eller bruk av samme regel flere ganger. Vi trenger ikke lære noe nytt for å gjøre dette, det holder å bruke de reglene vi allerede kan på en systematisk måte. Det som kan være krevende er å finne ut rekkefølgen de skal brukes i. Et greit prinsipp er da, på samme måte som ved kjerneregelen, å se etter uttrykk som vi har regler for å derivere.

Eksempel 1:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = x \cdot \ln 2x$

Dette er et produkt, som vi kjenner regelen for å derivere:

$f'(x) = x' \cdot \ln 2x + x \cdot (\ln 2x)'$

Men vi har ingen regel for å derivere $\ln 2x$. Her må vi bruke kjerneregelen:

Vi har at den ytre funksjonen er $f(g) = \ln g$ og den indre funksjonen er $g(x) = 2x$.

Kjerneregelen gir

$(\ln 2x)' = (\ln g)' \cdot (2x)' = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle g} \cdot 2 = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$

Så vi har at

$ f'(x) = x' \cdot \ln 2x + x \cdot (\ln 2x)' = 1 \cdot \ln 2x + x \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x} = \ln 2x + 1$

Eksempel 2:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = e^{\large \sin x^2}$

Her må vi bruke kjerneregelen to ganger etter hverandre. For å holde de to kjernene fra hverandre, kaller vi dem $g$ og $h$, der $g = \sin h$ og $h = x^2$.

$f'(x) = (e^g)' \cdot (\sin x^2)' = (e^g)' \cdot (\sin h)' \cdot (x^2)' = \\
e^g \cdot \cos h \cdot 2x= e^{\large \sin x^2} \cdot \cos x^2 \cdot 2x$

Oppgave 1:

Deriver funksjonen $f(x) = \sin 2x \cos 2x$

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Deriver funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle e^x \ln x}{\displaystyle x^2}$

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Uttrykket $\frac{\displaystyle u}{\displaystyle v}$, der $u$ og $v$ er to vilkårlige funksjoner, kan skrives som $u \cdot v^{-1}$. Benytt dette, produktregelen og kjerneregelen til å utlede kvotientregelen, altså at

$\Big( \frac{\displaystyle u}{\displaystyle v} \Big)' = \frac{\displaystyle u'v – uv'}{\displaystyle v^2}$

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia