L’Hôpitals regel

I artikkelen om asymptoter så vi at det kan være vanskelig å finne grenseverdier til en funksjon med en brøk der teller og nevner går mot 0 eller uendelig samtidig. I noen tilfeller kan vi løse problemet ved å dividere med høyeste potens av $x$ i teller og nevner:

Eksempel 1:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle x^3 + 6x}{\displaystyle 3x^3 + x^2 + 1} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle \frac{x^3}{x^3} + \frac{6x}{x^3}}{\displaystyle \frac{3x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}} =\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 1 + \frac{6}{x^2}}{\displaystyle 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}} = \frac{\displaystyle 1 +0}{\displaystyle 3 + 0 + 0} = \frac{1}{3}$

Men denne metoden fører ikke alltid fram.

Eksempel 2:

Vi skal finne $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle x-2}{\displaystyle x^2-4}$

Her går både teller og nevner mot 0 samtidig. Forsøker vi å dividere med høyeste potens av $x$ i teller og nevner, får vi

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle \frac{x}{x^2} -\frac{2}{x^2}}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2} – \frac{4}{x^2}}=\frac{\displaystyle \frac{2}{4} -\frac{2}{4}}{\displaystyle \frac{4}{4} – \frac{4}{4}}= \frac{0}{0}$

Vi har fremdeles 0 over 0.

Men hvis vi i stedet faktoriserer nevneren, kan vi forkorte og komme fram til et svar:

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle x-2}{\displaystyle x^2-4}=\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle x-2}{\displaystyle (x-2)(x+2)}= \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (x+2)}=\frac{1}{4}$

Vi kan også ha nytte av å bruke polynomdivisjon.

Fordelen med disse metodene er at de gir en viss innsikt i problemets natur, ulempen er at de ikke alltid fører fram.

Forutsatt at grensene eksisterer, er en metode som alltid fører fram, å bruke L'Hôpitals regel, oppkalt etter den franske matematikeren Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital.

$\fbox{$\\ \text{Hvis } \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = 0\\ \text{eller } \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \pm \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty \\ \text{har vi at} \\ \displaystyle \lim_{x \to a}\frac{\displaystyle f(x)}{\displaystyle g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a}\frac{\displaystyle f'(x)}{\displaystyle g'(x)}$}$

I klartekst betyr dette at grenseverdien til en brøk som går mot 0 over 0 eller pluss/minus uendelig over uendelig, ikke endrer seg hvis vi deriverer teller og nevner hver for seg.

Eksempel 3:

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = \frac{0}{0}$.

Vi kan derfor bruke L'Hôpitals regel, og får

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\sin x)'}{x'} \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1$.

NB! I L'Hôpitals regel bruker vi ikke kvotientregelen, men deriverer funksjonene i teller og nevner hver for seg.

Eksempel 4:

Vi bruker L'Hôpitals regel på brøken i eksempel 2.

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle x-2}{\displaystyle x^2-4} = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle (x-2)'}{\displaystyle (x^2-4)'} = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2x} = \frac{1}{4}$

Oppgave 1:

Bruk L'Hôpitals regel til å beregne $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle e^x-1} $.

Se løsningsforslag

Av og til må vi bruke L'Hôpitals regel flere ganger.

Eksempel 5:

Vi bruker L'Hôpitals regel på brøken i eksempel 1. 

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle x^3 + 6x}{\displaystyle 3x^3 + x^2 + 1} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 3x^2 + 6}{\displaystyle 9x^2 + 2x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 6x}{\displaystyle 18x + 2} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 18} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$

Her måtte vi bruke regelen 3 ganger før vi fikk et uttrykk som ikke var uendelig på uendelig.

I artikkelen om asymptoter sa vi at når $x$ går mot uendelig, går en brøk med polynomfunksjoner i teller og nevner mot en konstant hvis funksjonene i teller og nevner har samme grad, mot uendelig hvis funksjonen i teller har høyere grad enn nevner, og mot 0 hvis funksjonen i teller har lavere grad enn nevner.

Hvis vi tenker oss at vi bruker L'Hôpitals regel gjentatte ganger på en slik brøk, forstår vi hvorfor det er slik. For hver derivasjon reduseres polynomenes grad med 1. Er de i utgangspunktet av samme grad, vil begge bli redusert til en konstant samtidig. Er de av forskjellig grad, vil polynomet av høyest grad fremdeles være en funksjon av $x$, som går mot uendelig, idet den andre funksjonen er redusert til en konstant.

Oppgave 2:

Bruk L'Hôpitals regel til å beregne $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle 1 – \cos x}{\displaystyle x^2} $.

Se løsningsforslag

Vi kan bare bruke L'Hôpitals regel på uttrykk som går mot 0 over 0 eller pluss/minus uendelig over uendelig

Eksempel 6:

Vi har $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle x-2}{\displaystyle 4x} = \frac{ 0}{8} = 0$.

Bruker vi L'Hôpitals regel på denne brøken, får vi

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\displaystyle1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$

som er feil. Grenseverdien for brøken er verken 0 på 0 eller uendelig på uendelig, så det er feil å bruke l'Hôpitals regel i dette tilfellet.

Vi må også passe på å ikke tolke for mye inn i L'Hôpitals regel. L'Hôpitals regel angir hva en eventuell grenseverdi er, men sier ikke noe mer om formen på funksjonen.

Eksempel 7:

I eksempel 4 i I artikkelen om asymptoter brukte vi polynomdivisjon til å omforme brøken

$f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$ til $f(x) = x + \frac{\displaystyle -x + 2}{\displaystyle x^2 + 1}$

Siden brøken vil gå mot 0 når $x$ går mot pluss uendelig, får vi at $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = x$.

Vi konkluderer derfor med at funksjonsverdien går mot uendelig når $x$ går mot uendelig, og at linja $y = x$ er en skråasymptote for $f(x)$.

Funksjonsuttrykket går mot uendelig på uendelig, så vi kan bruke L'Hôpitals regel på det:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{\displaystyle x^3 + 2}{\displaystyle x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 3x^2}{\displaystyle 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\displaystyle 6x}{\displaystyle 2} =\lim_{x \to \infty} 3x$

Ut fra dette kan vi lese at funksjonsverdien går mot uendelig når $x$ går mot uendelig, slik vi fant tidligere. Men vi har skapt et nytt funksjonsuttrykk, så vi kan ikke konkludere med at $y=3x$ er en skråasymptote.

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Thomas, G.B., Finney R.L. (1988). Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.
    matematikk.org
  • Wikipedia