Logaritmer

Vi starter med noen konkrete eksempler på forskjellige logaritmer.

Briggske logaritmer

Den briggske logaritmen til et tall, $x$, er det tallet vi må opphøye $10$ i for å få $x$. Vi skriver det $\log x$. Vi har for eksempel at:

$\log 1000 = 3$, fordi $10^3 = 1000$

$\log100 = 2$, fordi $10^2 = 100$

$\log 10 = 1$, fordi $10^1 = 10$

$\log 1 = 0$, fordi $10^0 = 1$

$\log 0{,}1 = -1$, fordi $10^{-1} = 0{,}1$

$\log 0{,}01 = -2$, fordi $10^{-2}= 0{,}01$

Den briggske logaritmen til et tall, $x$, er

Større enn $1$ hvis $x > 10$.

$1$ hvis $x = 10$.

Mellom $0$ og $1$ hvis $1 < x < 10$.

$0$ hvis $x = 1$.

Et negativt tall hvis $0 < x < 1$.

Vi kan ikke beregne logaritmen til et tall som er mindre eller lik $0$. Mer presist er logaritmen til et negativt tall et komplekst tall, noe vi ikke kommer nærmere inn på her.

Alle $x$ i eksemplene over var potenser av $10$. Når $x$ ikke er en potens av $10$, vil logaritmen være et desimaltall, og ikke noe vi kan regne ut for hånd. Men litt avanserte kalkulatorer, og dataprogrammer som Excel og GeoGebra kan beregne logaritmer. Dessverre er det litt inkonsekvens i skrivemåten. I Excel heter funksjonen log10, og i GeoGebra lg. I andre programmer kan det finne andre standarder, og noen steder betyr lg noe annet.

Briggske logaritmer er oppkalt etter matematikeren Henry Briggs.

Oppgave 1:

Beregn $\log 2$, $\log 20$ og $\log 0{,}2$ med Excel og GeoGebra.

Se løsningsforslag

Binære logaritmer

Den briggske logaritmen baserer seg på tallet $10$, vi sier at den har grunntall $10$. Men det er ikke noe magisk med dette tallet, vi kan godt basere en logaritme på et annet tall, for eksempel $2$. Logaritmen med $2$ som grunntall heter den binære logaritmen.

Den binære logaritmen til et tall, $x$, er det tallet vi må opphøye $2$ i for å få $x$. Vi har for eksempel at:

$\log_2 8 = 3$, fordi $2^3 = 8$

$\log_2 4 = 2$, fordi $2^2 =4$

$\log_2 2 = 1$, fordi $2^1 =2$

$\log_2 1 = 0$, fordi $2^0 =1$

$\log_2 0{,}5 = -1$ fordi $2^{-1} =0{,}5$

$\log_2 0{,}25 = -2$ fordi $2^{-2} =0{,}25$

Vi har her brukt $2$ som subskript for å vise at det dreier seg om den binære logaritmen, som har grunntall $2$. Den binære logaritmen til et tall, $x$, er

Større enn $1$ hvis $x > 2$.

$1$ hvis $x = 2$.

Mellom $0$ og $1$ hvis $1 < x < 2$.

$0$ hvis $x = 1$.

Et negativt tall hvis $0 < x < 1$.

Dette er helt tilsvarende briggske logaritmer, bare at tallet $10$ er erstattet med $2$. For potenser av $2$ er det lett å regne ut den binære logaritmen for hånd. For andre tall trenger vi hjelp av dataprogrammer. I GeoGebra heter den binære logaritmen ld. Excel har ikke noen egen funksjon for den binære logaritmen, men i stedet en generell funksjon log, der vi oppgir grunntallet som en parameter. For å finne logaritmen til $x$ med $a$ som grunntall skriver vi =log(x; a). For eksempel vil =log(8; 2) gi logaritmen til $8$ med $2$ som grunntall.

Naturlige logaritmer

Grunntallet til en logaritme trenger ikke være et helt tall. Velger vi tallet $e$ som grunntall, får vi den naturlige logaritmen. $e$ er beskrevet i artikkelen om eksponentialfunksjoner, og er et irrasjonalt tall lik omlag $2{,}718$. Den naturlige logaritmen opptrer i en mengde sammenhenger både i naturen og matematikken.

Den naturlige logaritmen til et tall, $x$, er det tallet vi må opphøye $e$ i for å få $x$. Siden $e$ ikke er et helt tall, er det vanskelig å beregne naturlige logaritmer for hånd. Men denne logaritmen er det vanlig å finne på kalkulatorer og i dataprogrammer. Både i Excel og GeoGebra heter den ln. Denne skrivemåten for den naturlige logaritmen er vanlig, men også her er det avvik. Noen steder brukes log, GeoGebra aksepterer for eksempel log som et synonym for ln.

På dette nettstedet bruker vi følgende konvensjon:

$\log_a$ er en logaritme med grunntall $a$.

$\log$ er den briggske logaritmen, altså $\log_{10}$.

$\ln$ er den naturlige logaritmen, altså $\log_e$.

Bruker vi et dataprogram, og er i tvil om hvilket grunntall en logaritmefunksjon representerer, kan vi teste ved å utnytte at logaritmen til grunntallet alltid er $1$. For eksempel $\log 10 = \log_2 2 = \ln e = 1$.

Omregning mellom logaritmer med forskjellig grunntall

Det er lett å beregne logaritmer med vilkårlige grunntall basert på den naturlige logaritmen. For alle grunntall, $a$, har vi at:

$\fbox{$\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$}$

Her har vi brukt den naturlige logaritmen, $\ln$, fordi den er enkelt tilgjengelig i de fleste verktøy. Sammenhengen er imidlertid gyldig for logaritmer med alle mulige grunntall:

$\fbox{$\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \log_{\large b} x}{\displaystyle \log_{\large b} a}$}$

Oppgave 2:

Beregn $\log_{\large 3} 81$ ved å bruke funksjonen $\ln$.

Se løsningsforslag

Regneregler for logaritmer

For alle logaritmer har vi følgende sammenhenger:

  1. $\fbox{$\log_{\large a} u \cdot v = \log_{\large a} u+ \log_{\large a} v$}$
    Å ta logaritmen til et produkt er det samme som å addere logaritmen til hver av faktorene.
     
  2. $\fbox{$\log_{\large a}\frac {\displaystyle u}{\displaystyle v} = \log_{\large a} u – \log_{\large a} v$}$
    Å ta logaritmen til en kvotient er det samme som å subtrahere logaritmen til dividend og divisor.
     
  3. $\fbox{$\log_{\large a} u^{\large r} = r \cdot \log_{\large a} u$}$
    Å ta logaritmen til en potens er det samme som å multiplisere eksponenten med logaritmen til grunntallet.

Med logaritmer gjøres altså multiplikasjon og divisjon om til addisjon og subtraksjon, og eksponentiering gjøres om til multiplikasjon. I kalkulatorens og datamaskinens dager virker kanskje ikke dette spesielt nyttig, men i en tid da alle beregninger ble gjort for hånd, var dette en revolusjonerende forenkling. Logaritmer regnes derfor som et av de viktigste bidragene til matematikken.

Litt flere regneregler:

  1. $\fbox{$\log_{\large a} \frac {\displaystyle 1}{\displaystyle x} = – \log_{\large a} x$}$
    Å ta logaritmen til inversen til et tall er det samme som å ta logaritmen til tallet og skifte fortegn.
    (Dette er egentlig et spesialtilfelle av regel 2 med $u = 1$)
     
  2. $\fbox{$a^{\large \log_{\Large a} x} = x$}$
    Eksponentiering og logaritme opphever hverandre.
  3. $\fbox{$\log_{\large a} a^{\large x} = x$}$
    Logaritme og eksponentiering opphever hverandre.

Likninger med den ukjente i eksponenten

Vi har nå verktøy til å løse en ny type likninger, likninger der den ukjente står i eksponenten. Vi tar da logaritmen på begge sider av likhetstegnet. Hvilken logaritme vi velger spiller ingen rolle, bare vi bruker samme på begge sider. For enkelhets skyld bruker vi $\ln$ i eksemplet under.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen $3^x = 81$.

Vi tar først logaritmen på begge sider av likhetstegnet: $\ln 3^x = \ln 81$.

Så bruker vi regel 3 til å skrive om venstre side: $x \cdot \ln 3 = \ln 81 $.

Nå er vi kommet fram til en likning på en form vi kjenner fra før. Vi dividerer med $\ln 3$ på begge sider av likhetstegnet:

$x = \frac{\displaystyle \ln 81}{\displaystyle \ln 3 } = 4$.

Dette stemmer, for $3^4 = 81$.

Oppgave 3:

Løs likningen $12^{\large 2x} + 3= 125$.

Se løsningsforslag

Logaritmiske skalaer

På aksene i koordinatsystemene våre har vi til nå alltid brukt lineære skalaer, det vil si at for hver enhet vi beveger oss langs en av aksene, endres x– eller y-verdien med et fast tall. Et eksempel er vist under, for hver strek vi beveger oss langs x-aksen endres x-verdien med 1, og for hver strek vi beveger oss langs y-aksen endres y-verdien med 3.

Koordinatsystem med lineær skala langs begge aksene

La oss nå si at vi skal plotte punktene $A = (1, 3)$, $B = (2, 5)$ og $C = (6, 1)$. Ingen problemer med å gjøre det i koordinatsystemet over.

Skal vi i stedet plotte $A = (1, 3000)$, $B = (2, 5000)$ og $C = (6, 1000)$, er det heller ingen problemer, vi endrer bare skalaen på y-aksen til å være for eksempel 1000 per strek. Alle punktene er nemlig av samme størrelsesorden

Men hvis vi har punkter som $A = (1, 3)$, $B = (2, 5000)$ og $C = (3, 1000000)$ får vi et problem. y-verdien til disse punktene er nemlig ikke i samme størrelsesorden. Er skalaen tilpasset punktet $A$, havner $B$ og $C$ langt utenfor skjermen. Tilpasser vi skalaen til $C$, blir $A$ og $B$ liggende klemt inntil x-aksen:

Illustrasjon av problem med data av forskjellig størrelsesorden i et lineært koordinatsystem

Løsningen er å endre skalaen slik at vi ikke adderer et tall for hver enhet på aksene, men multipliserer med et tall.

Vi inspiserer noen logaritmer igjen: Vi har at $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1000 = 3$, etc. For hver gang vi multipliserer et tall med 10, øker den briggske logaritmen med 1. Og vi har at $\log_2 2 = 1$, $log_2 4 = 2$, $log_2 8 = 3$, etc. For hver gang vi multipliserer et tall med 2, øker den binære logaritmen med 1. Generelt har vi at hver gang vi multipliserer et tall med $a$, øker logaritmen med grunntall $a$ med 1.

Og det er jo nettopp et slikt system vi trenger på aksene når vi skal plotte elementer av ulik størrelsesorden. Vi bruker da en logaritmisk skala, ikke en lineær. Det spiller ingen rolle hvilken logaritme vi velger. Bildet under viser punktene $A$, $B$ og $C$ i et koordinatsystem med logaritmisk skala basert på grunntall 10 på y-aksen.

Data av forskjellig størrelsesorden i et koordinatsystem med en logaritmisk akse

 

I eksemplet over har vi brukt lineær skala på x-aksen og logaritmisk skala på y-aksen, men ved behov kan vi ha logaritmisk skala på begge aksene, eller bare x-aksen.

Et praktisk eksempel på forskjellig størrelsesorden er lydeffekt. Tabellen under viser lydeffekt i W fra forskjellige lydkilder:

Høreterskel 0,000000000001
Hvisking 0,000000001
Oppvaskmaskin 0,0001
Symfoniorkester 1
Propellfly 100
Jetfly 1000
Saturnrakett 100000

 

Det vil ikke la seg gjøre å fremstille dette fornuftig på en lineær skala. Men på en logaritmisk skala går det fint. Og det er nettopp det vi gjør i praksis. Vi måler ikke lyd i lineære watt, men i logaritmiske desibel, db. En økning i lydstyrke på 3 db tilsvarer en dobling av effekten.

Oppgave 4:

Bildet under viser 9 punkter med verdi fra 1 til 100 på en logaritmisk skala. A har verdien 1, E har verdien 10 og I har verdien 100. Anslå verdien til de andre punktene.

Punkter fordelt langs en logaritmisk akse

Se løsningsforslag

Kilder

  • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
  • Wikipedia