Komplekse tall

Et komplekst tall er en utvidelse av tallsystemet som vi får bruk for hvis vi ønsker at andregradslikningen $x^2 = a$ skal ha en løsning for alle $a$. Dette får vi ikke til med reelle tall hvis $a$ er negativ, fordi det ikke finnes noen reelle tall som gir et negativt resultat når det multipliseres med seg selv.

For å danne komplekse tall, introduserer vi den imaginære enheten$i$, slik at $i^2 = -1$. Da vil likningen $x^2 = a$ ha en løsning også når $a$ er et negativt tall. For eksempel vil $x^2 = -9$ ha løsningene $x = 3i$ og $x = -3i$, fordi $3i \cdot 3i = 9i^2 = 9(-1) = -9$ og $-3i (-3i) = 9i^2 = 9(-1) = -9$.

For å angi et vilkårlig komplekst tall brukes gjerne bokstaven $z$.

Som for reelle tall utføres multiplikasjon og divisjon før addisjon og subtraksjon hvis ikke noe annet er angitt med parenteser.

Som for reelle tall gjelder også den kommutative lov, assosiative lov og distributive lov for addisjon og multiplikasjon. Det vil si at for to vilkårlige komplekse tall, $z_1$ og $z_2$, vil

$\fbox{$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$}$

$\fbox{$z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot  z_1$}$

$\fbox{$(z_1 + z_2 ) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$}$

$\fbox{$(z_1 \cdot z_2 ) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$}$

$\fbox{$z_1( z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3)$}$

Komplekse tall består av en reell del og en imaginær del, og kan skrives på formen $a + bi$, der $a$ og $b$ er reelle tall. For eksempel $3 + 5i$, $2 – 4i$ og $-2 + i$. Et reelt tall kan vi tenke på som et komplekst tall der den imaginære delen mangler.

Komplekse tall skiller seg fra reelle ved at de ikke har orden. Det gir altså ikke mening å si at $z_1 < z_2$ eller $z_1 > z_2$. Sammenligner vi to komplekse tall, kan det godt være at det ene har størst reell del, mens det andre har størst imaginær del. For eksempel $3 + 2i$ og $2 + 3i$. Vi kan ikke si at det ene er større enn det andre.

Til et komplekst tall hører en konjugert. Den konjugerte har samme reelle del, den imaginære delen har samme tallverdi, men omvendt fortegn. For eksempel er den konjugerte til $3 + 5i$ lik $3 – 5i$, den konjugerte til $2 – 4i$ lik $2 + 4i$ og den konjugerte til $-2 + i$ lik $-2 – i$. Den konjugerte til et vilkårlig komplekst tall, $z$, skrives som $\overline z$.

De reelle tallene framstiller vi vanligvis ved å tegne dem på ei tallinje. Til komplekse tall kan vi bruke et kartesisk koordinatsystem, der den reelle delen angis langs x-aksen, og den imaginære delen langs y-aksen. Dette kalles også gjerne det komplekse planet.

Komplekst tall vis i kartesisk koordinatsystem

Bildet under viser tallene $z_1 = 3 + 5i$, $z_2= 2 – 4i$ og $z_3 = -2 + i$, samt deres konjugerte, $\overline z_1$, $\overline z_2$ og $\overline z_3$ i det komplekse planet. Vi ser at de konjugerte ligger symmetrisk om den reelle aksen.

Komplekse tall og deres konjugerte vist i et kartesisk koordinatsystem

 

Absoluttverdi

Vi vet at reelle tall har en absoluttverdi (modulus), som består av tallet uten fortegn. Dette kan vi tenke oss som avstanden fra tallet til $0$. Hos komplekse tall angir absoluttverdien på samme måte hvor langt tallet ligger fra origo $(0+0i)$ i det komplekse planet. Absoluttverdien skrives på samme måte som for reelle tall med to loddrette streker: |z| og beregnes ved hjelp av Pytagoras. For et komplekst tall $z = a + bi$ er $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Eksempel 1:

$|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2}= \sqrt{25} = 5$.

Absoluttverdien er altså et reelt tall, og det gir derfor mening å si at et komplekst tall har større absoluttverdi enn et annet. For eksempel at $|z_1| > |z_2|$.

Oppgave 1:

Beregn $|1+i|$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Addere og subtrahere

Skal vi addere eller subtrahere to komplekse tall, adderer eller subtraherer vi de reelle og imaginære delene hver for seg:

$\fbox{Addisjonsregel: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$}$

$\fbox{Subtraksjonsregel: $(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i$}$

Eksempel 2:

$(5 + 3i) + (2 + 4i) = (5 + 2) + (3 + 4)i = 7 + 7i$

Eksempel 3:

$(5 + 3i) – (2 + 4i) = (5 – 2) + (3 – 4)i = 3-i$

Eksempel 4:

$(2 – i) + (-3 – 2i) = (2 + (-3)) + (-1 + (-2))i = -1-3i$

Eksempel 5:

$(2 – i) – (-3 – 2i) = (2 – (-3)) + (-1 – (-2))i = 5+i$

Oppgave 2:

Gitt $z_1 = 1 + i$ og $z_2 = 3 – 2i$. Beregn $z_1 + z_2$ og $z_1 – z_2$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Multiplisere

For å multiplisere to komplekse tall, bruker vi den vanlige regelen for å multiplisere parenteser:

$(a + bi) \cdot (c + di) = \\
(a \cdot c) + (a \cdot di) + (bi \cdot c) + (bi \cdot di) = \\
(a \cdot c) + (a \cdot di) + (bi \cdot c) – (b \cdot d) = \\
(a \cdot c – b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c)i$

I utregningen benyttet vi først at $i \cdot i = -1$, deretter ordnet vi leddene med den reelle og imaginære delen hver for seg.

Vi har altså

$\fbox{Produktregel: $(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i$}$

Eksempel 6:

$(5 + 3i)(2 + 4i) = (5 \cdot 2 – 3 \cdot 4) + (5 \cdot 4 + 3 \cdot 2)i = -2 + 26i$

Eksempel 7:

$(2 – i)(-3-2i) = (2(-3) – (-1)(-2)) + (2(-2) + (-1)(-3))i = -8 – i$

Oppgave 3:

Gitt $z_1 = 1 + i$ og $z_2 = 3 – 2i$. Beregn $z_1 z_2$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Dersom vi multipliserer et komplekst tall med tallets konjugerte, får vi et spesialtilfelle, der $a = c$ og $b = d$. Produktregelen, her illustrert med rødt for den ene faktoren, blått for den andre og lilla for kombinasjoner av de to, gir:

$({\color{red}{a}} + {\color{red}{b}}i) \cdot ({\color{blue}{a}} – {\color{blue}{b}}i) = \big({\color{red}{a}}\cdot {\color{blue}{a}} – {\color{red}{b}} ({\color{blue}{-b}}) \big) + \big({\color{red}{a}}({\color{blue}{-b}})+ {\color{red}{b}} {\color{blue}{a}} \big)i = ({\color{purple}{a^2}} + {\color{purple}{b^2}}) + ({\color{purple}{0}})i = a^2 + b^2$

Altså:

$\fbox{Produktregel for konjugerte: $z \overline z = a^2 + b^2$}$

Vi har tidligere sett at $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, det betyr at

$\fbox{$z \overline z = |z^2|$}$

Eksempel 8:

$(3 + 4i)(3 – 4i) = 3^2 + 4^2 = 25$. Det betyr at $|3+4i| = \sqrt{25} = 5$, som stemmer med det vi regnet ut i eksempel 1.

Oppgave 4:

Gitt $z = 1 + i$. Beregn $z \overline z$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Dividere

For å dividere to komplekse tall, skriver vi uttrykket som en brøk, og utvider brøken med nevnerens konjugerte.

$(a + bi) : (c + di) = \frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di}  = \frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di} \cdot \frac{\displaystyle c – di}{\displaystyle c – di} = \frac{\displaystyle (a + bi)(c – di)}{\displaystyle c^2 + d^2}$

Altså:

$\fbox{Kvotientregel: $\frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di} = \frac{\displaystyle (a + bi)(c – di)}{\displaystyle c^2 + d^2}$}$

Eksempel 9:

$\frac{\displaystyle 2 + 3i}{\displaystyle 4 + 2i} = \frac{\displaystyle (2 + 3i)(4 – 2i)}{\displaystyle 4^2 + 2^2} = \frac{\displaystyle (2 \cdot 4 – 3(-2)) + (2(-2) + 3 \cdot 4)i}{\displaystyle 20} = \frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 10} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}i$.

Her brukte vi først kvotientregelen, deretter produktregelen på de to faktorene i telleren.

Eksempel 10:

$\frac{\displaystyle 2 + i}{\displaystyle 2i} = \frac{\displaystyle (2 + i)(0 – 2i)}{\displaystyle 0^2 + 2^2} = \frac{\displaystyle (2 \cdot 0 – 1(-2)) + (2(-2) + 1 \cdot 0)i}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} – i$.

Oppgave 5:

  • Gitt $z_1 = 1+i$ og $z_2 = 3-2i$. Beregn $z_1 : z_2$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Kilder

  • Stewart, I. & Tall, D. (1993). Complex Analysis. Cambridge University Press
  • Fraleigh, F & Beauregard R.A. (1990). Linear Algebra. Addison-Wesley
  • Wikipedia