Modellere med differensiallikninger

Vi skal nå se et eksempel på bruk av en differensiallikning til å løse et problem fra virkeligheten.

Vi setter ei skål suppe som holder 900 til avkjøling, og skal regne ut når suppa holder 500.

Hadde temperaturen sunket med konstant hastighet, ville dette vært en enkel utregning. Sank den med for eksempel 80 per minutt, ville det tatt ${\large \frac{90 – 50}{8}} = 5$ minutter før suppa holdt 500.

Men vi vet av erfaring at avkjøling ikke skjer på den måten. Suppa avkjøles fort når den er veldig varm, og så langsommere og langsommere mot omgivelsestemperaturen.

Avkjølingen skjer i henhold til Newtons avkjølingslov, som er slik:

$T' = -k(T – T_o)$

Her er $T$ temperaturen til objektet som kjølner, $T_o$ er omgivelsestemperaturen, og $k$ en positiv konstant, som vil variere fra materiale til materiale.

La oss tolke dette uttrykket:

På venstre side av likhetstegnet står $T'$, altså endring i temperatur. På høyre side har vi et minus-tegn foran $k$, som er oppgitt å være positiv, og $T-T_o$, som er positiv fordi objektets temperatur alltid vil være høyere enn omgivelsestemperaturen. $T'$ er derfor alltid negativ, noe som betyr at temperaturen alltid avtar.

Videre ser vi at $T'$ er proporsjonal med differansen mellom objektets og omgivelsenes temperatur, $T-T_o$. Det betyr at jo nærmere $T$ kommer $T_o$, jo nærmere kommer $T'$ null, og jo langsommere synker temperaturen.

$T$ er en funksjon av tiden, $t$, så for å presisere det, skriver vi

$T'(t) = -k\big(T(t) – T_o\big)$

Vi ser at dette er en differensiallikning fordi den inneholder både en funksjon, $T(t)$, og funksjonens deriverte, $T'(t)$. Den er av første orden fordi den bare inneholder første ordens deriverte.

For å kunne regne ut temperaturen på et gitt tidspunkt, må vi løse denne differensiallikningen. For å kunne beregne suppas temperatur, trenger vi altså matematikk på R2-nivå.

For oversiktens skyld skriver vi bare $T$ og $T'$ i det følgende, det er underforstått at tiden, $t$, er den uavhengige variabelen.

Hvis vi multipliserer $-k$ inn i parentesen og flytter leddet $-kT$ over på venstre side, får vi

$T' + kT = kT_o$

I artikkelen om lineære differensiallikninger lærte vi at en lineær differensiallikning var på formen $y' + p(x) \cdot y = q(x)$. Vi ser at likningen over er på denne formen, forskjellen er bare at vi har erstattet $y$ med  $T$ og $x$ med $t$. Vi har $p(t) = k$ og $q(t) = kT_o$.

Siden $p(t) = k$, får vi $P(t) = \int k \, dt = kt + C$. Integrerende faktor blir $e^{kt}$.

Vi multipliserer med integrerende faktor på begge sider

$T' e^{kt} + kT e^{kt} = kT_oe^{kt}$

Vi bruker produktregelen baklengs på venstre side og får

$(T\,e^{kt})' = kT_oe^{kt}$

Vi integrerer begge sider og får

$T\,e^{kt} = T_oe^{kt} + C$ (Her benyttet vi at $\int e^{kt} \, dt = {\large\frac{1}{k}}e^{kt}$)

Så dividerer vi begge sider med integrerende faktor, og får et uttrykk for temperaturen som funksjon av tiden:

$T = T_o +  \frac{\displaystyle C}{\displaystyle e^{kt}} = T_o + Ce^{-kt}$

Denne formen med $e$ opphøyd i minus en positiv konstant ganger tiden er typisk for en mengde fenomener i naturen.

Vi ser at når $t \rightarrow \infty$, vil $Ce^{-kt} \rightarrow 0$, og vi står igjen med $T=T_o$. Temperaturen nærmer seg altså omgivelsestemperaturen når tiden går mot uendelig. $T_o$ er en grenseverdi for $T(t)$.

Helt i starten, når $t=0$, har vi $T = T_o + Ce^0 = T_o + C$. Vi har en ukjent verdi i uttrykket, nemlig $C$. Det er naturlig, for temperaturen underveis vil jo ikke bare være avhengig av hvor lang tid som er gått, den vil også være avhengig av hvilken temperatur vi har til å begynne med.

Vi skal nå bruke likningen $T = T_o + Ce^{-kt}$ til å beregne temperaturen i suppa:

Eksempel 1:

Vi antar at vi har funnet ut at konstanten, $k$, for suppe er 0,1, og omgivelsestemperaturen er 200.

Suppas temperatur som funksjon av tiden blir da:

$T = 20^\circ + Ce^{-0{,}1t}$

For å bestemme konstanten $C$, benytter vi at vi har sagt at suppas temperatur i utgangspunktet er 900.

Det betyr at når $t=0$ har vi $T = 90^\circ$. Dette kaller vi en initialbetingelse.

Setter vi inn $t=0$ og $T=90^\circ$ i funksjonen, får vi

$90^\circ = 20^\circ + C e^0 = 20^\circ + C \Rightarrow C = 70^\circ$

Så i vårt tilfelle blir funksjonen for suppas temperatur

$T = 20^\circ + 70^\circ e^{-0{,}1t}$

Etter $t=5$ minutter er temperaturen $T = 20^\circ + 70^\circ e^{-0{,}1\cdot5} \approx 62^\circ$

Etter $t=10$ minutter er temperaturen $T = 20^\circ + 70^\circ e^{-0{,}1\cdot10} \approx 46^\circ$

Etter $t=15$ minutter er temperaturen $T = 20^\circ + 70^\circ e^{-0{,}1\cdot15} \approx 36^\circ$

Etter $t=20$ minutter er temperaturen $T = 20^\circ + 70^\circ e^{-0{,}1\cdot20} \approx 29^\circ$

Skal vi finne ut hvor lang tid det tar før temperaturen er 500, som var spørsmålet vi startet med, må vi løse likningen

$50^\circ = 20^\circ + 70^\circ e^{-0{,}1t}$

Vi ordner leddene, dividerer med 700 på begge sider og får

$e^{-0{,}1t} = {\large \frac{30}{70}} \approx 0{,}429$

Vi tar ln på begge sider og får

$-0{,}1t \approx \ln 0{,}429 \approx -0{,}85$

Så $t \approx 8{,}5$. Det tar omlag 8,5 minutter før suppa er avkjølt til 500.

Oppgave 1:

Vi fyller vann i et basseng med en hastighet på 4 m3/min. Samtidig lekker det vann ut med en hastighet som er proporsjonal med vannvolumet i bassenget.

Vi lar $V(t)$ være vannvolumet i bassenget som funksjon av tiden, $t$, målt i m3.

Forklar at differensiallikningen $V'=4 – kV$ er en modell av vannvolumet i bassenget.

Vi har at $k=0{,}005$, og bassenget er i utgangspunktet tomt. Finn et uttrykk for vannvolumet i bassenget som funksjon av tiden.

Etter hvor lang tid er det 400 m3 vann i bassenget?

Se løsningsforslag