Løsningsforslag, mer om funksjoner

Funksjoner formelt

Oppgave 1:

Vi skal vurdere hvilke av følgende koplinger som er funksjoner.

Koplinger mellom mengder som kanskje er funksjoner

A er ikke en funksjon. Det finnes et element (Kari) i definisjonsmengden som ikke er koplet til noe element i verdimengden.

B er en funksjon. Alle elementer i definisjonsmengden er koplet til nøyaktig ett element i verdimengden. Det gjør ikke noe at det finnes et ekstra element (Jordet 21) i verdimengden.

C er en funksjon. Alle elementer i definisjonsmengden er koplet til nøyaktig ett element i verdimengden. Det gjør ikke noe at to elementer i definisjonsmengden (Ola, Kari) er koplet til samme element (Buveien 1) i verdimengden.

D er ikke en funksjon. Et element i definisjonsmengden (Ola) er koplet til to elementer i verdimengden (Buveien 1, Jordet 21).

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal avgjøre hvilke av følgende utsagn som definerer $y$ som en funksjon av $x$.

  1. $3x – 2y = 5$.
    Uttrykket kan skrives som $y = \frac{\displaystyle 3x – 5}{\displaystyle 2}$. For hver verdi av $x$ tilordnes det én og bare én $y$, så dette er en funksjon.
     
  2. $x^2 + y^2 = 1$.
    Uttrykket kan skrives som $y = \pm \sqrt{1 – x^2}$. Her tilordnes det mer enn én verdi av $y$ for samme $x$, så dette er ikke en funksjon.
     
  3. $y$ er overflaten til en kule med radius $x$.
    Dette kan uttrykkes som $y = 4 \pi x^2$. For hver verdi av $x$ tilordnes det én og bare én $y$, så dette er en funksjon.
     
  4. $y$ er omkretsen av et rektangel med areal $x$.
    Det finnes uendelig mange omkretser for ett og samme areal. For eksempel gir sidekanter 2 og 5, 1 og 10, 2,5 og 4 alle areal 10, men omkretser på henholdsvis 14, 22 og 13. Siden det tilordnes mer enn én verdi av $y$ for samme $x$, er dette ikke en funksjon.

​Tilbake til oppgaven

Sammensatte funksjoner

Oppgave 1:

Vi har fått funksjonene $f(x) = x^2 + 2$ og $g(x) = 3x – 1$, og skal beregne:

  1. $g(f(x))$.
    Vi erstatter $x$ i funksjonsforskriften til $g(x)$ med funksjonsforskriften til $f(x)$:
    $g(f(x)) = g(x^2 + 2) = 3(x^2 + 2) – 1 = 3x^2 + 5$
     
  2. $f(g(x))$.
    Vi erstatter $x$ i funksjonsforskriften til $f(x)$ med funksjonsforskriften til $g(x)$:
    $f(g(x)) = f(3x – 1) = (3x – 1)^2 + 2 = 9x^2 – 6x + 1 + 2 = 9x^2 – 6x + 3$

Vi ser at det ikke er vilkårlig hvilken funksjon vi tar først. Generelt er $g(f(x))$ ikke det samme som $f(g(x))$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi har fått funksjonene $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ og $g(x) = -x + 4$, og skal beregne:

  1. $g(f(x))$.
    Vi erstatter $x$ i funksjonsforskriften til $g(x)$ med funksjonsforskriften til $f(x)$:
    $g(f(x)) = g(2x^2 + 3x + 1) = -(2x^2 + 3x + 1) + 4 = -2x^2 – 3x + 3$
     
  2. $f(g(x))$.
    Vi erstatter $x$ i funksjonsforskriften til $f(x)$ med funksjonsforskriften til $g(x)$:
    $f(g(x)) = f(-x + 4) = 2(-x + 4)^2 + 3(-x + 4) + 1 = 2x^2 – 16x + 32 – 3x + 12 + 1 = 2x^2 – 19x + 45$

Tilbake til oppgaven

Inverse funksjoner

Oppgave 1:

Vi skal finne den inverse funksjonen til $f(x) = 5x + 3$.

Vi skriver dette forenklet som: $y = 5x + 3$.

Vi løser mhp. $x$, og får: $x = \frac{\displaystyle y-3}{\displaystyle 5}$.

Den inverse funksjonen er altså: $f^{-1}(y) = \frac{\displaystyle y-3}{\displaystyle 5}$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal begrunne om følgende funksjoner har en invers eller ikke:

  1. $f(x) = x^2, D_f = \mathbb R$
    Funksjonen avtar når $x < 0$ og stiger når $x > 0$. Den er altså ikke strengt monoton og har ikke invers.
     
  2. $f(x) = x^2, D_f = [-1, 1]$
    Samme argument som i 1. Funksjonen har ikke invers.
     
  3. $f(x) = x^2, D_f = \langle 0, \infty \rangle$
    I dette definisjonsområdet er funksjonen strengt stigende og har en invers, $y = \sqrt x$.
     
  4. $f(x) = x^3, D_f = \mathbb R$
    Denne funksjonen er strengt stigende i hele $\mathbb R$ og har en invers, $y = \sqrt[\Large 3] x$.

Tilbake til oppgaven

Delt funksjonsforskrift

Oppgave 1:

Vi har en fuglemater med 3 par hull, ett par i bunnen, ett par en tredjedel opp, og ett par to tredjedeler opp.

Bilde av fuglemater med tre par hull

Vi vet at det fra materen er full til den er to tredels full går 20 minutter, og skal finne fram til en delt funksjonsforskrift som angir mengden fôr (fra 100 % til 0 %) som er tilbake i fuglemateren basert på antall minutter siden den ble fylt helt opp.

Det er hele tiden er fuger og spiser, så lenge det er fôr, og det er ikke noen variasjoner i formen som påvirker hvor fort fôrnivået synker.

Så lengde det er samme antall fugler som spiser, avtar fôrmengden i et konstant forhold til hastigheten de spiser i. Mengden fôr beskrives derfor av en lineær funksjon, på formen $f(t) = at + b$, der $t$ er tiden i minutter siden materen ble fylt.

At materen er full til å begynne med, og to tredels full etter 20 minutter, kan vi matematisk uttrykke som at linjen funksjonen representerer går gjennom punktene $(0,100)$ og $(20, 100 \cdot {\large \frac{2}{3}})$, der første koordinat representerer tiden i minutter og andre koordinat hvor mange prosent mat som er igjen. 

Vi beregner 

$a = \frac{\displaystyle 100 \cdot \frac{2}{3} – 100}{\displaystyle 20 – 0} = \frac{\displaystyle -\frac{100}{3}}{\displaystyle 20}= -\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3}$

$b = 100- (-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3} \cdot 0) = 100$

Så funksjonsforskriften blir

$f(t) = -\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3}t + 100$.

Når 20 minutter er gått, vil det ikke være mer fôr å hente i de øverste hullene, så nå kan bare fire fugler spise. Siden seks fugler bruker 20 minutter på å spise den første tredelen, vil fire fugler bruke ${\large \frac{6}{4}} \cdot 20 = 30$ minutter på å spise den neste tredelen.

Etter 20 + 30 = 50 minutter vil altså fuglemateren være en tredels full.

Linjen som representerer tiden mellom to tredels full og en tredels full må følgelig gå gjennom punktene

$(20,100 \cdot {\large \frac{2}{3}})$ og $(50,100 \cdot {\large \frac{1}{3}})$

Vi beregner 

$a = \frac{\displaystyle 100 \cdot \frac{1}{3} – 100 \cdot \frac{2}{3}}{\displaystyle 50 – 20} = \frac{\displaystyle -\frac{100}{3}}{\displaystyle 30}= -\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 9}$

$b = 100 \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle3} -(-\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 9} \cdot 20) = \frac{\displaystyle 800}{\displaystyle 9}$

Så funksjonsforskriften blir

$f(t) = -\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 9}t + \frac{\displaystyle 800}{\displaystyle 9}$.

To fugler vil nå bruke ${\large \frac{6}{2}} \cdot 20 = 60$ minutter på å spise den siste tredelen med fôr. Fuglemateren er altså tom etter 20 + 30 + 60 = 110 minutter.

Linjen som representerer tiden mellom en tredels full og tom må følgelig gå gjennom punktene

$(50,100 \cdot {\large \frac{1}{3}})$ og $(110,0)$

Vi beregner 

$a = \frac{\displaystyle 0 – 100 \cdot \frac{1}{3}}{\displaystyle 110 – 50} = \frac{\displaystyle -\frac{100}{3}}{\displaystyle 60}= -\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}$

$b = 100 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}  – (-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9} \cdot 50) = \frac{\displaystyle 550}{\displaystyle 9}$

Så funksjonsforskriften blir

$f(t) = -\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}t + \frac{\displaystyle 550}{\displaystyle 9}$.

Så setter vi disse tre funksjonsforskriftene sammen i et uttrykk med delt funksjonsforskrift:

$f(t) = \begin{cases}
-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 3}t + 100 & \; \text{for } 0 \leq t < 20\\
\\
-\frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 9}t + \frac{\displaystyle 800}{\displaystyle 9} & \;\text{for } 20 \leq t < 50 \\
\\
-\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 9}t + \frac{\displaystyle 550}{\displaystyle 9} & \;\text{for } 50 \leq t \leq 110 \\
\end{cases}$

En graf som viser hvor mange prosent fôr som er igjen i materen som funksjon av tiden er vist under:

Graf som viser hvor mye fôr som er igjen i en fuglemater som funksjon av tiden

Tilbake til oppgaven

Kontinuitet og grenser

Oppgave 1:

Vi skal vurdere hvilken av følgende kombinasjoner av funksjonene $f(x) = x^2 + 3x – 1$ og $g(x) = x^2 – 4$ som er kontinuerlige, og for hvilke x-verdier vi eventuelt vil få diskontinuiteter.

  1. $f(x) + g(x)$
     
  2. $f(x) – g(x)$
     
  3. $f(x) \cdot g(x)$
     
  4. $\frac{\displaystyle f(x)}{\displaystyle g(x)}$
     
  5. $f(g(x))$

Siden både $f(x)$ og $g(x)$ er polynomfunksjoner, er de kontinuerlige for alle $x$. Det betyr at alle kombinasjonene er kontinuerlige bortsett fra den rasjonelle funksjonen $\frac{\displaystyle f(x)}{\displaystyle g(x)}$, som vil ha diskontinuiteter når $g(x) = 0$, altså når $x = -2$ eller $x = 2$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruke terminologien med lim til å uttrykke følgende:

  1. $1$ er en grense for $f(x)$ når $x$ nærmer seg $0$.
    $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x) = 1$.
     
  2. $0$ er en grense for $f(x)$ når $x$ nærmer seg minus uendelig.
    $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal avgjøre om funksjonen $f(x)$, gitt ved delt funksjonsforskrift, 

$f(x) =
\begin{cases}
x + 2 & \text{når } x < 2 \\
4 & \text{når } x = 2 \\
2x – 2& \text{når } x > 2
\end{cases}
$

er kontinuerlig i $x = 2$.

Når $x$ går mot $2$ fra venstre, er grenseverdien gitt ved forskriften $f(x) = x + 2$, og vi får $f(2) = 2 + 2 = 4$.

Når $x$ går mot $2$ fra høyre, er grenseverdien gitt ved forskriften $f(x) = 2x – 2$, og vi får $f(2) = 2 \cdot 2 – 2 = 2$.

Siden den venstresidige og høyresidige grenseverdien ikke er like, har funksjonen ingen grense i $x = 2$, og er ikke kontinuerlig. Grafen er vist under, vi ser at den har et brudd når $x = 2$.

Graf med brudd i x = 2

Tilbake til oppgaven

Asymptoter

Oppgave 1:

Vi skal finne horisontale og vertikale asymptoter til funksjonen $f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x+4}$.

Når $x$ går mot pluss/minus uendelig, går brøken mot 0, og vi står igjen med $f(x) = 3$. Så $y = 3$ er en horisontal asymptote.

Når $x$ går mot -4, går nevneren i brøken mot 0, uten at telleren går mot 0, og brøken går derfor mot pluss eller minus uendelig. Så $x = -4$ er en vertikal asymptote.

Grafen er vist under, asymptotene er tegnet inn med rødt:

Illustrasjon av asymptoter

Tilbake til oppgaven

Oppgave3:

I en matematisk modell for forurensing i en innsjø er forskere kommet fram til at giftmengden, målt i kilo, ved $t$ døgn er gitt ved $f(t) = {\large \frac{10t^2}{4t^2+6t+9}}$, og vi skal forklare hvordan forskerne kommer fram til at giftmengden i det lange løp vil stabilisere seg på 2,5 kilo.

"I det lange løp" symboliserer vi ved å la $t$ gå mot uendelig. Hvis funksjonsverdien da nærmer seg en asymptote, vil denne representere det giftmengden vil stabilisere seg på. Vi har

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{10t^2}{4t^2+6t+9} = \lim_{t \to \infty} {\large \frac{\frac{10t^2}{t^2}}{\frac{4t^2}{t^2}+\frac{6t}{t^2}+\frac{9}{t^2}}} = \lim_{t \to \infty} \frac{10}{4+{\large\frac{6}{t}}+{\large \frac{9}{t^2}}} = \frac{10}{4} = 2{,}5$.

$y = 2{,}5$ er en horisontal asymptote for funksjonen, så 2,5 er den verdien giftmengden vil stabilisere seg på.

Tilbake til oppgaven