Likninger og ulikheter av høyere grad

 
Likninger av høyere grad

I andre leksjoner på dette nettstedet har vi lært å løse algebraiske likninger av første og andre grad ved hjelp av enkle metoder. Men for likninger av tredje og fjerde grad er metodene mer kompliserte, og for likninger av femte grad eller høyere finnes ingen generell algebraisk metode. Her skal vi imidlertid se at vi i spesielle tilfeller kan benytte oss av et par triks for å løse likninger av høyere grad enn 2.

En generell likning av 3. grad er på formen $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, der $a \ne 0$, og vi går ikke inn på løsningsmetoden her. Men hvis konstantleddet, $d$, mangler, slik at alle leddene inneholder $x$, kan vi sette $x$ utenfor parentes:

$ax^3 + bx^2 + cx = 0 \Leftrightarrow x( ax^2 + bx + c ) = 0$.

Da er $x = 0$ en løsning, og de to andre løsningene får vi når $ax^2 + bx + c = 0$. Her har vi altså redusert problemet med å løse en tredjegradslikning til å løse en andregradslikning, noe vi allerede har metoder for.

Tilsvarende kan vi løse en likning av 4. grad hvis vi kan sette $x^2$ utenfor parentes, en likning av 5. grad hvis vi kan sette $x^3$ utenfor parentes, og så videre.

Eksempel 1:

$3x^5 + 6x^4 – 9x^3 = 0 \Leftrightarrow x^3(3x^2 + 6x – 9) = 0$.

En annen metode til å løse en tredjegradslikning har vi hvis vi allerede kjenner én av løsningene. For hvis $x_1$ er en løsning til likningen $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, kan likningen skrives som $(x – x_1)(ex^2 + fx + g) = 0$. Da står vi på nytt igjen med en annengradslikning som vi kan løse. Hva koeffisientene $e$, $f$ og $g$ blir, finner vi ut ved polynomdivisjon, som vi har lært i artikkelen om polynomdivisjon.

Eksempel 2:

Vi skal finne alle løsningene til tredjegradslikningen $3x^3 – 21x + 18 = 0$, der vi vet at $x = 2$ er en løsning.

Da utfører vi polynomdivisjonen $(3x^3 – 21x + 18) : (x – 2)$ og får $3x^2 + 6x – 9$.

Det betyr at $3x^3 – 21x + 18 = 0 \Leftrightarrow (x – 2)(3x^2 + 6x – 9) = 0$.

Løser vi andregradslikningen i dette uttrykket, får vi $x_1 = -3$ og $x_2 = 1$.

Så løsningene til tredjegradslikningen er $x_1 = -3, \, x_2 = 1, \, x_3 = 2$.

Vi kan løse en fjerdegradslikning hvis vi kjenner to løsninger, $x_1$ og $x_2$, ved å dividere fjerdegradspolynomet på $(x – x_1)$ og $(x – x_2)$. Tilsvarende for femtegradslikninger hvis vi kjenner tre løsninger, og så videre.

En likning av n-te grad har den generelle formen $a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + \dots + a_1x + a_0 = 0$.

Generelt har en likning av n-te grad $n$ løsninger. En førstegradslikning har én løsning, en andregradslikning to, en tredjegradslikning tre, og så videre. I noen tilfeller kan to eller flere løsninger falle sammen, og i noen tilfeller vil noen av løsningene være par av kompleks konjugerte. En likning av odde grad vil alltid ha minst én løsning som er et reelt tall.

Oppgave 1:

Løs likningen $-x^4 + x^3 + 11x^2 – 9x -18 = 0$ når du vet at to av fjerdegradslikningens løsninger er $x_1 = -3$ og $x_2 = 2$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Hvis en likning av fjerde grad ikke inneholder tredje- og førstegradsledd, slik at den er på formen $ax^4 + cx^2 + d = 0$, kan vi løse den ved hjelp av et annet triks. Hvis vi skriver $x^4$ som ${(x^2)}^2$, blir likningen $a{(x^2)}^2 + cx^2 + d = 0$. Og hvis vi så bytter ut variabelen $x^2$ med for eksempel $r$, får vi $ar^2 + cr + d = 0$. Dette er en ordinær andregradslikning vi kan løse med hensyn på den ukjente, $r$.
Når vi har funnet $r_1$ og $r_2$, kan vi finne de tilhørende x-verdiene.
Siden $x^2 = r$, blir $x = \pm \sqrt r$ altså $x_1 = \sqrt {r_1}, \, x_2 = -\sqrt {r_1}, \, x_3 = \sqrt {r_2}, \, x_4 = -\sqrt {r_2}$.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningen $3x^4 + 6x^2 – 9 = 0$. Da erstatter vi $x^2$ med $r$ og får $3r^2 + 6r – 9 = 0$. Denne andregradslikningen har løsningen $r_1 = -3, \, r_2 = 1$.

Og vi får $x = \pm \sqrt{-3}$ eller $x = \pm \sqrt{1}$.

Altså $x_1 = \sqrt3 i, \, x_ 2 = -\sqrt 3 i, \, x_3 = 1, \, x_4 = -1$.

Fjerdegradslikningens fire løsninger består altså av to komplekse, konjugerte løsninger og to reelle løsninger.

Oppgave 2:

Løs likningen $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Ulikheter av høyere grad

Løsningen til en lineær ulikhet, altså en ulikhet av første grad, vil være en del av tallinja som strekker seg mot pluss eller minus uendelig, slik det er beskrevet i artikkelen om likninger og ulikheter. For eksempel betyr $x < 2$ alle reelle tall mindre enn to, og $x \ge 1$ alle reelle tall større eller lik 1. Ved ulikheter av høyere grad vil vi imidlertid kunne oppleve at løsningen kan være begrenset til ett eller flere intervaller.

Ser vi på grafen til andregradsfunksjonen $y = x^2 – 4$ for eksempel, ser vi at den skjærer x-aksen i $x = 2$ og $x = -2$. Vi forventer derfor at løsningen til ulikheten $x^2 – 4 < 0$ blir intervallet der grafen ligger under x-aksen, nemlig $-2 < x < 2$, og at løsningen til ulikheten $x^2 – 4 > 0$ blir intervallene der grafen ligger over x-aksen, nemlig $-\infty < x < -2$ og $2 < x < \infty$.

Grafen  til likningen y = x^2 - 4 skjærer x-aksen i -2 og 2

For å løse en ulikhet av høyere orden, må vi først faktorisere polynomet i ulikheten, og deretter studere fortegnet til hver av faktorene.

Eksempel 4:

Vi skal løse ulikheten $x^2 – 4 < 0 $.

$x^2 – 4$ kan faktoriseres som $(x + 2)(x – 2)$ ved å bruke 3. kvadratsetning baklengs. Vi må derfor løse ulikhetene
$(x + 2) < 0$, som gir $x < -2$ og
$(x – 2) < 0$, som gir $x < 2$.

Så tegner vi opp $(x + 2)$ og $(x – 2)$ langs ei tallinje, og markerer verdier mindre enn 0 med stiplet linje. Dette er vist i figuren under. Fortegnsdiagram for (x + 2)(x - 2)

Her ser vi at $(x + 2) < 0$ når $x < -2$ og at $(x – 2) < 0$ når $x <  2$.

Siden produktet av to tall er negativt når ett av tallene, men ikke begge, er negative, skjønner vi at $(x + 2)(x – 2) < 0$ når enten $(x + 2) < 0$ eller $(x – 2) < 0$, men ikke begge samtidig. I figuren over betyr det at den ene av linjene er stiplet, men ikke den andre, og at det skjer når $-2 < x < 2$.

Så løsningen på ulikheten $x^2 – 4 < 0$ er, som forventet, $-2 < x < 2$.

Å løse ulikheter av høyere grad enn 2 innebærer de samme utfordringene som å løse likninger av høyere grad enn 2. For å løse en ulikhet som inneholder et n-te gradspolynom, $a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + \dots + a_1x + a_0$, må vi splitte polynomet opp i $n$ faktorer, noe vi bare kan gjøre hvis vi kjenner løsningene til $a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + \dots + a_1x + a_0 = 0$. Som vi har sett i avsnittet over, klarer vi å finne disse løsningene bare i spesielle tilfeller.

Oppgave 3:

Løs ulikheten: $-3x^3 + 6x^2 – 9x \le 0$.

ScreencastSe film der løsningen vises
 

Kilder:

  • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
  • Wikipedia