Likninger og ulikheter

En likning er matematiske uttrykk forbundet med likhetstegn. Et eksempel på en likning er $x + 2 = 3$. Denne likningen inneholder en variabel, symbolisert med bokstaven $x$. Å løse denne likningen vil si å finne verdien av $x$ som gjør at vi får $3$ når vi adderer $2$ til $x$. Det er lett å se at denne verdien må være $1$, men i mer kompliserte tilfeller vil vi ofte ikke kunne se svaret direkte. Det er derfor behov for systematiske metoder for å løse likninger.

Likninger kan inneholde et vilkårlig antall variable, for eksempel inneholder likningen $x + y = 4$ to variable, symbolisert med $x$ og $y$. For å kunne finne entydige løsninger for alle variable, kreves det vanligvis et likningssett med like mange likninger som ukjente.

Likninger kan også inneholde potenser av variable, for eksempel $x^2 – 1 = 3$. Potensen angir likningens grad, i dette tilfellet $2$, vi har en andregradslikning. Dette nettstedet inneholder en egen artikkel om å løse andregradslikninger.

I eksemplene vi har sett består likningene av polynomer. Slike likninger kalles algebraiske. Likninger som ikke er algebraiske, er transcendente.

Førstegradslikninger

Vi skal nå se hvordan vi løser algebraiske likninger av første grad.

Målet å stå igjen med et uttrykk der $x$ befinner seg alene på venstre side av likhetstegnet, samtidig som vi på høyre side av likhetstegnet har et enklest mulig uttrykk uten $x$. For å få til dette, kan vi benytte oss av at det i en likning er tillatt å addere og subtrahere like mye på hver side av likhetstegnet, og å multiplisere og dividere med like mye på hver side av likhetstegnet. Men vi kan ikke multiplisere eller dividere med $0$.

Eksempel 1:

$\begin{align} 3x + 10 &= x + 4 \\
\; \\
3x + 10 – 10 &= x + 4 – 10 \text{ (Subtraherer $10$ på begge sider).} \\
\; \\
3x &= x – 6 \text{ (Regner ut $10 – 10$ og $4 – 10$).} \\
\; \\
3x – x &= x – x – 6 \text{ (Subtraherer $x$ på begge sider).} \\
\; \\
2x &= -6 \text{ (Regner ut $2x – x$ og $x – x$).} \\
\; \\
\frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 2} &= -\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 2} \text{ (Dividerer på 2 på begge sider).} \\
\; \\
x &= -3 \text{ (Regner ut $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2}$ og $\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 2}$).} \end{align}$

Vi har nå oppnådd det vi ønsket, $x$ står alene på venstre side, og et maksimalt forenklet uttrykk uten $x$ står på høyre.

Vi kan nå "sette prøve på svaret", det vil si sette verdien vi har funnet for $x$ inn i likningen og se om det stemmer. Vi har:

Venstre side: $3x + 10 = 3(-3) + 10 = 1$.

Høyre side: $x + 4 = -3 + 4 = 1$.

Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.

For å forstå hvorfor vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere like mye på begge sider av likhetstegnet, kan vi tenke oss likningen som ei skålvekt som er i balanse.

Skålvekt som illustrerer balanse i likning

Så lenge vi gjør det samme i hver skål, forstyrrer det ikke balansen.

Vi skal nå være litt mer generelle og tenke oss at vi har vilkårlige tall på begge sider av likhetstegnet: $a + b = c$. Så ønsker vi å stå igjen med bare $a$ på venstre side. Da adderer vi $-b$ på begge sider: $a + b \,- \, b = c – b$. Altså $a = c – b$. Sammenlikner vi med det vi startet med, ser vi at $b$-en har flyttet seg over til høyre side og skiftet fortegn. I praksis går vi derfor ikke gjennom den omstendelige prosedyren med å addere eller subtrahere på begge sider, vi flytter bare over og skifter fortegn.

Bruker vi metoden med å flytte over og skifte fortegn på likningen i eksempel 1, blir utregningen mye mindre omstendelig:

Eksempel 2:

$\begin{align} 3x + 10 &= x + 4 \\
\; \\
3x – x&= 4 – 10 \text{ (Flytter over $10$ og $x$ og skifter fortegn).} \\
\; \\
2x &= -6 \text{ (Regner ut).} \\
\; \\
x &= -3 \text{ (Dividerer med $2$ på begge sider).} \end{align}$

Oppgave 1:

Løs likningen $5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6$ og sett prøve på svaret.

ScreencastSe film der likningen løses
 

Oppgave 2:

Løs likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x} + 10 = 12$ og sett prøve på svaret.

ScreencastSe film der likningen løses
 

Grafisk løsning av førstegradslikninger

Generelt har førstegradslikninger formen $ax + b = 0$, der $a$ og $b$ er vilkårlige tall, for eksempel $3x + 2 = 0$. Alle eksemplene og oppgavene vi har arbeidet med har denne formen, selv om det ved første øyekast kanskje ikke ser slik ut. Saken er bare at elementene må omorganiseres. Likningen $3x + 10 = x + 4$ er for eksempel det samme som $2x + 6 = 0$.

Når likningen er på formen $ax + b = 0$, kan vi løse den grafisk ved å tegne opp grafen til funksjonen $y = ax + b$. Løsningen til likningen er den verdien $x$ har der grafen skjærer x-aksen.

Eksempel 3:

$2x – 4 = 0$.

Den tilhørende funksjonen er $y = 2x – 4$, og den skjærer x-aksen i $2$.

Grafen til en førstegradsfunksjon er alltid en rett linje.

Grafen  til likningen y = 2x - 4 skjærer x-aksen i 2

 

Oppgave 3:

Løs likningen $5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6$ grafisk

ScreencastSe film der likningen løses grafisk
 

Uoppstilte likninger

I det virkelige liv er det sjelden vi støter på problemstillinger i form av ferdig oppstilte likninger, som regel må vi selv stille dem opp. Dette kan være utfordrende, men idet likningen er på plass, kan vi enkelt løse den ved hjelp av metodene vi har lært. Å sette opp likningen kan også i seg selv gi bedre innsikt i problemstillingen.

Eksempel 4:

Astrid er halvparten så gammel som Torhild. Knut er tre år eldre enn Torhild. Til sammen er de 53 år gamle. Hvor gamle er Astrid, Torhild og Knut?

Vi vil starte med finne alderen til en av dem, og så ut fra denne alderen regne ut alderen til de to andre. La oss si at vi først vil finne alderen til Torhild. Alderen til Torhild er altså ukjent, og vi symboliserer den med bokstaven $x$.

Vi har at:

  • Torhild er $x$ år.
     
  • Astrid er halvparten så gammel som Torhild, altså $\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2}$ år.
     
  • Knut er tre år eldre enn Torhild, altså $x + 3$ år.

Til sammen skal disse aldrene bli 53 år. $x + \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} + x + 3 = 53$.

Løser vi likningen får vi at $x = 20$.

Så:

  • Torhild er $x = 20$ år.
     
  • Astrid er $\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} = 10$ år.
     
  • Knut er $x + 3 = 23$ år.

Oppgave 4:

Ta utgangspunkt i eksempel 4, men la nå Astrids alder være den ukjente $x$. Still opp og løs den tilhørende likningen. Du skal få samme svar som i utregningen i eksempel 4.

ScreencastSe film der likningen stilles opp og løses
 

Ulikheter

En egenskap ved reelle tall er at de har orden. Det vil si at for to vilkårlige tall, $a$ og $b$, vil enten $a$ være mindre enn $b$, lik $b$ eller større enn $b$. Dette skriver vi $a < b$, $a = b$ og $a > b$.

I en likning brukes likhetstegn for å indikere at de to sidene av likningen skal være like. I en ulikhet brukes $<$ eller $>$ for å indikere at den ene siden skal være mindre eller større enn den andre. Ønsker vi at den ene siden skal være mindre eller lik den andre, brukes tegnet $\le$. For større eller lik brukes tegnet $\ge$.

For å løse en ulikhet brukes samme regler som for å løse likninger. Med ett unntak: Hvis vi multipliserer eller dividerer begge sider av ulikheten med et negativt tall, snus ulikhetstegnet.
$<$ byttes altså med $>$ og vice versa, $\le$ byttes med $\ge$ og vice versa.

Eksempel 5:

$\begin{align} 17x + 10 &> 30 + 27x \\
\; \\
17x – 27x &> 30 – 10 \text{ (Flytter over $10$ og $27x$ og skifter fortegn).} \\
\; \\
-10x &> 20 \text{ (Regner ut).} \\
\; \\
x &< -2 \text{ (Dividerer med $-10$ på begge sider og snur ulikhetstegnet).}\end{align}$

Grafisk representerer løsningen av en ulikhet ikke et punkt, men en del av tallinja. I eksemplet over representerer løsningen den delen av tallinja som ligger til venstre for $-2$.

Oppgave 5:

Løs ulikheten: $2x + 2 \le 3x – 1$

ScreencastSe film der ulikheten løses
 

Kilder: