Løsningsforslag, mer om algebra

Logaritmer

Oppgave 1:

Vi skal beregne $\log 2$, $\log 20$ og $\log 0{,}2$

  1. med Excel.
    Vi går til ei celle i Excel og skriver =log10(2). Tilsvarende for $\log 20$ og $\log 0{,}2$.
     
  2. med GeoGebra.
    Vi går i inntastingsfeltet og skriver lg(2). Tilsvarende for $\log 20$ og $\log 0{,}2$.

Resultatet skal uavhengig av beregningsverktøy bli det samme: $\log 2 \approx 0{,}3$, $\log 20 \approx 1{,}3$ og $\log 0{,}2 \approx -0{,}7$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne $\log_{\large 3} 81$ ved å bruke funksjonen $\ln$.

Her benytter vi oss av at $\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$, og får

$\log_{\large 3} 81 = \frac{\displaystyle \ln 81}{\displaystyle \ln 3} = 4$.

Vi ser at dette svaret er riktig fordi $3^4 = 81$. 4 er det tallet vi må opphøye grunntallet 3 i for å få 81.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen $12^{\large 2x} + 3= 125$.

Vi flytter $3$ over til høyre side: $12^{\large 2x} = 125 – 3 = 122$.

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet: $\ln 12^{\large 2x} = \ln 122$.

Vi flytter ned eksponenten: $2x \cdot \ln 12 = \ln 122$.

Vi dividerer med $2$ og $\ln 12$ på begge sider: $x = \frac{\displaystyle \ln 122}{\displaystyle 2 \cdot \ln 12} \approx 0{,}97$.

Vær obs på at små avrundingsfeil gir store utslag hvis vi setter prøve på svaret.

NB! Dette er feil metode:

$\color{red}{ \ln 12^{\large 2x} + 3 = \ln 125 \\
\Downarrow \\
2x \cdot \ln 12 + \ln 3 = \ln 125}$

Logaritmen til en sum er ikke lik summen av logaritmene.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal anslå verdien til punktene B, C, D, F, G og H som er vist på en logaritmisk skala der verdiene 10 og 100 er markert. Svaret er

B: 2,5, C: 5,0, D: 7,5, F: 25, G: 50, H: 75.

Her er det fort å gå fem på og tenke som om det var en lineær skala mellom 1 og 10 og 10 og 100, og tro at det er lengre mellom A og B enn mellom D og E, og lengre mellom E og F enn mellom H og I.

I bildet under er samme skala vist, men nå med mellomenhetene $2, 3, \dots, 9$ og $20, 30, \dots, 90$ markert. Vi ser at avstanden mellom enhetene avtar jo større enhetene blir.

Punkter langs logaritmisk akse med mellomverdier markert

Tilbake til oppgaven

Bevis og bevisteknikk

Oppgave 1:

Vi skal bevise at det finnes nøyaktig ett heltall, $n \in[20, 25]$, som består av nøyaktig fire primfaktorer.

Vi faktoriserer heltallene mellom $20$ og $25$:

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \\
21 = 3 \cdot 7 \\
22 = 2 \cdot 11 \\
23 = 23 \\
 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \\
 25 = 5 \cdot 5$

Vi ser at $24$ og ingen andre av tallene oppfyller kravet, og påstanden er derved bevist.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bevise at påstanden "alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primfaktorer" er uriktig.
Det gjør vi ved et moteksempel: $106$ er et sammensatt tall, men inneholder bare to primfaktorer, $106 = 2 \cdot 53$.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi spør hvor mange, $m$, sokker vi må ha blant $n$ typer for at minst to skal være like. Dueslagprinsippet sier at dette vil vi ha når $m > n$. Siden $n = 5$, og minste $m > 5$ er $6$, må vi ha minst seks sokker.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal bevise at summen av to oddetall er et partall. Et oddetall er et tall på formen $2t + 1$ der $t$ er et helt tall. Summen av to oddetall kan skrives som $(2n + 1) + (2m + 1) = 2(n + m + 1)$. Siden $n + m + 1$ er et heltall, ser vi at produktet er på formen $2t$, og derved et partall.

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi påsto at likningen $a^2 – b^2 = 12$ ikke hadde positive heltallsløsninger fordi vi, både når vi faktoriserte $12$ som $3 \cdot 4$ og $1 \cdot 12$, endte opp med en $a$ som ikke var et heltall.

Vi har imidlertid ikke tatt for oss alle måtene 12 kan faktoriseres på. Vi kan også ha $12 = 2 \cdot 6$ og da får vi $(a + b) = 6$ og $(a – b) = 2$. Summerer vi de to likningene, får vi $2a = 8 \Rightarrow a = 4$. Setter vi dette inn i $a + b = 6$, får vi  $4 + b = 6 \Rightarrow b = 2$. Beviset faller derved sammen. Vi har $4^2 – 2^2 = 12$.

​Tilbake til oppgaven