Løsningsforslag, forskjellige typer funksjoner

Trigonometriske funksjoner

Oppgave 1:

Vi skal regne om 45° til radianer. Vi multipliserer da med $\pi$ og dividerer med 180°:

$45^\circ \cdot \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 180^\circ} = \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal regne om $\frac{\displaystyle 5 \pi}{\displaystyle 2}$ radianer til grader. Vi multipliserer da med 180° og dividerer med $\pi$:

$\frac{\displaystyle 5 \pi}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 180^\circ}{\displaystyle \pi} = 450^\circ$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal finne cosinus til en vinkel når vi vet at sinus til vinkelen er ${\large \frac{\sqrt 3}{2}}$.

Siden $\sin^2 + \cos^2 = 1$, har vi at $\cos^2 = 1 – \sin^2 = 1 – {\large (\frac{\sqrt 3}{2})^2} = 1 – {\large \frac{3}{4}} = {\large \frac{1}{4}}$.

Derved blir $\cos = \sqrt{\cos^2} = \sqrt{\large \frac{1}{4}} = \pm{\large \frac{1}{2}}$.

Det finnes altså to muligheter, en positiv verdi hvis vinkelen er i første kvadrant, en negativ hvis vinkelen er i andre kvadrant.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

  1. Basert på at vi vet at sinus til en vinkel på 30° er 0,5 skal vi finne ut hva sinus til en vinkel på -30° er.
    Vi benytter at $\sin v = -\sin -v$ og får $\sin -30^\circ = -\sin 30^\circ = -0,5$.
     
  2. Basert på at vi vet at cosinus til en vinkel på 60° er 0,5 skal vi finne ut hva cosinus til en vinkel på -60° er.
    Vi benytter at $\cos v = \cos -v$ og får $\cos -60^\circ = \cos 60^\circ = 0,5$.
     
  3. Vi skal finne ut hva cosinus til en vinkel på 300° er.
    Vi benytter vi at cosinus er periodisk med periode 360° og får $\cos 300^\circ = \cos -60^\circ = \cos 60^\circ = 0,5$.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal benytte at $75^\circ = 30^\circ + 45^\circ$$\sin 30^\circ = {\large \frac{1}{2}}$$\cos 30^\circ = {\large \frac{\sqrt 3}{2}}$ og $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = {\large \frac{\sqrt 2}{2}}$ til å finne eksakt

  1. $\sin 75^\circ$
     
  2. $\cos 75^\circ$

Vi bruker formlene for sinus og cosinus til en sum av to vinkler:

  1. $\sin 75^\circ = \sin(30^\circ + 45^\circ) = \sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ + \cos 30^\circ \cdot \sin 45^\circ = {\Large \frac{1}{2}} \cdot {\Large \frac{\sqrt 2}{2}} + {\Large \frac{\sqrt 3}{2}} \cdot {\Large \frac{\sqrt 2}{2}} = {\Large \frac{\sqrt 2 (\sqrt 3 + 1)}{4}}$
     
  2. $\cos 75^\circ = \cos(30^\circ + 45^\circ) = \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ – \sin 30^\circ \cdot \sin 45^\circ = {\Large \frac{\sqrt 3}{2}} \cdot {\Large \frac{\sqrt 2}{2}} – {\Large \frac{1}{2}} \cdot {\Large \frac{\sqrt 2}{2}} = {\Large \frac{\sqrt 2 (\sqrt 3 – 1)}{4}}$

​Tilbake til oppgaven

Eksponentialfunksjoner

Oppgave 1:

Vi skal avgjøre hvilken av funksjonene

$f(x) = 2^{\large x}$

$g(x) = e^{\large x}$

$h(x) = {\large (\frac{1}{3})}^{\large x}$

$p(x) = x^{\large 3}$

som ikke er en eksponentialfunksjon, og kople funksjonene med grafene under:

Diverse grafer

$p(x) = x^{\large 3}$ er ikke en eksponentialfunksjon, men en potensfunksjon. Variabelen x står ikke i eksponenten.

$f(x) = 2^{\large x}$. Blå graf fordi den går gjennom $(1,2)$.

$g(x) = e^{\large x}$. Grønn graf fordi den går gjennom $(1, e)$, der $e \approx 2{,}78$.

$h(x) = {\large (\frac{1}{3})}^{\large x}$. Oransje graf fordi den går gjennom $(1, {\large \frac{1}{3}})$. Kan også argumentere med at det må være grafen som faller mot høyre fordi $a$ i $a^{\large x}$ er mindre enn $1$.

$p(x) = x^{\large 3}$. Rød graf. Denne grafen kan ikke tilhøre en eksponentialfunksjon, den har negative funksjonsverdier og går heller ikke gjennom $(0, 1)$.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Basert på elevtallet i tabellen under skal vi:

  1. Foreslå en matematisk modell for elevtallet som funksjon av antall år etter 1989 og begrunne hvorfor vi velger en lineær eller eksponentiell modell.
     
  2. Bruke modellen til å anslå elevtallet etter 12 år, og 2 år før 1989.
År etter 1989 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antall elever 100 110 121 133 146 161 177 195 214 236 259
  1. Vi ser at den første økningen i elevtall er 110 – 100 = 10, mens den siste økningen er 259 – 236 = 23. Vi har altså ikke en konstant økning, og en lineær modell vil ikke passe. Derimot ser det ut som elevtallet øker med ca. 10 % per år, vi har altså eksponentiell vekst. Vekstfaktor blir 1 + 10 % = 1,1, og startverdien er antall elever første år, altså 100. En matematisk modell blir da funksjonen $f(x) = 100 \cdot (1{,}1)^{\large x}$.
    Grafen til $f(x)$ er vist under, sammen med de oppgitte elevtallene markert som punkter. Vi ser at alle ligger midt på grafen, så modellen er perfekt. I virkeligheten vil vi sjelden oppleve så perfekte modeller.
    Graf og målepunkter i en eksponentiell modell
  2. Modellen gir at vi etter 12 år vil ha $f(12) = 314$ elever. 2 år før 1989 vil vi ha $f(-2) = 83$ elever.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi får vite at den årlige prisstigningen på boliger i et område har vært 6 % de siste fem årene, forventes å være 6 % også de neste to årene, og skal:

  1. Sette opp en matematisk modell for prisen på en bolig i denne perioden, når boligen koster 3 millioner kroner i dag.
    Vi har en jevn, prosentvis vekst, så her må vi bruke en eksponentiell modell. Vekstfaktoren blir 1 + 6 % = 1,06. Startverdien er 3. Så modellen blir $f(x)= 3 \cdot 1,06^{\large x}$. (Enhet i millioner kroner).
     
  2. Beregne hva boligen vil koste om 2 år.
    $f(2) = 3 \cdot 1{,}06^2 \approx 3,37$, altså ca. 3,37 millioner kroner.
     
  3. Beregne hva boligen kostet for 4 år siden.
    $f(-4) = 3 \cdot 1{,}06^{-4} \approx 2,38$, altså ca. 2,38 millioner kroner.
     
  4. Avgjøre om modellen kan brukes til å si noe om hva boligen kostet for 6 år siden eller hva boligen vil koste om 3 år.
    Nei. Dette ligger utenfor modellens gyldighetsområde, som angitt å være 5 år tilbake i tid, og 2 år fram i tid.

Tilbake til oppgaven