Kontinuitet og grenser

For å kunne arbeide med funksjoner på en seriøs måte, må vi forstå begrepene kontinuitet og grenser. 

Kontinuitet

At noe er kontinuerlig betyr at det er uavbrutt. Grafen til en kontinuerlig funksjon kan vi altså tegne uten å løfte blyanten.

Eksempel 1:

$f(x) = x^2 + 3x – 2$ er en kontinuerlig funksjon. Vi kan tegne grafen uten å løfte blyanten:

 

En kontinuerlig graf

 

Det motsatte av kontinuerlig er diskontinuerlig.

Eksempel 2:

En tabell som viser pris som funksjon av vekt på brev inntil 100 gram i Norge (januar 2013) er vist under.

Vekt inntil (g) 20 50 100
Pris (kr) 9,50 15 17

Denne funksjonen er diskontinuerlig, grafen kan ikke tegnes uten å løfte blyanten, den hopper fra 9,5 direkte til 15 og så direkte til 17:

En diskontinuerlig graf

Eksempel 3:

Det er ikke slik at alle funksjoner gitt ved en forskrift er kontinuerlige og alle gitt ved en tabell er diskontinuerlige. Funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle|x|}{\displaystyle x}$ er for eksempel diskontinuerlig. Grafen hopper fra $-1$ til $1$ ved $x = 0$.

 

En diskontinuerlig graf

Eksempel 4:

Den rasjonale funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}$ er en diskontinuerlig funksjon. Grafen hopper fra minus uendelig til uendelig ved $x = 0$.

 

En diskontinuerlig graf

Dårlige kalkulatorer og dataprogrammer tegner gjerne en strek mellom punktene der grafen forsvinner ut av syne vertikalt, men det er feil. De to kurvehalvdelene er helt atskilt.

Alle polynomfunksjoner er kontinuerlige for alle $x$. Det samme gjelder rasjonale funksjoner, bortsett fra for x-verdier som gjør nevneren lik $0$.

Hvis vi summerer, subtraherer eller multipliserer to kontinuerlige funksjoner, blir resultatet også en kontinuerlig funksjon. Det samme gjelder ved divisjon, bortsett fra i punkter der divisor er $0$. Også hvis vi lar en kontinuerlig funksjon være argument til en annen kontinuerlig funksjon blir resultatet også en kontinuerlig funksjon. Dette er et viktig resultat som blir mer interessant når vi har blitt kjent med flere funksjonstyper.

Oppgave 1:

Gitt funksjonene $f(x) = x^2 + 3x – 1$ og $g(x) = x^2 – 4$. Hvilke av følgende kombinasjoner vil være kontinuerlige? For hvilke x-verdier vil vi eventuelt få diskontinuiteter?

  1. $f(x) + g(x)$
     
  2. $f(x) – g(x)$
     
  3. $f(x) \cdot g(x)$
     
  4. $\frac{\displaystyle f(x)}{\displaystyle g(x)}$
     
  5. $f(g(x))$

Se løsningsforslag

Grenser

Vi starter med å studere grafen til den rasjonale funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2 + 1}$, vist under, og tar for oss en tilfeldig valgt x-verdi, $x = 1$, med den tilhørende funksjonsverdien $f(1) = 0{,}5$.

Graf for å studere grenseverdier

Vi ser at når $x$ nærmer seg $1$, nærmer funksjonsverdien seg $0{,}5$. Jo nærmere x-verdien kommer $1$, jo nærmere kommer $f(x)$ $0{,}5$. Det betyr at $0{,}5$ er en grense for $f(x)$ når $x$ nærmer seg $1$.

I matematisk terminologi brukes uttrykket lim for grense, det kommer av det latinske limes, noe vi gjenkjenner i det engelske limit. For å vise at $x$ nærmer seg en bestemt verdi, bruker vi en pil.

$\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x) = 0,5$

betyr altså at $0{,}5$ er en grense for $f(x)$ når $x$ nærmer seg $1$.

Men hva skjer med $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2 + 1}$ når $x$ blir større og større? Det kan se ut som om grafen nærmer seg $0$, allerede en plass mellom $x = 4$ og $x = 5$ faller funksjonsverdien under $0{,}05$:

Graf for å studere grenseverdier

En plass mellom $x = 31$ og $x = 32$ faller funksjonsverdien under $0{,}001$:

Graf for å studere grenseverdier

Og faktisk kommer funksjonsverdien nærmere og nærmere $0$, jo større $x$ blir. Den blir aldri $0$, men vi kan komme så nærme vi vil ved å la $x$ bli stor nok. Det betyr at $0$ er en grense for $f(x)$ når $x$ nærmer seg uendelig. Eller i lim-terminologi:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) = 0$

Oppgave 2:

Bruk terminologien med lim til å uttrykke følgende:

$1$ er en grense for $f(x)$ når $x$ nærmer seg $0$.

$0$ er en grense for $f(x)$ når $x$ nærmer seg minus uendelig.

Se løsningsforslag

Å finne grenseverdien til en sum av to funksjoner er enkelt. Vi har at hvis

$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = r$

og

$\displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = s$

vil

$\displaystyle \lim_{x \to a}\big[f(x) + g(x)\big] = r + s$

Vi finner altså grensen til en sum av to funksjoner ved å beregne summen av grensene. Tilsvarende gjelder for subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning av funksjoner.

Mer om kontinuitet

La oss se på funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle |x|}{\displaystyle x}$ igjen:

En diskontinuerlig graf

 

Hva er grenseverdien for $f(x)$ når $x$ nærmer seg $0$? Vi ser av grafen at hvis $x$ nærmer seg $0$ fra høyre, er grenseverdien $1$. Men hvis $x$ nærmer seg $0$ fra venstre, er grenseverdien $-1$. Vi sier at den høyresidige grenseverdien er $1$ og den venstresidige grenseverdien er $-1$. I lim-terminologi skriver vi det slik:

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{\large +}}f(x) = 1$

og

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{\large -}}f(x) = -1$

Vi bruker altså et plusstegn til å angi høyresidig grenseverdi, og et minustegn til å angi venstresidig grenseverdi. At disse to grensene ikke er like betyr at det ikke eksisterer noen generell grenseverdi for $f(x)$ når $x$ nærmer seg $0$. Vi ser også at funksjonen ikke er definert for $x = 0$. Dette i motsetning til funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2 + 1}$ vi også så på tidligere:

Kontinuerlig graf

 

Hvis $x$ nærmer seg $1$ fra høyre, er grenseverdien $0{,}5$. Det samme hvis $x$ nærmer seg $1$ fra venstre. Den generelle grenseverdien eksisterer altså. Funksjonsverdien når $x = 1$ er også $0{,}5$. Forskjellen mellom de to funksjonene skyldes at $f(x) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2 + 1}$ er kontinuerlig når $x = 1$, mens $f(x) = \frac{\displaystyle |x|}{\displaystyle x}$ ikke er det når $x = 0$. Og det er nettopp dette vi benytter til å definere kontinuitet.

En funksjon er kontinuerlig i et punkt, $a$, hvis

  1. Den er definert i $a$.
     
  2. Grenseverdien i $a$ eksisterer.
     
  3. Grenseverdien er den samme som funksjonsverdien i $a$.

Vi husker at grenseverdien eksisterer hvis den høyresidige og venstresidige grenseverdien er lik. Med andre ord:

$f(x)$ er kontinuerlig i et punkt, $a$, hvis

$\displaystyle \lim_{x \to a^{\large +}}f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{\large -}}f(x) = f(a)$

Kontinuitet ved delt funksjonsforskrift

I artikkelen om funksjonsforskrift så vi at vi ved delt funksjonsforskrift kan ha forskjellige funksjonsforskrifter for forskjellige definisjonsmengder, slik som i eksempel 5 under. I overgangene mellom forskriftene kan det oppstå diskontinuiteter.

Eksempel 5:

Vi skal avgjøre om funksjonen $f(x)$ er kontinuerlig i $x = 1$, når den er gitt som:

$f(x) =
\begin{cases}
x + 1 & \text{når } x < 1 \\
2 & \text{når } x = 1 \\
2x & \text{når } x > 1
\end{cases}
$

Den venstresidige grenseverdien finner vi å se på funksjonsforskriften når $x < 1$. Selv om $1$ egentlig ikke er med i definisjonsmengden, finner vi grensen ved å sette inn $x = 1$, og vi får $f(x) = 1 + 1 = 2$.

Den høyresidige grenseverdien finner vi å se på funksjonsforskriften når $x > 1$. Selv om $1$ egentlig ikke er med i definisjonsmengden, finner vi grensen ved å sette inn $x = 1$, og vi får $f(x) = 2 \cdot 1 = 2$.

I selve punktet, $x = 1$, er det oppgitt at funksjonsverdien er $2$.

Siden de tre verdiene er like, er funksjonen kontinuerlig i $x = 1$. Grafen til funksjonen er vist under. Høyre og venstre del av grafen møtes i $(1, 2)$, der er ingen diskontinuitet.

Graf satt sammen av tre funksjonsforskrifter

Oppgave 3

Funksjonen $f(x)$ er gitt ved delt funksjonsforskrift.

$f(x) =
\begin{cases}
x + 2 & \text{når } x < 2 \\
4 & \text{når } x = 2 \\
2x – 2 & \text{når } x > 2
\end{cases}
$

Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i $x = 2$.

Se løsningsforslag

Oppgave 4:

Avgjør om funksjonen $f(x) = |x|$ er kontinuerlig i $x = 0$.

Hint: Del funksjonen opp i én funksjonsforskrift for $x < 0$, én for $x = 0$ og én for $x > 0$.

ScreencastSe film med løsningsforslag
 

Mer om grenser

La oss til slutt se på grensebegrepet med formelle øyne.

I artikkelen om intervaller introduserte vi åpne intervaller, $\langle p, q\rangle$. I et åpent intervall er ikke $p$ og $q$ med i selve intervallet, like fullt angir $p$ og $q$ intervallets yttergrenser. Dette er fordi vi kan komme så nærme disse grensene vi bare vil.

På samme måte kan vi tenke oss grenseverdier for funksjoner:

$L$ er en grense for en funksjon, $f(x)$, når $x$ nærmer seg en verdi, $a$, hvis vi kan få $f(x)$ så nærme $L$ vi bare vil ved å velge $x$ nærme nok $a$.

Det krever litt tankearbeid og modning å forstå dette argumentet, prøv å danne deg et mentalt bilde.

En beskrivelse av en grense som den vi ga over vil alltid ha en viss usikkerhet knyttet til språkbruken. Hva mener vi for eksempel med "nærme nok"? For å få en presis definisjon må vi bruke matematisk terminologi. Vi sier det på denne måten:

$\fbox{$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = L \\
\text{betyr at det for alle tall } \epsilon > 0 \\
\text{finnes et tall } \delta > 0 \\
\text{slik at når } 0 < |x – a| < \delta \\
\text{er } |f(x) – L| < \epsilon$}$

Dette kalles en epsilon-delta-definisjon fordi den bruker de greske bokstavene epsilon og delta. Epsilon-delta-argumentasjon brukes mye i bestemte typer bevis, så det kan være lurt å forsøke å forstå denne definisjonen. Den er ikke så kryptisk som den kan se ut til.

ScreencastSe film som bruker GeoGebra til å illustrere definisjonen av grenseverdi
 

GeoGebra-filSe GeoGebra-fila som brukes i filmen
 

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia