Løsningsforslag, grunnleggende om funksjoner

Funksjonsbegrepet

Oppgave 1:

Vi har en rektangulær innhegning med sider $x$ og $5 – x$, og skal finne

  1. Funksjonen som beskriver hvordan arealet i innhegningen varierer med $x$.
    Arealet av et rektangel finnes ved å multiplisere bredde og høyde, så vi får at $f(x) = x(5 – x) = -x^2 + 5x$.
     
  2. Funksjonens definisjonsmengde.
    Sidekantene må være større enn $0$. Vi må derfor ha at $x > 0$ og at $5 – x > 0$. Den siste betingelsen kan omformes til $x < 5$, så definisjonsmengden blir $D_f = \langle 0, 5 \rangle$.

​Tilbake til oppgaven

Polynomfunksjoner

Oppgave 1:

Vi skal skissere grafen til $f(x) = 2x + 1$.

$b = 1$, derfor må grafen gå gjennom $(0, 1)$.

Setter vi $x = 1$, får vi $f(1) = 3$. Derfor må grafen gå gjennom $(1, 3)$.

Vi merker av disse to punktene, legger en linjal gjennom dem og tegner en rett linje:

Illustrasjon av førstegrqadsfunksjon

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal skissere grafen til $f(x) = x^2 + 2x – 3$.

$a = 1$. Siden $a > 0$, vender grafen sin hule side oppover.

$c = -3$, derfor er skjæringspunktet med y-aksen $(0,-3)$.

$a = 1$, $b = 2$, derfor har minimumspunktet x-verdien

$-{\large\frac{b}{2a}} = -{\large \frac{2}{2 \cdot 1}} = -1$

Den tilhørende y-verdien blir

$f(-1)=(-1)^2+2(-1) – 3 = -4$.

Minimumspunktet er altså $(-1,-4)$.

$a = 1$, $b = 2$, $c = -3$. Ved å bruke formelen for å løse andregradslikninger finner vi at grafen skjærer x-aksen i $x_1 = -3$ og $x_2 = 1$. Skjæringspunktene er altså $(-3, 0)$ og $(1, 0)$.

En skisse av grafen basert på dette er vist under.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Basert på andregradsfunksjonen $f(x) = x^2 – 2x – 3$ skal vi svare på fire spørsmål.

  1. Vender grafen sin hule side opp eller ned?
    $a = 1$. Siden $a > 0$, vender grafen sin hule side opp.
     
  2. Hva er grafens skjæringspunkt med y-aksen?
    Grafen skjærer y-aksen i $c$. Siden $c = -3$, blir skjæringspunktet er $(0, -3)$.
     
  3. Hva er grafens skjæringspunkter med x-aksen?
    Løsningen til likningen $f(x) = 0$ er $x_1 = -1$ og $x_2 = 3$. Skjæringspunktene med x-aksen blir derfor $(-1, 0)$ og $(3, 0)$.
     
  4. Hva er grafens minimums/maksimumspunkt?
    Siden grafen vender sin hule side opp, har den et minimumspunkt. x-verdien til minimumspunktet er:
    $-{\large\frac{b}{2a}} = -{\large \frac{-2}{2 \cdot 1}} = 1$
    y-verdien til minimumspunktet er:$f(1)=1^2 – 2 \cdot 1 – 3 = -4$
    Så minimumspunktet er $(1, -4)$.

Tilbake til oppgaven

Representasjonsformer

Oppgave 1:

Vi skal finne funksjonsforskriften til linja som går gjennom punktet $(1, 2)$ og har stigningstall $-1$.

Stigningstallet tilsvarer $a$, så $a = -1$

$b$ er gitt ved $b = y_1- ax_1 = 2 – (-1)1 = 3$

Så funksjonsforskriften blir $f(x) = -x + 3$.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal finne funksjonsforskriften til linja som går gjennom punktene $(-2, -1)$ og $(1, 5)$.

$a$ er gitt ved $a = \frac{\displaystyle y_2 – y_1}{\displaystyle x_2 – x_1} = {\large \frac{5 – (-1)}{1 – (-2)}} = 2$

(Vi kunne gjerne byttet rundt på punktene og fått $a = {\large \frac{-1 – 5}{-2 – 1}} = 2$.)

$b$ er gitt ved $b = y_1- ax_1 = -1 – 2(-2) = 3$

(For å finne $b$, kunne vi like gjerne brukt det andre punktet: $b = y_2 – a x_2 = -5 – 2·1 = 3$.)

Så funksjonsforskriften blir $f(x) = 2x + 3$.

​Tilbake til oppgaven