Løsningsforslag, differensiallikninger

Om differensiallikninger

Oppgave 1:

Vi skal vise at $y = 3x – {\large \frac{3}{2}} +Ce^{-2x}$ er en løsning til differensiallikningen $y'+2y-6x=0$.

Vi deriverer $y = 3x – {\large \frac{3}{2}} +Ce^{-2x}$ . Dette er en rett-fram operasjon der vi deriverer ledd for ledd, vi må bare huske på å bruke kjerneregelen på siste ledd, noe som gjør at vi får konstanten -2 som en faktor:

$y' = 3- 2Ce^{-2x}$

Vi setter dette og

$y = 3x – {\large \frac{3}{2}} +Ce^{-2x}$

inn i

$y'+2y-6x$

og får 

$3 -2Ce^{-2x} + 2(3x – {\large \frac{3}{2}} + Ce^{-2x}) -6x = 3 -2Ce^{-2x} + 6x -3 + 2Ce^{-2x} -6x = 0 $.

Siden det også står 0 på høyre side av likhetstegnet i differensiallikningen, er løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Separable differensiallikninger

Oppgave 1:

Vi skal vise at differensiallikningen $y'=xy+3x$ er separabel, det vil si at den kan skrives på formen $g(y) \cdot y' = h(x)$.

Vi setter $x$ utenfor parentes og får

$y'= x(y+3)$

Vi dividerer med $(y+3)$ på begge sider av likhetstegnet og får

${\large\frac{1}{y+3}}y'=x$

Nå ser vi at det er en separabel differensiallikning med $g(y) = {\large\frac{1}{y+3}}$ og $h(x) = x$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal løse differensiallikningen $y'=2\sqrt y$ og sette prøve på svaret.

Vi dividerer med $\sqrt y$ på begge sider av likhetstegnet og får

${\large\frac{1}{\sqrt y}}y' = 2$

Vi ser at likningen har form som en separabel differensiallikning.

Vi skriver om til potensform og erstatter $y'$ med ${\Large \frac{dy}{dx}}$

$y^{-\Large\frac{1}{2}}{\Large\frac{dy}{dx}}=2$

Vi multipliserer over $dx$ og setter på integrasjonstegn:

$\int y^{-\Large\frac{1}{2}}dy=\int2\, dx$

Vi utfører integrasjonene og får

$2y^{\Large\frac{1}{2}}dy + C_1= 2x + C_2$

Vi dividerer med 2 på begge sider og slår sammen integrasjonskonstantene:

$y^{\Large\frac{1}{2}}dy = x + C$

Vi opphøyer begge sider i andre, og får

$y=(x+ C)^2$.

Så skal vi sette prøve på svaret. Vi deriverer og får

$y'=2(x+C)$

Setter vi inn i differensiallikningen, får vi

  • Venstre side: $y' =2(x+C)$
     
  • Høyre side: $2\sqrt y = 2 \sqrt{(x+C)^2} = 2(x+C)$

Høyre og venstre side er like, så likningen er løst riktig.

Tilbake til oppgaven

Lineære differensiallikninger

Oppgave 1:

Vi skal løse den lineære differensiallikningen $y'-4y=2$

Vi har $p(x) = -4$, så vi får

$P(x) = \int -4 dx = -4x + C$

Integrerende faktor blir

$e^{-4x}$

Vi multipliserer på begge sider av likningen med integrerende faktor og får

$y' \cdot e^{-4x} – 4y \cdot e^{-4x} = 2 \cdot e^{-4x}$

Som ved hjelp av produktregelen baklengs kan skrives som

$(y \cdot e^{-4x})' = 2 \cdot e^{-4x}$

Vi integrerer begge sider og får

$y \cdot e^{-4x} = -{\large\frac{1}{2}} \cdot e^{-4x} + C$ (Her benyttet vi at $\int e^{-4x} \, dx= {\large\frac{1}{-4}}e^{-4x}$)

Så dividerer vi med integrerende faktor og får

$y = {\large -\frac{1}{2}}+ {\large \frac{C}{e^{-4x}}} = {\large -\frac{1}{2}}+ Ce^{4x}$

Tilbake til oppgaven

Modellere med differensiallikninger

Oppgave 1:

Vi fyller vann i et basseng med en hastighet på 4 m3/min. Samtidig lekker det vann ut med en hastighet som er proporsjonal med vannvolumet i bassenget.

$V(t)$ er vannvolumet i bassenget etter tiden $t$, målt i m3.

1: Vi skal forklare at differensiallikningen $V'=4 – kV$ er en modell av vannvolumet i bassenget.

På venstre side av likningen har vi $V'$, som betyr endring i volum. Endringen i volum er også det som står på høyre side, fordi 4 representerer den mengden vann som fylles på, og $kV$, som trekkes fra, representerer den mengden vann som renner ut. Denne mengden er proporsjonal med volumet, $V$, som forutsatt. Proporsjonalitetskonstanten $k$ er foreløpig ukjent.

2: Vi har at $k=0{,}005$, bassenget er i utgangspunktet tomt, og vi skal finne et uttrykk for vannvolumet i bassenget som funksjon av tiden.

Vi har

$V'=4 – 0{,}005\,V$

Vi flytter leddet med $V$ over til venstre side, og får

$V' + 0{,}005\,V=4$

Dette gjenkjenner vi som en lineær differensiallikning med $p(t) = 0{,}05$ og $q(t) = 4$, som vi kan løse med metoden vi har lært for dette.

Vi får $P(t) = \int 0{,}005 \, dt = 0{,}005\,t + C$. Integrerende faktor blir $e^{0{,}005t}$.

Vi multipliserer med integrerende faktor på begge sider:

$V'e^{0{,}005t} + 0{,}005\,Ve^{0{,}005t}=4e^{0{,}005t}$

Vi skriver om venstre side ved hjelp av produktregelen baklengs:

$(Ve^{0{,}005t})'=4e^{0{,}005t}$

Vi integrerer begge sider og får

$Ve^{0{,}005t}=800e^{0{,}005t} + C$

Så dividerer vi begge sider med integrerende faktor:

$V=800+ Ce^{-0{,}005t}$

For å bestemme konstanten $C$, benytter vi oss av initialbetingelsen at bassenget var tomt til å begynne med. Så vi har

$0 = 800+ Ce^0 \Rightarrow C = -800$

Så et uttrykk for volumet som funksjon av tiden blir

$V=800 -800e^{-0,005t}$

3: Vi skal finne ut hvor lang tid det tar før det er 400 m3 vann i bassenget.

Vi har da at

$400=800 -800e^{-0{,}005t}$

Vi bytter om på leddene og dividerer med 800 på begge sider av likhetstegnet og får

$e^{-0,005t} = {\large \frac{1}{2}}$

Vi tar ln på begge sider og får

$-0{,}005t = \ln{\large\frac{1}{2}} \approx -0{,}693$

Som gir

$t \approx 138{,}6$

Det er 400 m3 vann i bassenget etter omlag 139 minutter, altså to timer og 19 minutter.

Tilbake til oppgaven