Løsningsforslag, geometri

Trigonometri

Oppgave 1:

Det er oppgitt at i en rettvinklet trekant er hypotenusen 13 cm og den ene kateten 12 cm, og vi skal finne ut hvor lang den andre kateten er.

Kaller vi hypotenusen $c$ og katetene $a$ og $b$, sier Pytagoras' setning at $c^2=a^2+b^2$.

Vi regner om slik at den ene kateten blir stående alene til venstre for likhetstegnet:

$a^2=b^2−c^2$

Setter vi inn, får vi $a^2=13^2−12^2=25$. Det vil si at $a=\sqrt{25} = 5$.

Den andre kateten er 5 cm.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

I en rettvinklet trekant med navn som i figuren under er det oppgitt at $v = 42^\circ$ og $d = 10$, og vi skal finne lengdene til $c$ og $e$.

Rettvinklet trekant som illustrerer oppgave

Vi har at cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen: $\cos v = {\large \frac{c}{d}}$.

Regner vi om slik at vi får $c$ alene på venstre side av likhetstegnet, blir det

$c=d \cdot \cos v$.

Vi finner $\cos 42^\circ \approx 0{,}74$ på en kalkulator eller i GeoGebra e.l., setter inn og får

$c \approx 10 \cdot 0{,}74 = 7{,}4$.

Vi har at sinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom motstående katet og hypotenusen:

$\sin v = {\large \frac{e}{d}}$.

Regner vi om slik at vi får $e$ alene på venstre side av likhetstegnet, blir det

$e = d \cdot \sin v$.

Vi finner $\sin 42^\circ \approx 0{,}67$, setter inn og får

$e \approx 10 \cdot 0{,}67 = 6{,}7$

Her kunne vi også brukt Pytagoras' setning og fått

$e^2 = d^2 – c^2 \approx 10^2 – 7{,}4^2 = 45{,}24 \Rightarrow e \approx \sqrt{45{,}24 } \approx 6{,}7$

$c$ er omlag 7,4 cm lang og $e$ er omlag 6,7 cm lang.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

I trekanten under vet vi at sidelengden $a=7$ og $c=9$ og skal bruke trigonometri til å finne vinkelen $A$.

Rettvinklet trekant som illustrerer oppgave

Vi vet at sinus til en vinkel er lik hosliggende katet over hypotenusen, så vi får at

$\sin A = {\large \frac{a}{c}} = {\large \frac{7}{9}} \approx 0{,}78$.

Vi får da at $A = \sin^{-1} 0{,}78 \approx 51{,}3 ^\circ$.

Så skal vi kontrollere at vinkelsummen i trekanten er $180^\circ$, når vi vet at $B$ er omlag $38{,}7^\circ$.

Vi får $90 ^\circ + 38{,}7^\circ  + 51{,}3^\circ = 180^\circ$.

Tilbake til oppgaven


Oppgave 5:

Vi skal undersøk om sammenhengene

$\cos v = \sin90^ \circ – v$

$\tan v = \frac{\displaystyle \sin v}{\displaystyle \cos v}$

er riktige for vinklene 0, 30, 45, 60 og 90 grader, slik de er vist i tabellen under.

Liste over spesielle trigonometriske verdier

Vi ser at

$\cos 0^\circ = \sin(90^\circ – 0^\circ) = \sin 90^\circ = 1$

$\cos 30^\circ = \sin(90^\circ – 30^\circ) = \sin 60^\circ = {\large \frac{\sqrt 3}{2}}$

$\cos 45^\circ = \sin(90^\circ – 45^\circ) = \sin 45^\circ = {\large \frac{\sqrt 2}{2}}$

$\cos 60^\circ = \sin(90^\circ – 60^\circ) = \sin 30^\circ = {\large \frac{1}{2}}$

$\cos 90^\circ = \sin(90^\circ – 90^\circ) = \sin 0^\circ = 0$

${\large \frac{\sin 0^\circ}{\cos 0^\circ}}=  {\large \frac{0}{1}} = 0 = \tan 0^\circ$

${\large \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}}=  {\large \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt 3}{2}}} =  {\large \frac{1}{\sqrt 3}} = {\large \frac{\sqrt 3}{3}} = \tan 30^\circ$

${\large \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}}=  {\large \frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{\frac{\sqrt 2}{2}}} =  1= \tan 45^\circ$

${\large \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}}=  {\large \frac{\frac{\sqrt 3}{2}}{\frac{1}{2}}} =  \sqrt 3 = \tan 30^\circ$

${\large \frac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ}}=  {\large \frac{1}{0}}$. Denne verdien er udefinert.

Alt stemmer med tabellen.

Tilbake til oppgaven

Vektorregning

Oppgave 1:

Vi har punktene G = (0, 4), L = (-2, 2), O = (2, 3) og R = (4, 4) og skal beregne koordinatene til vektorene $\overrightarrow{GL}$ og $\overrightarrow{OR}$.

Vi finner koordinatene til vektorer ved å trekke x– og y-koordinatene til startpunktet fra henholdsvis x– og y-koordinatene til sluttpunktet, så vi får

$\overrightarrow{GL} = [-2 – 0, 2 – 4] = [-2, -2]$

$\overrightarrow{OR} = [4 – 2, 4 – 3] = [2, 1]$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi har vektorene $\overrightarrow{a} = [-3, 2]$, $\overrightarrow{b} = [4, 2]$ og $\overrightarrow{c} = [-1, -3]$ og skal beregne

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$.

Vi får

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = [-3 + 4 + (-1), 2 + 2 + (-3)] = [0, 1]$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal beregne $|\overrightarrow{b}|$ når $\overrightarrow{b} = [12, 5]$.

Vi får

$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi har vektorene $\overrightarrow{a} = [3,1]$ og $\overrightarrow{b} = [-2,3]$ og skal beregne

$2\overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b}$.

Vi får

$2\overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b} = 2[3,1] + 4[-2,3] = [6,2] + [-8,12]=[-2,14]$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

 Vi skal beregne prikkproduktet til vektorene $\overrightarrow{a} = [4,2]$ og $\overrightarrow{b} = [-8,-4]$.

Vi får

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cdot (-8) + 2 \cdot (-4) = -40$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal beregne prikkproduktet av vektorene fra oppgave 5, $\overrightarrow{a} = [4,2]$ og $\overrightarrow{b} = [-8,-4]$ ved å benytte at vinkelen mellom vektorene er $180^\circ$.

Vi vet at

$\cos180^\circ = -1$

og beregner

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$

og 

$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{80}$

Så prikkporduktet blir

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =\sqrt{20} \cdot \sqrt{80} \cdot  (-1) = \sqrt{1600} \cdot(-1) = -40$

Som er det samme som vi fikk i oppgave 5.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Vi skal finne vinkelen mellom vektorene $\overrightarrow{a} = [2,-1]$ og $\overrightarrow{b} = [1,3]$.

Vi har at (I)

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 2\cdot 1 + (-1) \cdot 3 = -1$

Samtidig har vi at (II)

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b} | \cos \theta = \sqrt{2^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 3^2} \cdot \cos \theta = \\
 \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \theta = \sqrt{50} \cdot \cos \theta$

Setter vi sammen I og II, får vi

$-1 =\sqrt{50} \cos \theta\Rightarrow \cos \theta = {\large \frac{-1}{\sqrt{50}}}$

$\theta = \cos^{-1}{\Big({\large \frac{-1}{\sqrt{50}}}}\Big) \approx 98{,}13^\circ$

Dette er illustrert under.

Prikkprodukt

Tilbake til oppgaven

Oppgave 8:

Vi skal beregne projeksjonen av $\overrightarrow{a} = [-3, 2]$ på $\overrightarrow{b} = [4, 1]$.

Vi får

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = -3\cdot 4+ 2 \cdot 1 = -10$

og

$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = b_x \cdot b_x + b_y \cdot b_y = 4 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 17$

$\overrightarrow{a_b} = {\large \frac{-10}{17}}[4,1] \approx[-2{,}35, -0{,}59]$

Dette er illustrert under.

Vektorprojeksjon

Tilbake til oppgaven

Polarkoordinater

Oppgave 1:

Vi skal angi punktet $(4,3)$ i polarkoordinater. Da setter vi $x = 4$ og $y = 3$ inn i $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ og $\theta = \tan^{-1}{\large \frac{y}{x}}$ og får:

$r = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

og

$\theta = \tan^{-1}{\large \frac{3}{4}} \approx 37^\circ$

Så punktet blir $(5, 37^\circ)$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal angi punktet $(2, 60^\circ)$ i kartesiske koordinater. Da setter vi $r = 2$ og $\theta = 60^\circ$ inn i $x = r \cdot \cos \theta$ og $y = r \cdot \sin \theta$ og får:

$x = 2 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot {\large \frac{1}{2}} = 1$

og

$y = 2 \cdot \sin60^\circ = 2 \cdot {\large \frac{\sqrt 3}{2}} = \sqrt3$

Så punktet blir $(1, \sqrt 3)$

Tilbake til oppgaven