Løsningsforslag, derivasjon

Derivasjonsbegrepet

Oppgave 1:

Vi skal bruke definisjonen av den deriverte til å finne $f'(x)$ når $f(x) = 2x + 3$.

Vi får

$f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x ) – f(x)}{ \Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(2(x + \Delta x) + 3) – (2x + 3)}{ \Delta x} = \\
\, \\
\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + 2\Delta x + 3 – 2x -3}{ \Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 \Delta x}{ \Delta x} = 2$

Vi har altså at $(2x + 3)' = 2$

Tilbake til oppgaven

Derivasjon av potensfunksjoner

Oppgave 1:

Vi skal bruke potensregelen til å derivere følgende funksjoner:

  1. $f(x) = x^5$
     
  2. $f(x) = {\Large \frac{1}{x^4}}$
     
  3. $f(x) = {\Large \frac{1}{\sqrt x}}$

Vi får:

  1. $f'(x) = 5x^4$

  2. $f'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-5} = -{\Large \frac{4}{x^5}}$

  3. $f'(x) = \Bigg({\large \frac{1}{ x^{\large \frac{1}{2}}}}\Bigg)' = \Big( x^{-\large \frac{1}{2}}\Big)' = {-\large \frac{1}{2}}x^{\large -\frac{3}{2}} = {-\large \frac{1}{2\sqrt{ x^3}}}$

Derivasjon av ulike typer funksjoner

Oppgave 1:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = 12^x$

Vi bruker regelen om derivasjon av eksponentialfunksjoner:

$f'(x) = 12^x \ln 12$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \log_2 x$

Vi bruker regelen om derivasjon av logaritmefunksjoner:

$f'(x) = {\large \frac{1}{x \ln 2}}$

Tilbake til oppgaven

Derivasjon av funksjonskombinasjoner

Oppgave 1:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = 7x^4 + 3x^2 – \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x}$

Her er det bare å derivere ledd for ledd, bruke potensregelen og sette konstanter utenfor.

$\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x}$ skriver vi først som $8x^{-1}$, som har derivert $8(-1)x^{-2}$.

$f'(x) = 7 \cdot 4 x^3 + 3 \cdot 2x – 8(-1)x^{-2} = 28x^3 + 6x + \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x^2}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = (3x^2 + 7x)(4x^5 + 2x^3)$ både ved å bruke produktregelen direkte og ved å multiplisere sammen parentesene før vi deriverer.

Produktregelen direkte:

$f('x) = (3x^2 + 7x)' \cdot (4x^5 + 2x^3) + (3x^2 + 7x) \cdot (4x^5 + 2x^3)' = \\
(6x + 7)\cdot(4x^5 + 2x^3) + (3x^2 + 7x)\cdot(20x^4 + 6x^2) = \\
24x^6 + 28x^5 + 12x^4 + 14x^3 + 60x^6 + 140x^5 +18x^4 + 42 x^3 = \\
84x^6 + 168x^5 + 30x^4 + 56x^3$

Multiplisere parenteser først:

$f(x) = (3x^2 + 7x)\cdot(4x^5 + 2x^3) = 12x^7 + 28x^6 + 6x^5 + 14x^4$

$f'(x) = 84x^6 + 168x^5 + 30x^4 + 56x^3$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle x^2 + 1}{\displaystyle x + 1}$

Kvotientregelen gir

$f'(x) = \frac{\displaystyle (x^2 + 1)' \cdot (x+1) – (x^2 + 1)\cdot(x+1)'}{\displaystyle (x + 1)^2} = \\
\frac{\displaystyle 2x\cdot (x+1) – (x^2 + 1)\cdot 1}{\displaystyle (x + 1)^2} = \\
\frac{\displaystyle x^2+2x-1}{\displaystyle (x + 1)^2}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x}$ både ved å bruke potensregelen og ved å bruke kvotientregelen.

Potensregelen:

$f('x) =( \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}x^{-1})' = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2}(-1)x^{-2} = -\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x^2}$

Kvotientregelen:

$f'(x) = \frac{\displaystyle 3' \cdot(2x) – 3 \cdot (2x)'}{\displaystyle (2x)^2} = \frac{\displaystyle 0 \cdot(2x) – 3 \cdot 2}{\displaystyle 4x^2} = -\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 4x^2}= -\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2x^2}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \ln(4x + 8)$.

Vi ser at hvis vi erstatter $4x + 8$ med $g$, får vi $\ln g$, som vi vet hvordan vi deriverer. Og vi får:

$f'(x) = (\ln g)' \cdot (4x + 8)' = {\large \frac{1}{g}} \cdot 4 = {\large \frac{4}{4x + 8}} = {\large \frac{1}{x + 2}}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = e^{(x^{\large 2})}$

Vi ser at hvis vi erstatter $x^{\large 2}$ med $g$, får vi $e^g$, som vi vet hvordan vi deriverer.
Og vi får:

$f'(x) =(e^g)' \cdot (x^2)' = e^g\cdot 2x = 2x e^{(x^{\large 2})}$

Tilbake til oppgaven

Kombinasjon av derivasjonsregler

Oppgave 1:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \sin 2x \cos 2x$

Dette gjenkjenner vi som et produkt, så vi må starte med produktregelen:

$f'(x) = (\sin 2x)' \cdot \cos 2x + \sin 2x \cdot (\cos 2x)'$

For å derivere $\sin 2x$ og $\cos 2x$ må vi bruke kjerneregelen. Dette eksemplet er så enkelt av vi kan gjøre det i hodet, men la oss ta med formalitetene:

$(\sin 2x)' = (\sin g)' \cdot (2x)' = \cos g \cdot 2 = 2 \cos 2x$

og

$(\cos 2x)' = (\cos g)' \cdot (2x)' = -\sin g \cdot 2 = -2 \sin 2x$

$f'(x) = 2 \cos 2x \cdot \cos 2x + \sin 2x \cdot (-2\sin 2x) = 2 \cos^2 2x -2\sin^2 2x$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal derivere funksjonen $f(x) = \frac{\displaystyle e^x \ln x}{\displaystyle x^2}$

Dette gjenkjenner vi som en kvotient, så vi må starte med kvotientregelen:

$f'(x) = \frac{\displaystyle ( e^x \ln x)' \cdot x^2 – e^x \ln x \cdot (x^2)'}{\displaystyle (x^2)^2}$

For å derivere $e^x \ln x$ må vi bruke produktregelen:

$(e^x \ln x)' = (e^x)' \cdot \ln x + e^x \cdot (\ln x)' = e^x \ln x + {\large \frac{e^x}{x}}$

Så vi får

$f'(x) = \frac{\displaystyle \Big(e^x \ln x + \frac{e^x}{x}\Big)\cdot x^2 – e^x \ln x \cdot 2x}{\displaystyle x^4} = \frac{\displaystyle x^2e^x \ln x + xe^x – 2xe^x \ln x}{\displaystyle x^4} =\\
\, \\
\frac{\displaystyle xe^x \ln x + e^x – 2e^x \ln x}{\displaystyle x^3} = \frac{\displaystyle e^x\big(x \ln x – 2 \ln x + 1\big)}{\displaystyle x^3}$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal skrive uttrykket $\frac{\displaystyle u}{\displaystyle v}$, som $u \cdot v^{-1}$ og benytte produktregelen og kjerneregelen til å utlede kvotientregelen, $\Big( \frac{\displaystyle u}{\displaystyle v} \Big)' = \frac{\displaystyle u'v – uv'}{\displaystyle v^2}$

Ifølge produktregelen får vi:

$(uv^{-1})' = u'v^{-1} + u(v^{-1})'$

Funksjonene $u$ og $v$ kan være hva som helst, så når det gjelder de deriverte av disse, kan vi angi noe mer presist enn $u'$ og $v'$, det er ikke noe vi kan regne videre på. Men ser vi på $(v^{-1})'$, ser vi at vi her har en indre og ytre funksjon, og vi kan ekspandere uttrykket ved å bruke kjerneregelen: 

$(v^{-1})' = v' \cdot (-1 \cdot v^{-2})$

Så vi har:

$(uv^{-1})' = u'v^{-1} + u(v^{-1})' = u'v^{-1} + u(- v^{-2}v') = \frac{\displaystyle u'}{\displaystyle v} – \frac{\displaystyle uv'}{\displaystyle v^2}$

Til slutt utvider vi den første brøken med $v$ og setter på felles brøkstrek:

$\frac{\displaystyle u'}{\displaystyle v} – \frac{\displaystyle uv'}{\displaystyle v^2} = \frac{\displaystyle u' \cdot v}{\displaystyle v \cdot v} – \frac{\displaystyle uv'}{\displaystyle v^2} = \frac{\displaystyle u'v – uv'}{\displaystyle v^2}$

Tilbake til oppgaven