Kombinere utfall

Snitt og union

I artikkelen om begreper i sannsynlighet ble vi kjent med begrepet mengder, som vi symboliserte med Venn-diagrammer.

I eksempel 5 i denne artikkelen så vi på tre mengder, $E = \{2, 4, 6, 8 \}$, $O = \{1, 3, 5, 7, 9 \}$ og $P = \{2, 3, 5, 7 \}$, som vi illustrerte slik med et Venn-diagram:

Venn-diagram med overlappende mengder

Nå skal vi se hvordan vi kan kombinere mengder ved å bruke union, symbolisert med $\cup$, og snitt, symbolisert med $\cap$. Unionen av to mengder er en ny mengde som består av alle elementer som finnes i den ene, den andre, eller begge mengdene. Snittet av to mengder er en ny mengde som består av de elementene som er felles for begge mengdene.

Eksempel 1:

I figurene under er $O \cup P$ markert med grønt og $O \cap P$ markert med gult.

Illustrasjon av union av to mengder

Illustrasjon av snitt av to mengder

Eksempel 2:

Med utgangspunkt i figuren over er

  1. $O \cup E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$
     
  2. $P \cup O = \{1, 2, 3, 5, 7, 9 \}$
     
  3. $P \cap O = \{3, 5, 7 \}$
     
  4. $P \cap E = \{2 \}$
     
  5. $O \cap E = \emptyset$
    Denne mengden er tom fordi det ikke finnes noen elementer som ligger både i $E$ og $O$. Vi skjønner at det er fornuftig, fordi $E$ symboliserer partall og $O$ oddetall, og det finnes ingen tall som både er partall og oddetall.

Dersom to mengder, $A$ og $B$, ikke har felles elementer, slik at $A \cap B = \emptyset$, sier vi at de er disjunkte. På engelsk "disjoint", de henger ikke sammen. I et Venn-diagram vil kurvene som representerer $A$ og $B$ da ikke overlappe. Dette er tilfelle med mengdene $O$ og $E$ i eksempel 2.

Oppgave 1:

Ta utgangspunkt i mengdene $A = \{a, b, c, d, e \}$, $K = \{b, c, d \}$ og $V = \{a, i \}$ og beregn

  1. $A \cup V$
     
  2. $A \cup K$
     
  3. $K \cup V$
     
  4. $A \cap V$
     
  5. $A \cap K$
     
  6. $K \cap V$

Se løsningsforslag

Addisjonsprinsippet

Eksempel 3:

artikkelen om begreper i sannsynlighet lærte vi å beregne sannsynligheten for en begivenhet ut fra prinsippet "gunstige på mulige". I eksempel 10 i denne artikkelen brukte vi dette prinsippet til å beregne sannsynlighetene for de forskjellige summene vi kunne få når vi kastet to terninger. Vi fikk:

$P(2) = P(12) = {\large \frac{1}{36}}$

$P(3) = P(11) = {\large \frac{2}{36}} = {\large \frac{1}{18}}$

$P(4) = P(10) = {\large \frac{3}{36}} = {\large \frac{1}{12}}$

$P(5) = P(9) = {\large \frac{4}{36}} = {\large \frac{1}{9}}$

$P(6) = P(8) = {\large \frac{5}{36}}$

$P(7) = {\large \frac{6}{36}} = {\large \frac{1}{6}}$

Hvis vi nå lurer på hva som er sannsynligheten for å få "sum 11 eller mer", kan vi telle opp antall "gunstige", det vil si enkeltutfall som gir 11 eller 12, og dividere på det totale antall enkeltutfall.  Men vi kan også beregne sannsynligheten uten å se på enkeltutfallene, ved å i stedet summere sannsynligheten for å få 11 og sannsynligheten for å få 12:

$P(\{11, 12 \}) = {\large \frac{1}{18}} + {\large \frac{1}{36}} = {\large \frac{1}{12}}$.

Hvis vi lar $X$ betegne summen av antall øyne, kan vi i stedet for $P(\{11, 12 \})$ skrive $P(X \ge 11)$.

I eksempel 3 brukte vi addisjonssetningen, som sier at når en hendelse består av to utfall som ikke kan inntreffe samtidig, er sannsynligheten for hendelsen lik summen av sannsynlighetene for de to utfallene.

I artikkelen om begreper i sannsynlighet sa vi at en hendelse består av ett eller flere utfall. I mengde-terminologi kan vi si at en hendelse er en delmengde av utfallsrommet som består av en union av utfall. Vi sier også at utfall som ikke kan inntreffe samtidig er disjunkte.

Hvis $A$ og $B$ er disjunkte utfall, kan vi derfor uttrykke addisjonssetningen, slik:

$\fbox{Addisjonssetningen for disjunkte utfall: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$}$

For tre disjunkte utfall vil vi ha at $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$, og slik kan vi utvide med så mange disjunkte utfall vi vil. Vi finner sannsynligheten for en hendelse ved å summere sannsynlighetene for utfallene den består av.

Oppgave 2:

I oppgave 3 i artikkelen om begreper i sannsynlighet beregnet vi sannsynlighetene for å få henholdsvis 0, 1, 2 og 3 kron ved kast med 3 mynter, og fant at $P(0) = P(3) = {\large \frac{1}{8}}$$P(1) = P(2) = {\large \frac{3}{8}}$.

Bruk dette til å beregne sannsynligheten for "minst én kron", altså $P(X \ge 1)$, der $X$ er antall kron, ved kast med 3 mynter.

​Se løsningsforslag

Komplementprinsippet

En hendelse kan vi altså tenke på som en delmengde av utfallsrommet. Dette er illustrert med Venn-diagram under, der hendelsen A: "sum 11 eller mer" er markert i det totale utfallsrommet som består av summen av øyne ved et kast med to terninger.

Illustrasjon mengde med komplement

Den delen av utfallsrommet som ikke hører til delmengden $A$, det vil si ligger utenfor sirkelen, kalles As komplement, og skrives som $A^C$ eller $\overline A$.

Siden vi vet at den totale sannsynligheten i hele utfallsrommet er 1, vet vi at sannsynligheten for det som ikke inngår i $A$ er $1 – P(A)$. Dette uttrykket kalles komplementsetningen:

$\fbox{Komplementsetningen: $P(A^C) = 1 – P(A)$}$

Eksempel 4:

I eksempel 3 beregnet vi at sannsynligheten for å få "sum 11 eller mer" ved kast med to terninger var $P(X \ge 11) = {\large \frac{1}{12}}$.
Nå vil vi finne ut hva sannsynligheten for å få "sum 10 eller mindre" er. Det kan vi beregne ved å bruke addisjonssetningen, $P(X \le 10) = P(2) + P(3) + \dots + P(10) = {\large \frac{11}{12}}$.
Men for å unngå denne lange utregningen kan vi i stedet bruke komplementsetningen, fordi "sum 11 eller mer" og "sum 10 eller mindre" er komplementære hendelser. Vi vil enten få det ene eller det andre. Så $P(X \le 10) = 1 – P(X \ge 11) = 1 – {\large \frac{1}{12}} = {\large \frac{11}{12}}$.

Oppgave 3:

I oppgave 2 fant vi sannsynligheten for "minst én kron" ved kast med 3 mynter ved å addere sannsynlighetene for 1, 2 eller 3 kron. Bruk komplementsetningen til å beregne det samme ved å benytte at sannsynligheten for "ingen kron" er ${\large \frac{1}{8}}$.

​Se løsningsforslag

Ikke-disjunkte utfall

Hvis vi vil finne sannsynligheten for hendelsen "minst én sekser" ved et kast med to terninger, kan vi telle opp utfallene som gir 1 eller 2 seksere, nemlig 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 6-6, 6-5, 6-4, 6-3, 6-2, og 6-1, i alt 11 utfall. Totalt har vi 36 mulige utfall, så regelen om "gunstige på mulige" gir at $P(\text{minst én sekser}) = {\large \frac{11}{36}}$.

Men hva om vi prøver å bruke addisjonssetningen og sier at sannsynligheten for "minst én sekser" er lik sannsynligheten for "seks på første terning" pluss sannsynligheten for "seks på andre terning"? Da får vi ${\large \frac{1}{6}} + {\large \frac{1}{6}} = {\large \frac{1}{3}}$, som ikke stemmer med det vi fant over.

Utvider vi ideen til kast med flere terninger, skjønner vi at noe er galt. Kaster vi seks terninger, vil jo sannsynligheten for "minst én sekser" bli $6 \cdot {\large \frac{1}{6}} = 1$. Det tilsier at vi helt sikkert får minst en sekser hvis vi kaster seks terninger, noe som selvfølgelig er galt. Trekker vi det enda lenger og kaster sju terninger, blir sannsynligheten større enn 1, noe som er meningsløst.

Problemet er at de to utfallene "seks på første terning" og "seks på andre terning" ikke er disjunkte. Dette er illustrert med Venn-diagrammet under, der utfall A er "seks på første terning" og utfall B er "seks på andre terning". Vi ser at de to overlapper, vi kan nemlig få seks både på første og andre terning.

Venn diagram som illustrerer seksere ved to terningkast

Regner vi "gunstige på mulige" med seks gunstige i første kast pluss seks gunstige i andre kast, ser vi at 6-6, altså seks i både første og andre kast er tatt med to ganger. 6-6 er ett av 36 mulige utfall, så sannsynligheten for å få 6-6 er ${\large \frac{1}{36}}$. Tar vi hensyn til at 6-6 er regnet med to ganger, og trekker sannsynligheten fra én gang, får vi at sannsynligheten for minst én sekser blir ${\large \frac{1}{6}} + {\large \frac{1}{6}} – {\large \frac{1}{36}} = {\large \frac{11}{36}}$, som er det samme som vi fikk ved å telle opp enkeltutfallene.

Utfall som overlapper er ikke disjunkte, derfor gjelder ikke addisjonssetningen for disjunkte utfall. Men det finnes en utvidet variant som alltid gjelder:

$\fbox{Addisjonssetningen: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$}$

Sannsynligheten for en hendelse som består av utfallene $A$ og $B$ er lik sannsynligheten for at $A$ inntreffer pluss sannsynligheten for at $B$ inntreffer minus sannsynligheten for at de inntreffer samtidig. Hvis $A$ og $B$ er disjunkte, blir $P(A \cap B) = 0$, og vi er tilbake i addisjonssetningen for disjunkte utfall.

Eksempel 5:

Vi skal beregne sannsynligheten for å få enten en hjerter eller et ess når vi trekker et kort fra en kortstokk med 52 kort.

I en kortstokk er 13 kort hjerter, 4 er ess, og 1 er både hjerter og ess. Kaller vi utfallet "hjerter" for $A$ og utfallet "ess" for $B$ har vi derfor ut fra "gunstige på mulige" at

$P(A) = {\large \frac{13}{52}} = {\large \frac{1}{4}}$

$P(B) = {\large \frac{4}{52}} = {\large \frac{1}{13}}$

$P(A \cap B) = {\large \frac{1}{52}}$

Addisjonssetningen gir

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{13}} – {\large \frac{1}{52}} = {\large \frac{4}{13}}$.

Sjansen for å få hjerter eller ess er ${\large \frac{4}{13}} \approx 0{,}31$.

Oppgave 4:

I en slags forenklet rulett skal du satse på en av rutene i spillet vist under.
En forenklet rulett
Så kan du velge å spille på:
"Tall". Gevinst på riktig tall.
"Farge". Gevinst på riktig farge.
"Tall og farge". Gevinst på både riktig tall og riktig farge samtidig.
"Tall eller farge". Gevinst på enten riktig tall eller riktig farge.

Hva er sannsynligheten for å vinne i hvert av de fire tilfellene?

​Se løsningsforslag

​Mens addisjonssetningen for disjunkte utfall lett lar seg utvide fra to utfall til et vilkårlig antall, er ikke det samme tilfelle for den generelle. For tre ikke-disjunkte utfall har vi

$\fbox{$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A \cap B) – P(A \cap C) – P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$}$

Dette er illustrert i figuren under:

Venn-diagram med tre overlappende mengder

Her ser vi at vi trekker fra arealene som overlapper mellom to utfall, altså mellom A og B, mellom A og C og mellom B og C. Men når vi har gjort det, har vi trukket fra arealet der alle tre hendelsene overlapper en gang for mye, så det må legges til igjen.

Med økende antall utfall øker kompleksiteten raskt. Men som vi skal se i artikkelen om artikkelen om sammensatte hendelser, kan vi ofte unngå disse beregningene ved å bruke komplementsetningen.

Kilder:

  • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
  • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
  • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk 
  • Wikipedia