Kvadratsetningene

Den distributive lov sier at for tre vilkårlige tall, $a$, $b$ og $c$ har vi at $a(b + c) = ab + ac$. Bruker vi denne loven på uttrykket $(a + b)(c + d)$, får vi $a(c + d) + b(c + d)$. Bruker vi den så om igjen to ganger, får vi $ac + ad + bc + bd$.

Vi multipliserer altså hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre.

$\fbox{$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$}$

Eksempel 1:

$(1 + 2)(3 + 4) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 21$.

Med tall er dette tungvint, for det er jo mye enklere å si $(1 + 2)(3 + 4) = (3)(7) = 21$. Men i uttrykk som $(x + 2)(x + 3)$ vil vi måtte benytte regelen over.

Oppgave 1:

Regn ut og forenkle så langt som mulig: $(x + 2)(x + 3)$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning viser hvordan vi på en enkel måte regner ut uttrykk på formen $(a + b)^2$.
$(a + b)^2$ betyr $(a + b)(a + b)$, så vi kan bruke regelen vi fant over:

$(a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb$. Den kommutative lov sier at $ab = ba$, så dette uttrykket blir $a^2 + 2ab + b^2$.

Da har vi første kvadratsetning:

$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$}$

Eksempel 2:

Vi skal beregne $(x + 3)^2$. Vi bruker første kvadratsetning og får $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2+ 6x + 9$.

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning er på samme form som første kvadratsetning, men med minus, ikke pluss, inni parentesen.

$(a – b)^2 = (a – b)(a – b) = aa + a(-b) + (-ba) + (-b)(-b)$. Vi bruker lovene for multiplikasjon av negative faktorer og får $aa + (-ab) + (-ba) + bb$. Den kommutative lov sier at $-ab = -ba$, så dette uttrykket blir $a^2 – 2ab + b^2$.

Da har vi andre kvadratsetning:

$\fbox{$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$}$

Legg merke til at det bare er leddet $2ab$ som har negativt fortegn.

Oppgave 2:

Bruk andre kvadratsetning til å regne ut: $(2x – 3y)^2$. Forenkle svaret så langt som mulig.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen)

Tredje kvadratsetning er strengt tatt ikke en kvadratsetning, for vi kvadrerer ikke et uttrykk i parentes, men multipliserer parentesene fra første og andre kvadratsetning: $(a + b)(a – b)$. Uttrykk som $(a + b)$ og $(a – b)$ sies å være konjugerte av hverandre, derfor kalles tredje kvadratsetning i stedet ofte for konjugatsetningen.

Regner vi ut, får vi:
$(a + b)(a – b) = aa + a(-b) + ba + b(-b)$. Vi bruker lovene for multiplikasjon av negative faktorer og den kommutative lov og får $a^2 – b^2$.

Da har vi tredje kvadratsetning, konjugatsetningen:

$\fbox{$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$}$

Oppgave 3:

Bruk tredje kvadratsetning til å regne ut: $(2x + 3y)(2x – 3y)$. Forenkle svaret så langt som mulig.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Wikipedia